ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÔ BẢO LONG MỐI QUAN HỆ GIỮA CHỈ SỐ CHÍNH QUY VÀ HỆ SỐ HILBERT Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊN
Trang 1ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGÔ BẢO LONG
MỐI QUAN HỆ GIỮA CHỈ SỐ CHÍNH QUY VÀ HỆ SỐ HILBERT
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60460104
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS CAO HUY LINH
Thừa Thiên Huế, năm 2017
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 2LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác
Ngô Bảo Long
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 3LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy Cao Huy Linh, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy, người
đã chỉ dẫn, động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng Đào tạo Sau đại học - Đại học Huế, quý thầy cô giáo, những người đã giúp tôi có được kiến thức và tạo điều kiện để tôi có thể hoàn thành việc học tập và nghiên cứu của mình
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua
Ngô Bảo Long
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 4MỤC LỤC
1.1 Vành các phân thức 4
1.2 Độ sâu và chiều của vành và môđun 5
1.3 Iđêan nguyên sơ và iđêan tham số 8
1.4 Vành và môđun phân bậc 9
1.5 Hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân bậc 11
1.6 Đối đồng điều địa phương 13
1.7 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford 16
Chương 2 Mối quan hệ giữa chỉ số chính quy và hệ số Hilbert 17 2.1 Hàm Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert-Samuel 17
2.2 Mối quan hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert của môđun phân bậc liên kết 18
2.3 Phần tử lọc chính quy 20
2.4 Chỉ số Hilbert 21
2.5 Chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết và chỉ số Hilbert 22
2.6 Chặn trên cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết theo hệ số Hilbert 24
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 5LỜI NÓI ĐẦU Cho (R, m) là vành Noether địa phương chiều d và q là iđêan tham số của
R Lúc đó, Gq(R) = L
n≥0
qn/qn+1 gọi là vành phân bậc liên kết của R ứng với iđêan q Kí hiệu λ(_) là độ dài của một R-môđun, hàm Hilbert-Samuel của R ứng với iđêan q là hàm Hq, R : Z −→ N được xác định bởi
Hq, R(n) =
λ(R/qn) nếu n > 0
Samuel chứng minh được rằng tồn tại một đa thức Pq, R(x) ∈ Q[x] có bậc d sao cho Hq, R(n) = Pq, R(n) khi n đủ lớn Chúng ta luôn viết Pq, R(n) dưới dạng
Pq, R(n) = e0(q, R)n + d − 1
d
− e1(q, R)n + d − 2
d − 1
+ · · · + (−1)ded(q, R),
trong đó e0(q, R), e1(q, R), , ed(q, R) là các số nguyên, gọi là các hệ số Hilbert của R ứng với q
Mục đích chính của luận văn là thiết lập một chặn trên cho chỉ số chính quy của Gq(R) theo các hệ số Hilbert
Năm 2003, Rossi - Trung - Valla [13] đã thiết lập một chặn trên cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết ứng với iđêan cực đại theo bậc mở rộng Năm 2005, Linh [8] đã mở rộng kết quả này trên lớp các iđêan m-nguyên sơ Năm 2006, Linh - Trung [9] đã thiết lập một chặn phổ dụng cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết ứng với iđêan tham số của vành Cohen-Macaulay suy rộng Năm 2007, Linh [10] đã đưa ra một chặn trên cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết ứng với iđêan m-nguyên sơ theo bậc lũy linh Năm 2014, Brodmann - Linh [4] đã thiết lập chặn cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết ứng với iđêan m-nguyên sơ theo chỉ số quan hệ
Trong luận văn này, chúng tôi đã thiết lập được một chặn trên cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết ứng với iđêan tham số của vành hầu Cohen-Macaulay theo hệ số Hilbert e1(q, R), cụ thể là định lý sau:
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 6Định lý 2.6.7 Cho (R, m) là vành hầu Cohen-Macaulay, dimR = d > 0, R/m
vô hạn, q = (x1, , xd) là iđêan tham số Lúc đó, ta có
reg(Gq(R)) ≤ max{−e1(q, R) − 1, 0} nếu d = 1, reg(Gq(R)) ≤ max{(−4e1(q, R))(d−1)!+ e1(q, R) − 1, 0} nếu d ≥ 2 Đây là kết quả mới mà chúng tôi đạt được, phương pháp mà chúng tôi sử dụng là dùng hàm Hilbert để ước lượng chỉ số chính quy Phương pháp này lần đầu tiên được đưa ra bởi Rossi - Trung - Valla [13]
Cuối cùng, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi có sai sót Chúng tôi rất mong nhận được những góp ý cần thiết của quý thầy cô
và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn
Demo Version - Select.Pdf SDK