DỀ HSG va DAP AN

đờng thẳng OO’ là trục đối xứng của hình vẽ.. Diện tích hình thoi nhỏ hơn diện tích hình vuông.. Diện tích hình thoi lớn hơn diện tích hình vuông.. Diện tích hình thoi bằng diện tích hìn

đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Đề bảng A : Môn Toán

Thời gian 150 phút

đề số 2

I Trắc nghiệm khách quan:( 11 điểm) Hãy khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trả lời mà em cho là đúng từ câu 1 đến câu 16 :

Câu 1: Cho 3 chữ số khác nhau và khác 0 Từ 3 chữ số đó ta lập đợc các số có ba chữ

số Tổng 6 số có ba chữ số này chia hết cho:

A 73 B 200 C 37 D 20

Câu 2: Các số nguyên n thoả mãn 2n2 – 3n +1 chia hết cho 2n+1 là:

A n=-1; n=-2 B n=0 ; n=1 C n=-1; n=-2; n=0;n=1

D Cả A,B,C đều đúng

Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ Cho đa giác OABCDE ( không lồi) có toạ độ các đỉnh

A(0;3);B(3;3);C(3;1);D(5;1);E(5;0) đờng thẳng y=ax chia đa giác thành hai phần có diện tích bằng nhau có hệ số a là:

A

2

11

B

9

7

C 3 D 7

(phát triển và nâng cao toán 9)

Câu 4: Cho x,y∈ Z thoã mãn

2x2+ 4

4

1 2

2 + y =

x Tích xy nhỏ nhất khi

A x=1 và y=-2 ; B x=-2 và y=1 ; C x=1 và y=-2 hoặc x=-1 và y=2

D x=1 và y=2

Câu 5: Cho hai đờng thẳng ax +2y =6 (d1) và x- by =-3 (d2)

Kết luận nào sau đâylà sai ?

A Nếu ab=-2 thì (d1) và (d2) song song hoặc trùng nhau

B Nếu (d1)//(d2) thì a ≠ -2 và b ≠ 0

C Nếu (d1) trùng với (d2) thì a = -2 và b =1

D Nếu (d1) cắt (d2) thì ab ≠ -2

Câu 6:Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A,B; AC,AD lần lợt là hai đờng

kính của (O) và (O’) Phát biểu nào sau đây sai ?

A B,C,D thẳng hàng

B ∆ AOO’ và ∆ ACD đồng dạng với tỉ số k =1/2

C đờng thẳng OO’ là trục đối xứng của hình vẽ

D (O) và (O’) có đúng hai tiếp tuyến chung

Câu 7: Đờng thẳng y= mx+m-1 (m là tham số) luôn đi qua điểm nào sau đây với mọi

m

A K(-1;-1) B Q(1;-1) C T(1;1) D P(-1;1)

Câu 8: Nếu G là trọng tâm của tam giác và PX là đờng trung tuyến của ∆PQR thì số

GX

PG

bằng:

A 1:1 B 2:1 C 3:1 D 3:2

Câu 9: Diện tích của tam giác có độ dài ba cạnh 10 ; 20 ; 50 là:

A 5 B 10 10 C 10 2 D Một kết quả khác

Câu10: Số d của phép chia 21000 cho 25 là:

A 2 B.4 C 1 D 8

Câu 11: Cho (x+ x2 + 3)(y+ y2 + 3)= 3 Giá trị của biểu thức E= x+y là

A 0 B 1 C 2 D 3

105

521 103

313 101

315 99

317

−

=

− +

− +

− +

có nghiệm là:

A 218 B 214 C 416 D.325

Câu 13: Một hình trụ có diện tích hai đáy và diện tích xung quanh đều bằng

314(đvdt) Khi đó chiều cao h của hình trụ là:

A h= 31,4 B h= 50 C h= 100 D h=3,14 10

Câu 14: Cho hình vẽ

Kết luận nào sau đây sai:

A ∆PQR ~ ∆HPR

B ∆MNR ~ ∆PHR

C ∆RQP ~ ∆RMN

D ∆QPR ~ ∆PRH

Câu 15: Độ dài x trong hình bên là.

A 8,1 B 6,5 5 8,5

C 7,5 D 8

Câu 16:Cho một hình vuông và một hình thoi có cùng chu vi khi đó:

A Diện tích hình thoi nhỏ hơn diện tích hình vuông

B Diện tích hình thoi lớn hơn diện tích hình vuông

C Diện tích hình thoi bằng diện tích hình vuông

D Diện tích hình thoi nhỏ hơn hoặc bằng diện tích hình vuông

Câu 17: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai.

A Hai cung bằng nhau thì có số đo bằng nhau

B Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau

Q

P

H

R

M N

x 3

Câu 18: Khoanh tròn chữ Đ (đúng) hoặc S(sai) vào các khẳng định sau cho thích

hợp:

A Nếu 3 điểm thẳng hàng thì 3 điểm đối xứng với chúng qua một tâm bất kì cũng thẳng hàng Đ S

B Biểu thức n(2n- 3) –2n(n+1) 5 với mọi n∈ Z Đ S

C a3 + b3 +c3 =3abc khi a+b+c = 0 Đ S

D Căn bậc hai của 0,64 là 0,8 Đ S

II Phần tự luận (9,0 điểm)

Bài 1: ( 3,0điểm)

a) Giải phơng trình

x x

x x

x

x

=

−

−

− +

+ +

+

3

3 3

3

2 2 2

2

b) Chứng minh:

ab b

a + + ≥ +

2 1

1 1

1

2

2 Với a≥ 1;b ≥1

Bài 2:(2,0 điểm)

Cho phơng trình x2- 5mx- 4m =0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2

a) Chứng minh rằng x2

1 + 5mx2- 4m >0

b) Xác định giá trị của m để biểu thức

2 2 2

2 1

12

m mx

x m mx

x

+

(tuyển tập đề thi môn toán 9)

Bài 3: ( 3,0 điểm)

Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, A là một điểm thuộc đờng tròn.H là hình chiếu của A trên BC, vẽ đờng tròn (I) có đờng kính AH, cắt AB và AC theo thứ tự ở M và N

a) Chứng minh rằng OA ⊥MN

b) Chứng minh rằng tứ giác BMNC nội tiếp và xác định tâm của đờng tròn nội tiếp tứ giác BMNC

c) Cho BC cố định Xác định vị trí của điểm A để bán kính của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC lớn nhất (Toán nâng cao và phát triển toán 9).

Bài 4: ( 1,0 điểm)

Tìm các số nguyên x và y sao cho

x3+x2+x+1=y3

(PT và bài toán với nghiệm nguyên: TG Vũ Hữu Bình)

đáp án và biểu điểm đề 2

I Trắc nghiệm khách quan : (11 điểm) Câu hỏi đa lựa chọn : chọn đúng 1 câu 0,5đ

Câu hỏi đúng sai: chọn đúng 1 ý cho 0,5đ

Câu

P/án

chọn

II Tự luận : (9,0 điểm)

Bài 1:( 3,0đ)

a Điều kiện : x2 ≥ 3 (0,25đ)

Nhân với biểu thức liên hợp của từng mẫu thức ta có:

(x2 − 3)x+ x2 − 3 −(x2 + 3)x− x2 − 3 = 3x (0,25đ)

⇒ (x2 − 3) (3 + x2 + 3)3 = 3 3x (0,25đ)

( ) ( ) ( )



=

− +

+ +

−

>

⇒

2 3

4 3

2 3

0

x x

x x

x

(0,25đ)









−

=

−

>

⇒

4 2

3

2

0

x x

x

x

(0,25đ)

Giải hệ PT ta đợc x= 2 ( thoả mãn ĐK) (0,5đ)

Vậy: PT có duy nhất nghiệm x= 2 (0,25đ)

b Thật vậy: Ta có











+

− +

+ +

− +

= +

− +

+

1 1

1 1

1 1

1 1

2 1

1 1

1

2 2

2

=( )( ) ( b )( ab)

b ab ab

a

a ab

+ +

− +

+ +

−

1 1 1

2 2

2

= ( ) ( ) ( ) ( )

a b a b b a b a

+ + +

+

− + +

−

1 1 1

1 1

2 2

2 2

(0,25đ)

= ( )( )

( )( )( ) (1 ( )(1) ( )(1 ) ) 0

1 1

1

2 2

2

2 2

≥ + + +

−

−

= +

+ +

−

− +

−

ab b

a

ab a b ab

b a

b a b ab a a b

Vì a≥ 1, b≥ 1 (0,5đ)

Bài 2: ( 2,0đ)

a) (1,0đ)

Do pt có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 nên ∆ = 25m2+ 16m >0 (0,25đ)

Suy ra x2

1 = 5mx1+4m (0,25đ)

Và x1+ x2= 5m (0,25đ)

Do đó x2

1 + 5mx1- 4m = 5m x1+ 4m + 5mx2 – 4m

= 5m( x1+ x2) = 25m2 > 0 ∀ m ≠ 0 (0,25đ)

b) (1,0đ)

Ta có: x2

1 + 5mx2+ 12m = 5m x1+ 4m + 5mx2 + 12m= 25m2+ 16m > 0

(0,25đ)

áp dụng BĐT CauChy cho 2 số dơng ta có:

2 16 25

16 25

12 5

12

2 2

2 2

1

2 2 2

2

1

2

≥

+ +

+

= + +

+ +

m m

m m

m m

m mx x

m mx

x

m

(0,25đ)

Do đó: min A=2 (0,25đ)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2 25 2 216

16

m m

m m

2

−

=

⇔m (0,25đ)

Bài 3: (3,0 điểm)

a) (1,0đ)

Dễ thấy ∠AMN= ∠A1=∠C= ∠A2 (0,25đ)

Ta lại có: ∠AMN + ∠ANM = 900 (0,25đ)

Nên ∠A2+ ∠ANM =900 (0,25đ)

Hay OA⊥ MN (0,25đ)

b) (1,0đ)

Do ∠AMN =∠C ( chứng minh trên) (0,25đ)

Mà ∠AMN + ∠BMN =1800

Nên ∠BMN + ∠C = 1800

Vậy tứ giác BMNC nội tiếp (0,25đ)

Gọi E là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC, khi đó

E là giao của 2 đờng trung trực của đoạn MN và BC (0,25đ)

Kéo dài AO cắt đờng tròn tại K, dễ thấy E là trung điểm của HK (0,25đ)

c) (1,0đ)

N

E O

K B

A

C

HS chỉ đợc EB lớn nhất (0,25đ)

⇔EO lớn nhất (0,25đ)

⇔AH lớn nhất (0,25đ)

⇔H≡ O khi đó OA ⊥ BC

Hay A là điểm chính giữa của cung BC (0,25đ)

Bài 4: (1,0đ )

Ta thấy x2+ x +1 >0 nên x3< y3 , do đó x<y (0,25đ)

Xét 2 trờng hợp:

a) Xét y=x+1 ta có x3+ x2+ x +1 = (x+1)3

Giải phơng trình trên: 2x2+2x= 0 nên x1= 0; x2= -1 (0,25đ) b) Xét y>x+1 ta có x3+ x2+ x +1 > (x+1)3 (0,25đ) ⇔ 2x(x+1) < 0 ⇔ -1< x< 0 loại

Vậy các số x,y cần tìm là: x=0 thì y=1

x =-1 thì y=0 (0,25đ)