CHUYÊN ĐỀ bao cao thang 11 16-17

CHUYÍN ĐỀ : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÂP BỔ SUNG GIÚP HỌCSINH PHĐN TÍCH ĐA THỨC THĂNH NHĐN TỬ II/ ĐẶT VẤN ĐỀ: Nhằm nđng cao mặt bằng dđn trí, đăo tạo nguồn lực cho giai đoạn công nghiệp hóa, hiện

CHUYÍN ĐỀ : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÂP BỔ SUNG GIÚP HỌC

SINH PHĐN TÍCH ĐA THỨC THĂNH NHĐN TỬ

II/ ĐẶT VẤN ĐỀ:

Nhằm nđng cao mặt bằng dđn trí, đăo tạo nguồn lực cho giai đoạn công nghiệp hóa, hiện đại hóa - giâo dục đê vă đang thay đổi, hịng øng cuĩc v©n ®ĩng nêi kh«ng víi tiªu cù trong thi cö vµ chỉng bÖnh thµnh tÝch trong gi¸o dôc ®ó chính lă đổi mới đồng bộ về mục tiíu, nội dung, phương phâp, c¸ch ®¸nh gi¸ đâp ứng yíu cầu của xê hội.®ơng thíi t¹o ra nguơn nh©n lùc mòi nhôn cho x· hĩi lµ viÖc lµm hÕt søc cÌn thiÕt

Hướng đổi mới PPDH Toán hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh và phát triển khả năng tự học nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát triển và giải quyết vấn dề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin, hứng thú học tập cho học sinh.Trước những yêu cầu và trọng trách to lớn mà ngành GD - ĐT giao phó cho chúng tôi - những thầy giáo dạy toán THCS - đòi hỏi sự nổ lực cụ thể trong từng tiết dạy, trong từng bài soạn, làm sao đáp ứng cao yêu cầu đổi mới PPDH Năm học 2002 - 2003 cả nước chính thức đưa vào sử dụng bộ cách giáo khoa mới Đối với SGK Toán 8, cụ thể là chương I :”phÐp nh©n vµ chia c¸c ®a thøc ”, chắc không phải bàn nhiều về tính giảm tải, tính vừa sức so với đại trà học sinh Tuy nhiên bản thân chúng tôi giảng dạy tại một địa phương nghèo, trình độ, năng lực học toán của phần lớn học sinh là chưa cao.Một số dạng bài khó trong chương I, học sinh không tự giải được Qua thực tiễn

khi dạy các dạng toán này, chúng tôi rút ra kết luận học sinh không tự làm được vì lý do sau:

+ Khả năng tư duy logic khi lập luận, phân tích dể tìm tòi lời giải là không cao

+ Khi đọc đề toán lên, học sinh bị mất phương hướng, không biết phải đi từ đâu, phải làm như thế nào

Dẫn đến thiếu hứng thú khi học tiết toán,

Trước tình hình đó, qua thực tiễn giảng dạy tôi đã tưng hîp bư sung mĩt sỉ ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö nh»m góp hôc sinh cê thªm mĩt sỉ c«ng cô gi¶i c¸c bµi to¸n khê Thông qua đó các em có được phương pháp giải cụ thể đối với các loaüi toán này, từ đó có khả năng độc lập khi giải các bài toán tương tù

Cũng xin nói thêm, trong SGK toán 8,®· ®a ra mĩt sỉ ph¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Rất tiếc mĩt sỉ bµi to¸n trong s¸ch gi¸o khoa, s¸ch bµi tỊp to¸n 8 ch¬ng I kh«ng thÓ gi¶i b»ng c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n ®ê ®îc Đồng thời để nđng cao chất lượng phât triển khả năng đúng mức học sinh giỏi trong lớp , giâo viín cần đưa thím băi tập nđng cao cho từng đối tượng khâ giỏi, có vận dụng thông minh sâng tạo Do đó “mĩt sỉ ph¬ng

việc làm hết sức cần thiết cho học sinh

B/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

I/ Phạm vi áp dụng:

Aïp dụng vào các bài dạy: LuyÖn tỊp(bµi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch phưi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p); Rót gôn ph©n thøc ; cĩng, trõ ,nh©n, chia ph©n thøc; biÕn ®ưi c¸c biÓu thøc h÷u tØ

II/ Nĩi dung cô thÓ :

1./ Ph ¬ng ph¸p t¸ch mĩt h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö :

Ví dụ : Phân tích đa thức A 4x2 8x 3 thành nhân tử

Giải :

Cách 1: ( tách hạng tử cuối )

Cách 2: (tách hạnh tử thứ 2 )

2

A x x

+ Ta nhận thấy với các phơng pháp thông thờng thì không thể phân tích đa thức A thành nhân tử đợc vì A không có nhân tử chung , không có dạng một hằng

đẳng thức nào Đa thức A chỉ có ba hạng tử nên cũng không thể nhóm hạng tử vì vậy ta đã tách một hạng tử thành hai hạng tử để xuất hiện những nhóm hạng tử sao cho :

- Hoặc có thể dùng hằng đẳng thức để phân tích tiếp

- Hoặc có thể đặt nhân tử chung

+ Trong cách thứ hai ở trên ta đã tách hạng tử thứ hai là -8x thành -2x-6x

ta thấy (-2)(-6) = 12 Trong khi đó tích các hệ số đầu và cuối là 4.3 = 12 Hai tích này đúng bằng nhau

Một cách tổng quát , để phân tích tam thức bậc hai ax2bx c thành nhân tử , ta

tách hạng tử bậc nhất bx thành b x b x1  2 sao cho b b1 2 a c. sau đó đặt nhân tử chung theo từng nhóm

+Chú ý tam thức bậc hai ax2bx c

Nếu b2 4ac là bình phơng của một số hữu tỉ thì sẽ phân tích đợc thành nhân tử

Nếu b2 4ac không là bình phơng của một số hữu tỉ nào thì không phân tích đợc thành nhân tử

2./ Ph ơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Ví dụ : Phân tích đa thức B 4x4y4 thành nhân tử

Giải :

4 2 2 4 2 2

B x x y y x y

x y xy x xy y x xy y

+ Ta dễ dàng nhận thấy các phơng pháp thông thờng không dùng đợc ta

tăng thêm các hạng tử của B bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử là 4x y2 2 Lúc

này xuất hiện dạng khai triển của bình phơng của một tổng và ta tiếp tục phân tích bằng cách áp dụng hằng đẳng thức Nh vậy mục đích của việc thêm bớt cùng một hạng tử là để xuất hiện những nhóm hạng tử sao cho có thể dùng hằng

đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung

3./ Ph ơng pháp đổi biến ( đặt ẩn phụ ).

Ví dụ : Phân tích đa thức C  (x2 3x 1)2 12(x2 3x 1) 27  thành nhân tử Giải :

Đặt y x 2 3x 1 ta đợc

2

+ Trong cách giải trên , nhờ cách biến đổi y x 2  3x 1 ta đã đa một đa thức bậc 4 đối với x rất phức tạp trở thành một đa thức bậc 2 đối với y rất đơn giản , nhờ đó phân tích thành nhân tử đợc dễ dàng

4./ Ph ơng pháp đồng nhất hệ số (PP hệ số bất định ).

Ví dụ : Phân tích đa thức D x 3 11x 30 thành nhân tử

Giải :

Kết quả cần tìm có dạng (x a x )( 2bx c )

vì (x a x )( 2bx c ) x3 (a b x ) 2 (ab c x ac ) 

nên x3 11x 30 x3 (a b x ) 2 (ab c x ac ) 

ta có

0 11

a b

ab c

a c

 





 





có thể chọn a 2;b 15;c 2 là một bộ số thỏa mãn suy ra từ a.c = 30

Vậy x3 11x 30 (  x 2)(x2 2x 15)

Phơng pháp giải nh trên đợc gọi là phơng pháp hệ số bbất định cơ sở của phơng pháp này là : Hai đa thức là đồng nhất khi và chỉ khi mọi hệ số của các

đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó phải bằng nhau

5./ Ph ơng pháp xét giá trị riêng :

Ví dụ : Phân tích đa thức P (x y z  )3 x3 y3 z3 thành nhân tử

Giải :

Xem P là một đa thức biến x khi x = -y thì P = 0 nên P x y 

Trong P vai trò x,y,z nh nhau nên cũng có P x z  ,P y z  nh vậy

P x y x z y z Q  

Mà P là đa thức bậc ba đối với x và vai trò x,y,z nh nhau nên Q là hằng số Với x = 0 ; y = z= 1 ta có Q= 3

Vậy P 3(x y x z y z )(  )(  )

Với phơng pháp này chỉ áp dụng cho các bài toán mà các biến có trong đề bài có vai trò nh nhau

6/ Ph ơng pháp hạ bậc

Ví dụ 1 : Phân tích đa thức M x2 4x 3 thành nhân tử

Giải :

2 2

x x

Ví dụ 2: Phân tích đa thức N x4 4x2 3 thành nhân tử

Phơng pháp trên áp dụng cho những đa thức bậc 2 có dạng x2ax b và đa thức bậc 4 có dạng (trùng phơng) x4ax2b là chủ yếu

Tổng quát nh sau :

+ Với dạng : x2ax b ta làm nh sau

4

a a



Đến đây ta sử dụng hằng đẳng thức A2  B2  (A B A B )(  ) để tiếp tục phân tích

+ Với dạng : x4ax2b ta làm nh sau

4

x ax b x x b



Đến đây ta sử dụng hằng đẳng thức A2  B2  (A B A B )(  ) để tiếp tục phân tích và quay lại dạng trên

* Đối với bài toán có dạng ax2bx c hoặc ax4bx2c thì trớc hết ta đặt nhân tử chung cho a để là mất hệ số đứng trớc bậc cao nhất nh sau :

+

ax bx c a x x

a a

+

4 2 ( 4 b 2 c)

ax bx c a x x

a a

sau ®ê quay vÒ c¸c d¹ng nh trªn

* Víi ph¬ng ph¸p nµy qu¸ tr×nh biÕn ®ưi h¬i dµi h¬n so víi c¸c ph¬ng ph¸p trªn nhng ph¬ng ph¸p nµy cê mĩt quy tr×nh gi¶i cô thÓ gióp hôc sinh trung b×nh , yÕu vĨn gi¶i ®îc c¸c bµi to¸n d¹ng khê nµy §ơng thíi ph¬ng ph¸p nµy gióp gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö d¹ng trªn mµ nghiÖm cña ®a thøc lµ nghiÖm v« tØ trong khi ®ê víi 2 ph¬ng ph¸p 1 vµ ph¬ng ph¸p 2 kh«ng gi¶i quyÕt ®îc hoƯc gi¶i ®îc nhng rÍt khê kh¨n Ngoµi ra ph¬ng ph¸p nµy cßn sö dông rÍt thuỊn tiÖn cho viÖc gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n cùc trÞ mµ ®ỉi víi c¸c em líp

8 th× rÍt khê

VÝ du 1: T×m gi¸ trÞ nhâ nhÍt cña ®a thøc P x 2 4x

Gi¶i :

P x x x

V× (x 2)2 0 víi môi x R

=> P (x 2)2  ( 4)  4

VỊy P nhâ nhÍt lµ -4 khi x + 2 = 0 => x = -2

VÝ dô 2 : T×m gi¸ trÞ lín nhÍt cña ®a thøc Qx2 6x 15

Gi¶i :

v× (x  3)2  0 víi môi x R

=>Q 24 (  x 3)2  24

VỊy Q lín nhÍt lµ 24 khi x – 3 = 0 => x = 3

C/ Kết luận :

Qua phương phâp Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö nh trªn, tôi thấy rất có hiệu quả, học sinh rất có hứng thú học tập, giúp câc em học toân nhẹ nhăng, hăo

hứng vă có kết quả cao tõ đó học sinh có khả năng tự giải các bài tập tương tự ,cũng như rèn luyện khả năng tư duy logic tong thực hành giải toán ,tạo điều kiện nâng cao năng lực giải toán cho học sinh

Chắc chắn víi ph¬ng ph¸p trªn chúng ta sẽ tạo được nhiều cơ hội cho câc

em học sinh học tập góp phần nđng cao chất lượng dạy học môn Toân theo chương trình vă Sâch Giâo khoa hiện hănh

Trín đđy lă một số đề xuất của tôi đê thông qua giảng dạy kính mong sự góp ý của qủ đồng nghiệp để chuyín đề của tôi hoăn chỉnh hơn

Người thực hiện

Lª Hoµng ChÝ T©m