Các BT nâng cao về chia hết toán lớp 6, có hướng dẫn chi tiết. chủ yếu là các Bt khó dành cho học sinh lớp chuyên, chọn. Các BT nâng cao về chia hết toán lớp 6, có hướng dẫn chi tiết. chủ yếu là các Bt khó dành cho học sinh lớp chuyên, chọn.Các BT nâng cao về chia hết toán lớp 6, có hướng dẫn chi tiết. chủ yếu là các Bt khó dành cho học sinh lớp chuyên, chọn.Các BT nâng cao về chia hết toán lớp 6, có hướng dẫn chi tiết. chủ yếu là các Bt khó dành cho học sinh lớp chuyên, chọn.Các BT nâng cao về chia hết toán lớp 6, có hướng dẫn chi tiết. chủ yếu là các Bt khó dành cho học sinh lớp chuyên, chọn.Các BT nâng cao về chia hết toán lớp 6, có hướng dẫn chi tiết. chủ yếu là các Bt khó dành cho học sinh lớp chuyên, chọn.Các BT nâng cao về chia hết toán lớp 6, có hướng dẫn chi tiết. chủ yếu là các Bt khó dành cho học sinh lớp chuyên, chọn.Các BT nâng cao về chia hết toán lớp 6, có hướng dẫn chi tiết. chủ yếu là các Bt khó dành cho học sinh lớp chuyên, chọn.Các BT nâng cao về chia hết toán lớp 6, có hướng dẫn chi tiết. chủ yếu là các Bt khó dành cho học sinh lớp chuyên, chọn.Các BT nâng cao về chia hết toán lớp 6, có hướng dẫn chi tiết. chủ yếu là các Bt khó dành cho học sinh lớp chuyên, chọn.Các BT nâng cao về chia hết toán lớp 6, có hướng dẫn chi tiết. chủ yếu là các Bt khó dành cho học sinh lớp chuyên, chọn.Các BT nâng cao về chia hết toán lớp 6, có hướng dẫn chi tiết. chủ yếu là các Bt khó dành cho học sinh lớp chuyên, chọn.Các BT nâng cao về chia hết toán lớp 6, có hướng dẫn chi tiết. chủ yếu là các Bt khó dành cho học sinh lớp chuyên, chọn.Các BT nâng cao về chia hết toán lớp 6, có hướng dẫn chi tiết. chủ yếu là các Bt khó dành cho học sinh lớp chuyên, chọn.Các BT nâng cao về chia hết toán lớp 6, có hướng dẫn chi tiết. chủ yếu là các Bt khó dành cho học sinh lớp chuyên, chọn.Các BT nâng cao về chia hết toán lớp 6, có hướng dẫn chi tiết. chủ yếu là các Bt khó dành cho học sinh lớp chuyên, chọn.
Trang 1Phiếu số 20 lớp 6C3 GV : Tô Diệu Ly : 0943153789 7/10/2016)
Bài 1 : Chứng tỏ rằng hiệu của một số và tổng các chữ số của nó chia hết cho 9
Giải
Ký hiệu S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n bài toán trở thành CTR: n – S(n) chia hết cho 9 Thật vậy giả sử n = a a m m−1 a a1 0 ( n có m + 1 chữ số ) khi đó
S(n) = am + am – 1 + … + a1 + a0
Ta có n = am.10n + am – 1 + + a1 + a0
=
9
999 9
mso
14 2 43 an +
1 9
999 9
m so−
14 2 43 am – 1 + + 9ª1 + (am + am -1 + + a1 + a0)
Vì
9
999 9
mso
14 2 43 an +
1 9
999 9
m so−
14 2 43 am – 1 + + 9ª1M9 nên đặt bằng 9k ( k∈ N)
Suy ra n = 9k + S(n)
Suy ra n – S(n) = 9k M9
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta đều có : (n + 20162017)(n + 20172016) M2
Giải
Ta co 2016 là số chăn nên 20162017 cũng là số chẵn tương tự ta cũng có 20172016 là số lẻ
Từ đó ta có (n + 20162017)(n + 20172016 = 2n + (20162017 + 20172016) là số lẻ vì 2n là số chẵn còn
(20162017 + 20172016) là số lẻ
Suy ra trong hai số (n + 20162017) và (n + 20172016) phải có một số chẵn
Do vậy tích của chúng (n + 20162017)(n + 20172016) là một số chẵn
Vậy (n + 20162017)(n + 20172016) M2
Bài 3: chứng tỏ rằng ( 10n + 18n – 1) M27
Giải
Ta có 10n – 1 =
9
999 9
nso
14 2 43
Suy ra ( 10n + 18n – 1) =
9
999 9
nso
14 2 43 + 18n = 9(
1
111 111
nchuso
14 2 43 + 2n)
Ta có (111 11114 2 43nchuso1 + 2n) M3 vì tổng (111 11114 2 43nchuso1 + 2n) có tổng các chữ số bằng 3n M3
Suy ra ( 10n + 18n – 1) M 9.3 hay ( 10n + 18n – 1) M27
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta đều có :10n + 72n -1 M81
Giải
Ta có 10n – 1 =
9
999 9
nso
14 2 43 , ; 72n = 81n – 9n
Suy ra ( 10n + 72n – 1) =
9
999 9
nso
14 2 43 + 81n – 9n =
9
999 9
nso
14 2 43 - 9n + 81n = 9(
1
111 111
nchuso
14 2 43 - n) + 81n
Vì (111 11114 2 43nchuso1 - n) M9 nên 9(111 11114 2 43nchuso1 - n) M9.9 = 81 ; 81n M81
Trang 2Suy ra 10n + 72n -1 M81
Bài 5: Cho A = 8n +
1
111 111
nchuso
14 2 43 chia hết cho 9 ( n∈ N* ) Giải
A = 9n +
1
111 111
nchuso
14 2 43 - n = 9n + (
1
111 111
nchuso
14 2 43 - n)
Vì
1
111 111
nchuso
14 2 43 có tổng bằng n nên (
1
111 111
nchuso
14 2 43 - n) chia hết cho 9 ( xem bài 1) Hoặc có thể giải như sau
1
111 111
nchuso
14 2 43 có tổng các chữ số bằng n nên
1
111 111
nchuso
14 2 43 và số n khi chia cho 9 có cùng số dư do đó (111 11114 2 43nchuso1 - n) M9
Vì 9nM9 và (111 11114 2 43nchuso1 - n) M9 nên A M9
Bài 6: Cho n∈ N , chứng minh rằng n2 + n + 1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5
Giải
Ta có n2 + n + 1 = n(n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên liếp nên chia hết cho 2
Suy ra n(n + 1) + 1 là số lẻ nên không chia hết cho 4
n(n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên liếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9
nên n(n + 1) + 1 không có tận cùng là 0 hoặc 5 do đó không chia hết cho 5
Bài 7: Tổng các chữ số của số tự nhiên a ký hiệu là S(a) Chứng minh rằng nếu S(a) = S(2a) thì a
chia hết cho 9
Giải
Ta đã biết : một số tự nhiên a và tổng các chữ số của nó khi chia cho 9 có cùng số dư nên
a – S(a) M9 , và 2a – S(2a) M9
Xét hiệu [2a S a− (2 ) (− −a S a( )) 9]M
Suy ra a – S(2a) + S(a) M9 suy ra a M9 (vì S(a) = S(2a))
Bài 8: biết rằng số tự nhiên n chia hết cho 2 và (n2 – n ) M5 Tìm chữ số tận cùng của n
Giải
Vì n M2 nên chữ số tận cùng của n là số chẵn
Vì n2 – n = n(n – 1) M5 nên hoặc n M5 hoặc n – 1M5 do đó n có chữ số tận cùng là 0 , 5 hoặc n- 1 có
tân cùng là 0,5 Tức là n có chữ số tận cùng là 0;5;1;6
Kết hợp hai kết quả trên ta suy ra n có chữ số tận cùng là 0 hoặc 6
Bài 9: Chứng minh rằng : 5n – 1M4 ( n∈ N* )
Giải
Nếu n = 1 thì 5n – 1 M4
Trang 3Nếu n > 1 thì 5n có hai chữ số tận cùng là 25 suy ra 5n – 1 có hai chữ số tận cùng là 24, chia hết cho
4 Vậy 5n – 1 M4
Bài 10: Biết rằng 1978a + 2012b + 78a + 10b cùng chia hết cho 11 Chứng minh rằng a và b cũng
chia hết cho 11
Giải
Ta có (1978a + 2012b) – (78a + 10b) = 1900a + 2002b M11
Mà 2002 M11 nên 2002b M 11 ⇒ 1900a M11 ⇒ a M11
Vì 78a + 10b M11 và 78a M11⇒ 10b M11⇒ b M11
Bài 11: tìm số tự nhiên có bốn chữ số ,sao cho khi nhân số đó với 9 ta được số mới gồm chính các
chữ số ấy nhưng viết theo thứ tự ngược lại
Giải
Gọi số cần tìm là abcd , ta có 9.abcd =dcba suy ra 1
9
a d
=
=
và (b + c + 1) M9 = ( n – 2)
2
b + c ∈{8;17}
Vì 9.1 9bc = 9 1cb nên 9b < 10 ⇒b ∈{ }0;1
Nếu b = 1 thì c = 7 Thử lại ta thấy 9.1179≠ 9.9711 ( loại)
Nếu b = 0 thì c = 8 thử lại ta thấy 9.1089= 9.9801 ( loại thỏa mãn
Vậy số cần tìm 1089
Bài 12 : tìm số tự nhiên có ba chữ số abc sao cho abc = n2 – 1 và cba = ( n – 2)2
với ( n∈ N, n > 2 )
Giải
abc - cba = n2 – 1 - ( n – 2)2 = 99(a – c ) = 4n – 5 = > 4n – 5 M99 (1)
Vì n2 = abc + 1 => 101 < n2 < 1000 => 10 < n < 32 => 35 < 4n – 5 < 123 (2)
Từ (1);(2) => 4n – 5 = 99 => 4n = 104 => n = 26
Do vậy abc = 675 Thử lại ta có cba = 576 = (26 – 2)2 là đúng
Vậy abc = 675
Bài 13: ký hiệu S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n Tìm n biết rằng n + S(n) = 94
Giải
Vì n + S(n) = 94 => n là số có hai chữ số
Giả sử n = ab ( với a,b ( n∈ N a ≠ 0) ta có
n + S(n) = ab + ( a + b) = 11a + 2b = 94
Trang 4=> 2
76 94
a
a
≤ ≤
M
=> ra {7;8;92 }
a a
∈
M => a = 8
Từ đó 11.8 + 2b = 94 => b = 3
Vậy n = 83
Bài 14 chứng minh răng
a) n(n + 14)(2n + 11) M3
b) y(y – 1)(2y – 4) M3
c) x(x +17)(2x + 17) M3
d) k(k + 11)(2k + 5) M3