Quy luật phân phối xác suất trong Y học

Phân phối nhị thức  Phép thử Bernoulli Xét một thí nghiệm chỉ có một trong hai khả năng xảy ra: “thành công” hoặc “thất bại”.. Phân phối Poisson  Ví dụ Trong một bệnh viện phụ sản,

CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP

BÀI GIẢNG DÀNH CHO SINH VIÊN, HỌC VIÊN

CÁC CHUYÊN NGÀNH Y DƯỢC

ĐÀO HỒNG NAM

GV ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM

1 Phân phối nhị thức

 Phép thử Bernoulli

Xét một thí nghiệm chỉ có một trong hai khả năng xảy ra: “thành công” hoặc “thất bại” Thành công với xác suất p

Thất bại với xác suất 1-p

Thí nghiệm như vậy gọi là phép thử

Bernoulli, ký hiệu B(1,p)

Phân phối nhị thức

 Phép thử Bernoulli – ví dụ

Khám bệnh: Có bệnh / không có bệnh Điều trị bệnh: Khỏi / không khỏi

Phẫu thuật: thành công / thất bại

Kiểm tra thuốc: tốt / xấu

Phân phối nhị thức

 Phân phối nhị thức

Thực hiện phép thử Bernoulli B(1,p) n lần độc lập

Gọi X = “Số lần thành công trong n lần thí nghiệm”

X = 0, 1, 2, …, n

X có phân phối nhị thức với tham số p

Ký hiệu: X ~ B(n,p)

Ví dụ : Một phương pháp điều trị mới có tỷ lệ khỏi bệnh là 0,8 Điều trị ngẫu

nhiên 50 người, tính xác suất có:

Phân phối nhị thức

0 2 4 6

0 1 2 3 4 5

x P(x)

n = 5 P = 0.5

.2 4 6

0 1 2 3 4 5

x P(x)

.2 4 6

nP

0.6708

0.1) (5)(0.1)(1

P) nP(1-

nP

1.118

0.5) (5)(0.5)(1

P) nP(1-

2.Phân phối Poisson

 Số các biến cố xảy ra trong một

khoảng thời gian cho trước

 Số các biến cố trung bình trên một

đơn vị là 

 Ví dụ

Số người bị tai nạn giao thông ở một ngã tư, số sản phụ đến sinh trong một thời điểm,…

Phân phối Poisson

 Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị từ 0, 1,

2, … gọi là có phân phối Poisson với tham số  nếu

x = 0, 1, 2, …

!

x e

Phân phối Poisson

 Trung bình

 Phương sai và độ lệch chuẩn

λ ]

) [( X 

Phân phối Poisson

 Ví dụ

Trong một bệnh viện phụ sản, số sản phụ sinh trong 1 giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4 Tính xác suất trong 1 giờ có

a Đúng 3 sản phụ đến sinh

b Có nhiều hơn 1 sản phụ đến sinh

Phân phối Poisson

Phân phối xác suất Poisson

0.000.100.200.300.400.500.600.70

P(X = 2) = 0758

 = 50

Phân phối Poisson

 Hình dạng của phân phối Poisson phụ thuộc vào tham số  :

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Định lý Poisson

 Cho X ~ B(n,p)

 Định lý này cho thấy, có thể dùng phân phối Poisson để xấp xỉ phân phối nhị thức khi n khá lớn và p khá nhỏ

Phân phối Poisson

Phân phối Poisson – Nhị

thức

 Ví dụ

Trong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ em ở một vùng dân

cư Biết xác suất 1 trẻ bị phản ứng với thuốc khi tiêm là 0,001 Tính xác suất trong 2000 trẻ có không quá 5 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc

Cách 1: Dùng phân phối nhị thức

2000 2000

~ (2000;0,001) ( ) x 0,001 x 0,999 x

X B  P X   x C   

5

2000 2000

Cách 2: Phân phối Poisson

Phân phối Poisson

Chú ý: Chỉ nên dùng phân phối Poisson khi không thể tính được bằng PP nhị thức Chẳng hạn nếu chỉ cho giá trị trung bình mà không cho biết n và p thì không thể dùng PP nhị thức được

Phân phối đều

 xác suất của tất cả các biến cố bằng nhau

 X có phân phối đều trong khoảng [a,b], ký hiệu X ~ U([a,b])

f(x)

Tổng diện tích miền giới hạn bởi phân phối đều là 1.0

3 Phân phối đều

 Hàm mật độ xác suất của phân phối đều trong đoạn [a,b]

Phân phối đều

Phân phối đều

Ví dụ: Phân phối đều trên khoảng 2 ≤ x ≤ 6

Phân phối mũ

 Biến ngẫu nhiên T (t>0) gọi là có phân phối mũ nếu có hàm mật độ xác suất

Với

  số biến cố xảy ra trung bình trong một đơn vị thời gian

 t số đơn vị thời gian cho đến biến cố kế tiếp

Phân phối mũ

Ví dụ: Số bệnh nhân đến khám tại một khoa chuyên

môn là 15 người một giờ Hỏi xác suất thời gian giữa

2 bệnh nhân liên tiếp đến khám ít hơn 3 phút là bao

 Vậy có khoảng 52,76% khoảng thời gian giữa 2 bệnh

nhân liên tiếp đến khám ít hơn 3 phút

Phân phối chuẩn là một trong những phân phối quan trọng nhất trong xác suất và thống kê Có thể nói rằng nếu không có phân phối chuẩn thì sẽ không có khoa học thống kê

Abraham De Moivre là người đầu tiên đưa ra phân phối chuẩn trong một bài báo

năm 1734 (được in lại trong ấn bản lần 2 The Doctrine of Chances, 1738) khi muốn xấp xỉ một phân phối nhị thức với n lớn Trong cuốn Thorie Analytique des

Propabilities, 1809, Gauss đã phát triển các đặc điểm của luật phân phối chuẩn

và chỉ ra rằng luật phân phối này phù hợp với các hiện tượng tự nhiên Chính vì điều này nên phân phối chuẩn còn được gọi là phân phối Gauss

Theo từ điển bách khoa về khoa học thống kê, người đầu tiên dùng từ “normal”

để chỉ phân phối chuẩn là ông C.S Pierce (1780) vì vào thời đó người ta cho rằng mọi hiện tượng tự nhiên đều tuân theo phân phối chuẩn nhưng thật ra còn có nhiều phân phối khác Tuy nhiên, hầu hết các lý thuyết thống kê đều được xây dựng trên nền tảng của phân phối chuẩn

Phân phối này có dạng hình chuông, tên gọi “đường cong chuông” do Jonffret, người đầu tiên dùng thuật ngữ “bề mặt hình chuông” năm 1872 cho phân phối chuẩn hai chiều với các thành phần độc lập

4 Phân phối chuẩn

4 Phân phối chuẩn

 Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong R gọi

là có phân phối chuẩn với tham số  và  2

Phân phối chuẩn

 Hình d ạng như một cái chuông

 Có tính đối xứng

 Trung bình = Trung vị = Yếu vị

 Vị trí của phân phối được xác định

Phân phối chuẩn

Bằng việc thay đổi các tham số μ và σ , ta nhận được nhiều dạng phân phối chuẩn khác nhau

Phân phối chuẩn

Hàm phân phối XS của PPC

 Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với trung bình μ và phương sai σ 2 , X~N(μ, σ 2 ), hàm phân phối của X là

) x P(X

f(x)

b) X

b

μ

a

b) X

a) P(X

b) P(X

Phân phối chuẩn tắc

 Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(,  2 ) Chuẩn hóa X bằng cách

đặt

 Khi đó E(Z) = 0 và D( Z) = 1 Ta nói Z có phân phối chuẩn

tắc Ký hiệu

1) N(0

Phân phối chuẩn tắc

 Nếu X có phân phối chuẩn với trung bình là 100 và độ lệch

chuẩn là 50, thì giá trị của Z ứng với X = 200 là

200 100

2 50

Phân phối chuẩn tắc

1.0 )

X

P(μ     X ) 0.5 P(    X μ ) 0.5 

Tra bảng chuẩn tắc N(0,1)

 Để tìm xác xuất P(X<x 0 ); chuẩn hóa đưa X về Z: tìm xác suất bằng cách tra bảng chuẩn tắc N(0,1)

Z

( ) a

F(a) P(Z a)=0,5+

Ví dụ

 Giả sử X có phân phối chuẩn với trung bình là 8 và độ lệch chuẩn 5 Tìm P(X < 8,6)

X

8.6

8.0

Ví dụ

Z 0,12

0

X 8,6

Ví dụ

 Tìm P(X > 8,6)

Z 0

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

 Cho X ~ B(n,p) Khi n lớn và p không quá gần 0 và 1

 Tính P(X < c)?

 Tính P(a < X < b)?

Dùng phân phối chuẩn

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

 Ví dụ

Tỷ lệ khỏi bệnh B khi điều trị là 40% Chọn ngẫu nhiên 200 người đã điều trị bệnh B Tìm xác suất khỏi bệnh từ

76 đến 80 người?

Ví dụ

 E(X) = µ = nP = 200(0,40) = 80

 D(X) = σ 2 = nP(1 – P) = 200(0,40)(1 – 0,40) = 48

0,219

5 Các phân phối liên quan đến PPC

5.1 Phân phối Chi bình phương

Phân phối Chi bình phương

5.2 Phân phối Fisher

Phân phối Fisher

5.3 Phân phối Student

Phân phối Student