Biến ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số.. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Định nghĩa: Quy luật phân phối xác suấ
Trang 1Chương 2: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
§1 Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên
1.Định nghĩa biến ngẫu nhiên:
Ví dụ 1: Thực hiện phép thử: gieo một con xúc xắc Gọi X là số chấm xuất hiện Rõ ràng ta chưa biết
X sẽ nhận giá trị nào trong các giá trị có thể có là X=1 chấm, 2 chấm, ….6 chấm
Ví dụ 2: Bắn một viên đạn vào bia Gọi Y là khoảng cách từ tâm bia đến điểm chạm bia của viên đạn,
thì Y có thể nhận các giá trị trong khoảng [ 0 , )
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên là ại lượng mà trong kết quả của phép thử, nó sẽ nhận một và chỉ một trong các kết quả có thể có của nó (tùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên)
Các biến ngẫu nhiên thường được kí hiệu X, Y , X1, X2, còn các giá trị có thể có của chúng được kí hiệu x1, x2, y1, y2,…
Chú ý: +/ Gọi X là biến ngẫu nhiên vì trước khi tiến hành phép thử ta chưa biết X sẽ nhận giá trị nào trong các giá trị có thể có của nó x1, x2,
+/ Khi biến ngẫu nhiên ngẫu nhiên X nhận các giá trị cụ thể x1,x2,…xn thì các biến cố (X=x1),
…(X=xn) tạo nên một hệ đầy đủ các biến cố trong phép thử
2 Phân loại biến ngẫu nhiên
a Biến ngẫu nhiên X gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hữu hạn hoặc đếm được
b Biến ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số
Ví dụ 3: X trong Vd1 là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị 1,2,3,4,5,6 Z trong Vd 4 là
biến ngẫu nhiên liên tục
Ví dụ 4: Z là số người vào mua hàng trong một siêu thị, Z là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị
1,2,3…
§2 Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Định nghĩa: Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa các giá trị có thể
có của nó và các xác suất tương ứng với các giá trị đó
1 Bảng phân phối xác suất:
Trang 2Bảng phân phối xác suất chỉ dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị x1,x2….xi, (xi I), pi=P(X=xi) là xác suất của biến cố X nhận giá trị xi
Quy luật này được thể hiện dưới dạng bảng sau
-Hàng trên liệt kê các giá trị có thể có của X
-Hàng dưới là các xác suất tương ứng
Chú ý: Các pi phải thỏa mãn điều kiện
1
i
i
i I
p p
Ví dụ 1: X là sô chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc
Ta có bảng phân phối xác suất
Ví dụ 2: Một hộp có 8 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu Từ hộp lấy ngẫu nhiên 2 sp Lập bảng phân phối
xác suất của số sp xấu thu được
Gọi Y là số sản phẩm xấu được lấy ra
Ta có bảng phân phối xác suất của Y
Ví dụ 3: Một nguời được giao 3 viên đạn và bắn vào bia đến khi nào trúng thì ngừng bắn Biết các lần
bắn độc lập và xác suất trúng mỗi lần là 0,7 Tìm quy luật phân phối xác suất của số đạn phải bắn Gọi X là số đạn phải bắn
Ta có P(X=1)=0,7; P(X=2)=0,3.0,7=0,21; P(X=3)=0,32
Ví dụ 4: Một người phải tiến hành thí nghiệm cho tới khi nào thành công thì dừng Lập bảng phân
phôi xác suất sô lần phải tiến hành Biết các lần tiến hành độc lập với nhau và xác suất thành công mỗi lần là p (0<p<1)
P(Y) 28/45 16/45 1/45
Trang 3Giải: Gọi X là “số lần phải tiến hành”
X có thể nhận các giá trị 1,2,3…n,
P(X=1) = p
P(X=2) = pq
…
P( X= n) = qn-1p
Bảng phân phối xác suất
Dễ dàng chứng minh được p+qp+q2p+…+qn-1p+….=1
Ví dụ 5: Một người bắn một viên đạn vào bia, với xác suất trúng là 0,7 Thử lập bảng phân phối xác
suất của khoảng cách từ điểm chạm đến tâm bia, biết bán kính bia là 30cm
Ta thấy X là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị trong khoảng [0;30]
Do đó không có bảng phân phối xác suất của X, tuy nhiên ta có thể so sánh xác suất để X nhận các giá trị nhỏ hơn 5 và xác suất để X nhận các giá trị nhỏ hơn 10 ?
II Hàm phân phối xác suất :
1.Định nghĩa: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x,
với x là số thực bất kì
Kí hiệu F(x)=P(X<x)
Chú ý: Định nghĩa trên tổng quát cho cả trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc Khi đó hàm phân
phối xác suất của X được xác định
x
i
p x
X P x
Ví dụ 6: Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau:
Giải:
+) Nếu x0, (X < x) là biến cố không thể có, F(x) = P(X < x) = 0
P(X) P qp q2p … qn-1p …
P(X) 28/45 16/45 1/45
Trang 4+ Nếu 0 x 1, F(x)=P(X < x) = P(X=0) = 28/45
+ Nếu 1 x 2, F(x) = P(X<x) = P(X=0) + P(X=1)=28/45+16/45=44/45
+ Nếu x > 2, F(x) =1
Vậy hàm phân phối xác suất của X có dạng
F(x) =
2 1
2 1
45 /
44
1 0
45 /
28
0 0
x khi
x khi
x khi
x khi
2 Các tính chất của hàm phân phối xác suất :
Tính chất 1
0 F x( ) 1 x,
( ) lim ( ) 0
x X P F
x
,
( ) lim ( ) 1
x X P F
x
Tính chất 2: Hàm phân phối xác suất là hàm không giảm, tức là với mọi x2 > x1 thì F ( x2) F ( x1)
Chứng minh: Phân tích biến cố (X < x2) thành 2 biến cố xung khắc là (X < x1) và )
( x1 X x2
Theo định lý cộng xác suất, ta có:
) (
) (
) ( X x2 P X x1 P x1 X x2
P ( X x2) P ( X x1) P ( x1 X x2)
F ( x2) F ( x1) P ( x1 X x2)
F ( x2) F ( x1) 0 , Do 0 P ( x1 X x2) 1
Hay F ( x2) F ( x1)
Hệ quả 1: P ( a X b ) F ( b ) F ( a )
Hệ quả 2: Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị xác định bằng 0
Chứng minh: Ta cm P(X= x) = 0
Đặt a=x, b=x+ x
) ( ) (
) ( x X x x F x x F x
P
Trang 5Cho x 0, Ta có lim ( ) lim ( ) ( )
0 0
x F x x F x
x X x P
x x
Vì X là biến ngẫu nhiên liên tục nên hàm phân bố xác suất cũng liên tục tại x
0
lim
x
F x x F x P X x F x F x
Hệ quả 3: Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, ta có
) (
) (
) (
) ( a X b P a X b P a X b P a X b
III Hàm mật độ xác suất :
Như ta đã biết, hàm phân phối xác suất không đặc trưng được xác suất để một biến ngẫu nhiên
liên tục nhận một giá trị xác định, do đó người ta thường dùng hàm mật độ xác suất để mô tả quy luật phân phối xác suất
1 Định nghĩa: Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất F(x) Hàm mật độ xác suất
f(x) của biến ngẫu nhiên X là đạo hàm của hàm phân phối, f(x)=F’(x)
2 Các tính chất:
Tính chất 1: f ( x ) 0, (do tính không giảm của hàm phân phối)
Tính chất 2:
b
a
dx x f b X a
Về mặt hình học, xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng (a,b) bằng diện tích giới hạn bởi trục Ox, đường cong f(x), và các đường thẳng x=a, x=b
Tính chất 3:
x
dx x f x
F ( ) ( )
x
dx x f x
X P
x X P x
Trang 6Về mặt hình học, giá trị của hàm phân phối xác suất tại điểm a bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, đường f(x) bên trái đường x=a
Tính chất 4: ( ) 1
dx x f
Chú ý: Để hàm số f(x) có thể là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục nào đó thì nó
phải thỏa mãn 2 điều kiện sau:
1 ) (
0 ) (
dx x f
x f
Ví dụ 1: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
(2;6) x
0
(2;6) x
) ( x C f
a Xác định C
b Tìm hàm phân phối xác suất F(x)
c Tính P ( 3 X 5 )theo 2 cách (dùng hàm phân phối, hàm mật độ)
d Tính P(X>3)
e Tìm x để P(X>x)=1/4
Giải:
a Ta có:
4
1 2 6
1 1
6
2
Trang 7b Khi đó
(2;6) x
0
(2;6) x
4
1 )
(x f
Ta có: Khi x 2, F(x)= 0
Khi 2<x 6, F(x)=
2
1 4 4
1 )
( )
(
2
x dt dt
t f dt t f
4
1 )
( )
( )
(
6
2
6
2 6
2
dt dt
t f dt t f dt t f
x
Vậy F(x)=
6 1
6 2
2
1 4
2 0
) (
x khi
x khi x
x khi dt
t f
x
c P ( 3 X 5 )=F(5)-F(3)=5/4-3/4=1/2
4
1 )
(
5
3 5
3
f t dt dt
d P(X>3)=3/4
e 1-P(X<x)=1/4 1-(x/4-1/2)=1/4x=5
Ví dụ 2: Thời gian một khách hàng chờ phục vụ là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất
3 1
3 0
0 0
)
x khi
x khi Ax
x khi x
F
a Tìm A và hàm mật độ xác suất của X
b Tìm xác suất để trong 3 người xếp hàng thì có 2 người phải chờ không quá 2 phút
Giải:
a Vì F(x) liên tục trái tại x=3, ta có
2
1
9
Lim F x F Lim Ax A
Trang 8Khi đó
3 1
3 0
9 1
0 0
)
x khi
x khi x
x khi x
3 0
3 0
9 2
0 0
) (
x khi
x khi x
x khi x
f
b Xác suất để một khách hàng phải chờ không quá 2 phút: P(X2)=F(2)=
9
4 2 9
1 2
xác suất để trong 3 khách hàng có 2 người phải chờ không quá 2 phút là
329 , 0 9
5 ) 9
4
(
)
2
3
P
§3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Mặc dù quy luật phân phối xác suất cho ta nắm được toàn bộ thông tin về biến ngẫu nhiên, tuy nhiên, trong thực tế, ta lại thường quan tâm đến những thông tin cô đọng phản ánh tổng hợp những đặc trưng quan trọng nhất của biến ngẫu nhiên Những thông tin cô đọng phản ánh từng phần về biến ngẫu nhiên gọi là các tham số đặc trưng
I Kì vọng toán:
1 Định nghĩa: Cho biến ngẫu nhiên X, kì vọng của X, kí hiệu E(X) được cho bởi công thức sau: + Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x1,x2,….xn với xác suất tương ứng
p1,p2,….pn…thì
i i
ip x X
E ( )
Nếu X chỉ nhận hữu hạn giá trị x1,x2,….xn với xác suất tương ứng p1,p2,….pi thì
n
i
i
ip x
X
E
1
)
(
+ Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) thì
xf x dx X
E ( ) ( )
Ví dụ 1: X là số chấm xuất hiện khi tung con xúc xắc, X có bảng phân phối xác suất
Trang 9
21 6
1 6 6
1 5 6
1 4 6
1 3 6
1 2 6
1
.
1
)
Ví dụ 2: Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất
) 1 , 0 ( 0
) 1 , 0 ( 2 6 6
) (
2
x
x x
x x
f
Ta có ( ) ( 6 6 2 ) 0 , 5
1
0
2
x x x dx X
E
Chú ý: + Kì vọng toán của biến ngẫu nhiên là một con số xác định
+ Đơn vị của kì vọng trùng với đơn vị của X
2 Các tính chất của kì vọng:
TC1: E(C)=C (C là hằng số)
TC2: E(CX)=CE(X)
Chứng minh: Ta chứng minh cho trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc, X có bảng phân phối xác suất
Khi đó CX cũng là biến ngẫu nhiên mà các giá trị có thể có của nó bằng tích giữa C và các giá trị có thể có của X, xác suất tương ứng không thay đổi
Trang 10E(CX)=Cx1p1+Cx2p2+….+Cxnpn=CE(X) TC3: Kì vọng của tổng hai biến ngẫu nhiên bằng tổng các kì vọng của các biến ngẫu nhiên thành phần: E(X+Y)=E(X)+E(Y)
Ghi chú: Tổng của hai biến ngẫu nhiên X, Y là biến ngẫu nhiên X+Y mà các giá trị có thể có của nó là tổng của mỗi giá trị có thể có của X và mỗi giá trị có thể có của Y
Ta sẽ chứng minh tính chất trong trường hợp X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc
Giả sử X, Y có bảng phân phối xác suất như sau:
Ta có bảng phân phối xác suất của X+Y
Trong đó pij = P(X+Y=xi+yj)
n
i m
j ij j n
i m
j ij i n
i m
j
ij j
x Y
X
E
1 1
1 1
1 1
) (
)
(
=
m
j n
i ij j n
i m
j ij
x
Ta chứng minh: i
m
j
ij p
p
1
Thật vậy, biến cố (X=xi) xảy ra khi X+Y nhận các giá trị xi+y1, …xi+ym
P(X=xi)=P(X+Y=xi+y1)+….P(X+Y=xi+ym)
hay pi = pi1+…+pim =
m
j ij
p
1
n
i
ij p
p
1
Vậy E(X+Y)=E(X)+E(Y)
X x1 x2 … xn
P(X) p1 p2 … pn
Y y1 y2 … ym
P(Y) q1 q2 … qm
X+Y x1+y1 x1+y2 … xn+ym
Trang 11HQ1: +) E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
+) ( ) ( )
n
i
n
i
i
X E
n
i i
X n
E
1 )
1 ( nếu E(Xi)= i
Định nghĩa: (Hai biến ngẫu nhiên độc lập)
-Hai biến ngẫu nhiên X,Y gọi là độc lập với nhau nếu quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên này không phụ thuộc gì vào việc biến ngẫu nhiên kia nhận giá trị bao nhiêu
-Các biến ngẫu nhiên gọi là độc lập lẫn nhau nếu các quy luật phân phối của một số bất kì các biến ngẫu nhiên nào đó không phụ thuộc gì vào việc các biến ngẫu nhiên còn lại nhận giá trị bằng bao nhiêu
TC4:Nếu X, Y độc lập thì E(XY)=E(X).E(Y)
Thật vậy:
) ( ) ( )
( XY x y p q x p y q E X E Y
E
j j i i
i j
j i j
Hệ quả: Nếu X1, X2, …Xn độc lập lẫn nhau thì ( ) ( )
1
n
i
i n
i
X E
TC5: +) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối P(X= xi) = pi
n
i
i
i p x X
E
1
) ( ))
(
+) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x), ( ( ))E X ( ) ( )x f x dx
3 Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng toán:
+/ Kì vọng toán của biến ngẫu nhiên gần bằng trung bình số học các giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên (bằng trung bình theo nghĩa xác suất) Nó phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
XY x1y1 x1y2 … xnym
P p1q1 p1q2 … pnqm
Trang 12+/ Kì vọng toán có cùng đơn vị với biến ngẫu nhiên
Ví dụ 1: Cho phân phối xác suất của số máy hỏng trong một ca sản xuất
a Tính số máy trung bình trong một ca sản xuất
b Tính E[X-E(X)]2
c Mỗi máy hỏng phải sửa chữa hết 3 triệu đồng Tính số tiền sửa máy trung bình trong một ca sản xuất
Giải:
a Số máy hỏng trung bình E(X)= 0.0,72+1.0,26+2.0,02=0.3
c Gọi Y là chi phí phải chữa: Y=3X, E(Y) =E(3X)=3E(X)=0.9( triệu)
Ví dụ 2:Chứng minh rằng E(X-E(X))=0
II Trung vị:
Là giá trị nằm chính giữa tập hợp các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên, kí hiệu md
- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì xi sẽ là trung vị nếu F(xi)0,5<F(xi+1)
- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì
d
m
dx x
f ( ) 0 , 5
III Mốt:
Kí hiệu m0, là giá trị của biến ngẫu nhiên ứng với
- Xác suất lớn nhất nếu là biến ngẫu nhiên rời rạc
- Cực đại của hàm mật độ xác suất nếu là biến ngẫu nhiên liên tục
IV Phương sai, độ lệch chuẩn:
Do trung bình sai lệch của biến ngẫu nhiên so với kì vọng toán bằng không Nên để đo độ phân tán của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình, người ta đo trung bình bình phương các sai lệch
đó
1 Định nghĩa 1:
Phương sai của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu V(X) ( hoặc Var(X)) được cho bởi công thức: V(X)=E[X-E(X)]2
P(X) 0.72 0.26 0.02
Trang 13+ Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc,có phân phối xác suất P(X= xi) = pi ,
n
i
i
x X
V
1
2
)]
( [
)
(
+ Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, co hàm mật độ xác suất f(x),
x E X f x dx
X
V ( ) [ ( )]2 ( )
Ta cũng có thể tính theo công thức V(X)=E(X2)-[E(X)]2
Thật vậy, V(X)=E[X-E(X)]2=E[X2-2XE(X)+E2(X)]=E(X2)-[E(X)]2
Chú ý : Phương sai của một biến ngẫu nhiên luôn không âm
2 Định nghĩa 2:
Ta thấy đơn vị của phương sai bằng bình phương đơn vị của biến ngẫu nhiên X, để khắc phục điều này, người ta đưa ra khái niệm độ lệch chuẩn
)
( X
V
X
gọi là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X
Ví dụ 1: Tìm phương sai của số máy bị hỏng
Ta có: E(X)=0,3
V(X)=02.0,72+12.0,26+22.0,02-(0,3)2=0,25
Ví dụ 2: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
) 1 , 0 ( 0
) 1 , 0 ( 2
6 6
) (
2
x
x x
x x
f
Tính phương sai
( ) 0 , 5 )
( X xf x dx
E
( ) ( 6 6 2 ) 0 , 5 0 , 117
1
0
2 2
x x x dx X
V
3 Tính chất:
a V(C)=0
P(X) 0.72 0.26 0.02
Trang 14b V(CX)=C2V(X)
c Nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì
V(XY)=V(X)+V(Y)
Chứng minh:
a V(C)=E(C2)-[E(C)]2=0-0=0
b V(CX)=E(C2X2)-[E(CX)]2=C2{E(X2)-[E(X)]2}=C2V(X)
c V(X+Y)=E[(X+Y)2]-[E(X+Y)]2=E[X2+2XY+Y2]-[E(X)+E(Y)]2
=E[X2]-[E(X)]2+E[Y2]-[E(Y)]2=V(X)+V(Y)
Hệ quả:Nếu X1,X2,…Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập thì
n
i
i n
i
X V
1 1
) ( )
(
Hơn nữa, nếu các Xi cùng phân phối (V(Xi)=) thì
n
X n V X V
n
i i
1 )
1 ( ) (
1
4 Bản chất, ý nghĩa:
Phương sai phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với kì vọng toán Phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) càng lớn thì mức độ phân tán càng lớn
Ví dụ 3: Cho X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập chỉ lợi nhuận (%) hàng năm khi đầu tư vào 2 ngành
A, B nào đó Giả sử E(X)=12, V(X)=25, E(Y)=14, V(Y)=36 Một người đầu tư vào cả hai ngành A, B thì cần lựa chọn tỉ lệ đầu tư như thế nào để ít rủi ro nhất
Giải: Gọi a là tỉ lệ vốn đầu tư xào A
thì 1-a là tỉ lệ vốn đầu tư vào B Gọi Z là lợi nhuận thu được, ta có Z=aX+(1-a)Y
V(Z)=V(aX+(1-a)Y)=a2V(X)+(1-a)2V(Y)=61a2-72a+36
V(Z)min khi a=36/61 59%
Vậy nhà đầu tư nên đầu tư 59% vào A và 41% vào B
Ví dụ 4: Tung 12 con xúc xắc Tìm kì vọng, phương sai của tổng số chấm thu được
Giải: Gọi Xi (i=1 12) là số chấm thu được khi tung con xúc xắc thứ i, X là tông số chấm thu
được X=
12
1
i
i
X
