on thi tot nghiep

1Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số khi k=1 2Viết phương trình đường thẳng d đi qua A3;0 có hệ số góc a.. b Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất tr

Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b)

1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x1, x2∈(a,b) mà x1<x2 thì f(x1)<f(x2)

2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x1, x2∈(a,b) mà x1<x2 thì f(x1)>f(x2)

3) x0∈(a,b) được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tạ đó f’(x) không xác định hay bằng 0

II Định lý:

1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b]và có đạo hàm trên khoảng (a,b)thì tồn tại một điểm c∈(a,b) sao cho

( ) ( )( ) ( ) '( ).( ) '( ) f b f a

2) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b)

• Nếu f’(x)>0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b)

• Nếu f’(x)<0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b)

(Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn còn đúng).

x m

−

=+

a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2

b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1

c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó Bài 4: Chứng minh rằng

1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x0∈(a,b)

• Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x0 ta có f(x) < f(x0) (x ≠ x0)

• Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x0 ta có f(x)>f(x0) (x ≠ x0)

2 Điều kiện để hàm số có cực trị:

Chuyên đề 1 :

Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x0∈(a,b) và đạt cực trị tại điểm

đó thì f’(x) = 0

Định lí 1:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 (có thể trừ tại x0)

a) Nếu f’(x0) > 0 trên khoảng (x0 ; x0); f’(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + δ) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)

b) Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x0 - δ; x0) ; f’(x) > 0 trên khoảng (x0; δ+ x0) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là điểm cực trị

Định lí 2 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x0 và f’(x0) = 0, f''(xo) ≠ 0 thì

xo là một điểm cực trị của hàm số Hơn nữa

1) Nếu f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu

2) Nếu f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành

c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1)

c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞)

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1

2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a Biện luận theo a số giao điểmcủa (C) và (d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A

3)Chứng minh với mọi k đồ thị luôn có cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0.Bài 5: Định m để hàm số 1 3 2 2

− +

=+ Xác định m sao cho hàm số.

a) Có cực trị

b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau

Bài 7: Cho hàm số y= f x( )= − +x3 3x2−3 x+3m-4m

a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m

b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của

đồ thị hàm số

ℑ3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1)Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D

Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:

: ( ): ( )

2 2

+ + với mọi giá trị x.

ℑ4 LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN :

1) Định nghĩa :

+Cung AB lồi nếu mọi điểm của cung tiếp tuyến luôn ở phía trên cung

+Cung AB lõm nếu mọi điểm của cung tiếp tuyến luôn ở phía dưới cung

2) Dấu hiệu lồi lõm và điểm uốn

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên (a;b)

+ Nếu f”(x)<0 với mọi x∈(a,b) thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó

+ Nếu f”(x)>0 với mọi x∈(a,b) thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó

+ Nếu f’’(x) đổi dấu khi xđi qua x0 thì điểm M0(x0,f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số

+

=+ + có ba điểm uốn thẳng hàng.

hoặc xlim [ ( ) (ax+b)] 0→−∞ f x − =

hoặc lim[ ( ) (ax+b)] 0x→∞ f x − = .

4) Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b

x

( )lim b= lim[ ( ) ax]

tiệm cận của đồ thị hàm số khảo sát trên (TN-THPT 02-03/3đ)

Bài 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

a) y= x2−1

b)

3 2

11

y x

- Chiều biến thiên, cực

- Tính lồi lõm, điểm uốn,

b ax

+ (tử, mẫu không có nghiệm chung, )

Phần III: ÔN TẬP CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN

x

y

O

• I

x

y

O

• I

x O

O

• I

Dạng 1: hàm số có cực trị

Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình:

f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)

+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát

+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùngphương với trục Ox

Các bước giải

Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 3 bảng sau:

Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận:

Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay.

Nhấn mạnh cho học sinh nhớ và vận dụng thành thạo các công thức:

• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi

(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox

 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay không có Ox).

 Xác định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm)

 Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thức f(x)/[a;b] (hay dấu của f(x) –g(x) /[a;b])

 Biết các bước trình bày bài giải và tính đúng kết quả

 Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay:

 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy)

 Xác định các cận trên, cận dưới và tính đúng kết quả

Ví dụ 4: (trích đáp án kì thi THPT không phân ban 2006 )

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1

Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x 3 – 3x2 và trục Ox

Giải:

3 0

4

x x

a) Khảo sát hàm số khi m = 3

b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm của phương trình:

x3 – 3x – k +1 = 0c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3

Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 2x2 – (m - 1)x + m = 0

a) Xác định m để hàm số có cực trị

b) Khảo sát hàm số trên Gọi đồ thị là (C)

c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A Tính diện tích hình phẳng giới hạnbởi (C) và đoạn OA

Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)2(x –1)2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x2 – 1)2 – 2n + 1 = 0

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.

Bài 4: Cho hàm số

m x

m x m y

−

+

−

=( 1) (m khác 0) và có đồ thị là (Cm)a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C2), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết pttt của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành

Bài 6: Cho hàm số

4

4 2

d)* Tính thể tích hình tròn xoay do (H) quay 1 vòng xung quanh Ox tạo ra

Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong :

y = 41 x2; y = −21x2+3x.

Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x2 + y – 5 = 0; x + y – 3 = 0 Tính thể

tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox

Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường: y = x2 và y

= x quay quanh Ox

Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)

Số giao diểm của hai đường cong (C 1 ) y= f(x) và (C 2 ) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1)

y và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong

Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình 1

Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt

(chú ý cả hai nghiệm đều khác 1)

Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm

+ m ≠ 0 và m ≠ - 2 có hai giao điểm.

B

ài tập:

Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): 3 2 2

+

=

− .KQ: -28 < a ≤ 0

Bài 3) Cho đường cong (C): 2 2 2

− Tìm các giá trị của k sao cho trên (C) có 2 điểm khác

nhau P, Q thỏa mãn điều kiện: P P

 Yêu cầu đối với học sinh :

 Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:

+ → không có cực trị hoặc có 2 cưc trị.

 Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x0∈ (a;b)

• Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x0 thì hàm số có cực trị tại x = x0

• Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu từ + → – khi x qua x0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x0

• Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu từ – → + khi x qua x0 thì hàm số có cực đại tại x = x0

(Điều này vẫn đúng khi hsố không có đạo hàm tại x0 nhưng hàm số có xác định tại đó)

 Hoặc:

• Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x) ≠ 0 thì hàm số có cực trị tại x = x0

• Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x0

• Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x0

3). Hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x1, x2 và khi đó x2

– x1 không phụ thuộc tham số m

Yêu cầu học sinh nắm được các bước trình bày bài giải các dạng bài toán sau:

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M0(x0;y0) ∈ (C)

 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0)(x x− 0) hay y – y0 = k(x – x0) (*)

 Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào (*)

Rút gọn ta có kết quả

Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(xA;yA)

 Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:

 Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1) Ta có kết quả

Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến

(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) )

C1:  Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k ⇒ ⇒ x = x0 ( hoành độ tiếp điểm)  Bước 2: Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x0) + y0 ta có kết quả

C2:  Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**)

(trong đó m là tham số chưa biết)

a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B

b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau

Bài 2: Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1, có đồ thị (C)

a) Tìm các điểm cố định của (Cm)

b) Lập pttt tại các điểm cố định đó

Bài 3: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 – 2m + 1 Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị

hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau

Bài 4: Cho hàm số y = 2

2

x x

x x

+

− Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm

với trục tung và trục hoành

Bài 6: Cho hàm số y = 2

2

x x

+

− Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5)

Bài 7: Viết pttt của đồ thị hàm số y =

Bài 8) Cho hàm số y = x3 – 3x Lập các pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số

Bài 9) Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 + 5 Lập pttt kẻ từ A(19

12;4)Bài 10) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1 Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao

cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O

MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP Bài 1) Cho hàm số

x

mx)m(x

y= 2 + −2 + , m là tham số, có đồ thị là (Cm)1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

2) Với giá trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao điểm phân biệt A và B Trongtrường hợp đó, tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2

Bài 2) Cho hàm số

2

54

y , có đồ thị là (Cm)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm phân biệt đối xứngnhau qua O

Bài 3) Cho các đường: y = x2 – 2x + 2, y = x2 + 4x + 5 và y = 1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên

Bài 4) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =

)1x(2

3x4

b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên

c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xácđịnh m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất

d) Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được haitiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ

e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhấtf) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J chứng minh rằng S là trung điểm của IJ

g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C)

Bài 6:Cho hàm sốy= (x− 1 ) 2 ( 4 −x)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng

c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5)

d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau

e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

3 6 2 9 4 0

x − x + x− − =m

Bài 7:

Cho hàm số y= 2x3 − 3 (m+ 1 )x2 + 6mx− 2m

a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)

b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó

c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞)

b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x3-6x2-5x+m=0.

c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M

d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx

e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành

f) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng

3).Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ (a, b∈ & ≠¡ a 0):

2 , 2 cos

− Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc

hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm.

Bài 1: Cho hai hàm số ( ) 1 1 2

Tìm nguyên hàm F x ( ) của hàm số f x ( ) biết rằng F ( ) π = π

Bài 3: Cho hàm số f x ( ) = 2 cos cos2x 4 x Tìm hàm số G x ( ) biết rằng G x ′′ ( ) = f x ( ) và

sao cho f x ( ) − f x ′ ( ) = 0

Bài 6: Cho hàm số y xe = x

a Tính y ′và y ′ ( ) 2

a a

− Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng

hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.

− Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.

− Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểuthức nằm trong dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trênmỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấuGTTĐ

Bài 1: Tính các tích phân sau đây:

a 4

0

2 cos cos x xdx

+

c

2 1

a Chứng minh rằng F x ( ) là nguyên hàm của f x ( )

b Áp dụng câu a tính

1 2

Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích

của f   ϕ ( ) x   (hàm số theo biến là ϕ ( ) x ) với đạo hàm của hàm ϕ ( ) x Áp dụng công thức trên vàocác trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:

a).TH1: β f(sin cosx) xdx

c). TH3: f(ln x) 1dx

x

β α

f tgx dx

x

β α

x

β α

xdx x

cos sin cos

sin cos

xdx x

xdx x

dx tgx tg x

Trong đó p x ( ) là hàm số đa thức, còn q x ( ) là hàm sin ( ) α x hoặc cos ( ) α x

→ Trong trường hợp này ta đặt: ( )

b).Dạng 2: b ( ) ( ).

a

p x q x dx

∫

Trong đó p x ( ) là hàm số đa thức, còn q x ( ) là hàm logarit.

→ Trong trường hợp này ta đặt: ( )

∫

§5 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:

Tính các tích phân sau đây:

• Bước 3: Rút gọn biểu thức f x ( ) ( ) − g x , sau đó xét dấu của hiệu này.

• Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ

c) Chú ý:

Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu

GTTĐ sẽ dễ dàng hơn Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ, ( ) C1 nằm trên

( ) C2 thì hiệu f x ( ) ( ) − g x ≥ 0, và ( ) C1 nằm dưới ( ) C2 thì hiệu f x ( ) ( ) − g x ≤ 0

2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:

• Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát)

• Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tíchbằng công thức (2)

• Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các hình nhỏ

3) Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox:

C y x x = − và trục Ox

Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( ) C y x : = 4 − x2 và trục Ox

Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( ) C y x : = 3− 3 x + 1 và đườngthẳng d y : = 3

Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( ) C y : x2 2 x 1 2

x

+ +

=

+ ; đườngtiệm cận xiên của ( ) C ; Ox; x e = − 1

Bài 6: Cho đường cong ( ) C y x : = 3− 3 x2 + 4 x Viết phương trình tiếp tuyến d của ( ) C tạigốc tọa độ O Từ đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( ) C và d.

Bài 7: Cho parabol ( ) P y x : = 2− 6 x + 5

a Viết phương trình các tiếp tuyến của ( ) P tại các giao điểm của ( ) P với trục Ox

b Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( ) P và các tiếp tuyến nói ở câu a

Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( ) C y : = x ; d y : = − 2 x và trục Ox

Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) P y : 2 = 4 x và đường thẳng

:

d y = x −

Bài 10: Cho parabol ( ) P y : 2 = 4 x

a Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) P tại điểm tung độ bằng 4

b Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( ) P , trục Ox và tiếptuyến nói ở câu a

Bài 11: Cho đường cong ( ) C y : 2 x 1 1

x

+

= + Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:

( ) C Ox Oy ; ; Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox

Bài 12: Cho đường cong ( ) C y x : = 4 − x2 Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi( ) C và trục Ox.Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox

A HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:

I Qui tắc cộng – qui tắc nhân: (Phép đếm)

 Qui tắc cộng: Nếu có m1 cách thực hiện công việc H1, m2 cách thực hiện công việc H2, …,

mn cách thực hiện công việc Hn (cách thực hiện Hi không trùng với bất kỳ cách thực hiện công việc Hj

nào, với i ≠j; i, j = 1, 2, …, n) thì có m1 + m2 + … + mn cách thực hiện một trong các công việc H1, H2,

…, Hn

 Qui tắc nhân: Nếu có m1 cách thực hiện công việc H1, m2 cách thực hiện công việc H2, …,

mn cách thực hiện công việc Hn (cách thực hiện Hi không trùng với bất kỳ cách thực hiện công việc Hj

nào, với i ≠j; i, j = 1, 2, …, n) thì có m1.m2…mn cách thực hiện Tất cả các công việc H1, H2, …, Hn

II Hoán vị: Cho tập A có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập A được gọi làmột hoán vị của n phần tử của A

Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n!

 n! = 1.2…(n – 1).n

 Qui ước: 0! = 1III Chỉnh hợp: Cho tập A có n phần tử Mỗi bộ gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử khác nhau, sắp thứ tự

của A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A

Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là: n k

n A

n k

=

−

! ( )!

Chuyên đề 3 :

Có thể tính

k n

 Chú ý: Chỉnh hợp chập n của n phần tử là hoán vị của n phần tử

III Tổ hợp: Cho tập A có n phần tử Mỗi bộ gồm k (0 ≤ k ≤ n) phần tử khác nhau (không chú ý đến tính thứ tự) của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (với k = 0 ta qui ước bộ rỗng

b) Số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau?

c) Số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau?

 a) Muốn lập một số tự nhiên gồm bốn chữ số ta cần thực hiện tất cả bốn công việc (chọn chữ số

từ các chữ số đã cho xếp vào bốn vị trí a a a a ), do số gồm bốn chữ số không yêu cầu gì về điều kiện 1 2 3 4

khác nhau nên ta dùng qui tắc nhân để giải

 a) và b) phân tích theo phương pháp tương tự như trên Phân tích thêm câu c) có thể dùng phần

bù để giải

 Cho năm điểm (trong đó không có bộ ba điểm nào thẳng hàng) Từ năm điểm đã cho cóthể xác định được bao nhiêu:

a) Đoạn thẳng?

b) Vectơ khác vectơ – không?

 Mỗi đoạn thẳng được xác định bởi một bộ gồm hai phần tử khác nhau không kể thứ tự nên mỗi

tổ hợp chập 2 của 5 điểm đã cho xác định một đoạn thẳng

 Mỗi vectơ được xác định bởi một bộ gồm hai phần tử khác nhau có thứ tự nên mỗi chỉnh hợpchập 2 của 5 điểm đã cho xác định một véctơ.

 Phân tích sự giống nhau và khác nhau ở hai câu trong bài 

 Trong một chi đoàn có 25 đoàn viên Hỏi có bao nhiêu cách chọn một Ban chấp hành gồmmột bí thư, một phó bí thư và ba uỷ viên? (mỗi đoàn viên chỉ đảm nhiệm nhiều nhất một chức vụ)

 Muốn chọn một Ban chấp hành ta phải thực hiện tất cả ba công việc: CV1–chọn một bí thư,CV2–chọn một phó bí thư, CV3–chọn ba uỷ viên

CV1: Chọn một đoàn viên trong 25 đoàn viên làm bí thư → có 25 cách thực hiện công việc 1.

CV2: Chọn một đoàn viên trong 24 đoàn viên còn lại làm phó bí thư → có 24 cách thực hiện

 Sau khi cho học sinh phân tích và giải bài toán  đến đáp số là C A , nêu thêm bài toán  có cách giải 7 3 5 4

hoàn toàn tương tự để rèn luyện thêm khả năng phân tích đề, xây dựng chương trình giải cho học sinh

 Trong một số bài toán có thể dùng phần bù để giải Nhất là các bài toán có các từ “ít nhất”, “nhiềunhất”…

II Các bài toán về giai thừa:

III Các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có chứa A n k và C n k:

 Hướng dẫn kỹ cách đặt điều kiện:

+ Đối với A n k điều kiện là: k ,n

 Khai triển đúng công thức trong trường hợp cụ thể k là gì, n là gì

IV Các bài toán về nhị thức NIUTƠN:

 Bài toán về khai triển nhị thức (a + b)n:

 Yêu cầu học sinh viết nhị thức dưới dạng: