Đáp án đề thi HSG tỉnh Bảng B môn toán học

Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh

Năm học 2007 - 2008

hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức

(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang)

Môn: Toán lớp 12 - THPT - bảng B

a. (m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1) 3,0

(1) trở thành: (m - 3)t + (2 - m)t2 + 3 - m = 0 <=> m =

2 2

2t 3t 3

t t 1

 

 

(2)

0,5 Xét f(t) =

2 2

2t 3t 3

t t 1

 

 

, t  0

f/(t) =

2

t 2t (t t 1)



 

; f/(t) = 0 <=> t 0

t 2





 

Bảng biến thiên

0,5

f(t)

3

2 5

3 Phơng trình (1) có nghiệm <=> phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn t  0

<=> 5

m 3

cosx x



(1)

3,0

(1) <=> tgx.sin2x - x3 > 0

Xét f(x) = tgx.sin2x - x3 > 0 ; x (0; )

2



0,5

f/(x) = tg2x + 2sin2x - 3x2

f//(x) = 2tgx 12

cos x + 4sinx.cosx - 6x = 3

2sin x cos x + 2sin2x - 6x

f///(x) =

6

2cos x 6sin x.cos x

4cos2x 6 cos x



0,5

=

2 4

2cos x 6sin x

8cos x 10 cos x



4

8cos x 10cos x 4cos x 6

cos x

=

4

2(cos x 1) (4cos x 3)

0 cos x

 x (0; )

2



 

0,5

=> f//(x) đồng biến trên (0; )

2

 => f//(x) > f//(0) = 0 , x (0; )

2



 

0,5

=> f/(x) đồng biến trên (0; )

2



=> f/(x) > f/(0) = 0 , x (0; )

2



 

0,5

=> f(x) đồng biến trên (0; )

2



=> f(x) > f(0) = 0 , x (0; )

2



 

0,5

a. ĐK: - 1  x  1

0,5 Xét hàm số y = x + 1 x 2 trên đoạn [-1; 1], ta có:

y/ = 1 -

2

x

1 x

=

2 2

1 x x

1 x

 



0,5

 y/ = 0 <=> 1 x 2 x

<=> x 02 2 1

x 2

1 x x





 



Khi đó y(-1) = - 1 ; y( 1

Vậy max y = 2 khi x = 1

2

sin y cos2y sin 2y sin x cos x 1 (2)

4













 



Ta có (1) <=> sin x sin y /

(1 )



<=> (cosx - sinx)(cosx + sinx) + (sinx + cosx) - (sinx + cosx) = 0

<=> (sinx + cosx) (cosx - sinx + 1 - sinx - cosx) = 0

<=> (sinx + cosx) (1 - 2sinx) = 0

<=> sinx = 1

2 (do sinx + cosx > 0 x (0; )4



<=>

6 5

6













Do x (0; )

4



 nªn x =

6



VËy hÖ cã nghiÖm: ;

6 6

 

Bµi 3.

T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: cos 3x 9x2 160x 800 1

8



Ta cã (1) <=> (3x 9x2 160 800) k2

8



169x 800 (3x 16k) 2

3x - 16k 0 9x









<=> 2

16k

3 8k 25

3k 5











 

Cã (2) <=> 9x = 24k - 40 - 25

Do k vµ x nguyªn nªn 3k + 5 lµ íc cña 25

Suy ra 3k + 5  {- 1; 1; 5; - 5; 25; - 25} 0,5

Bài 4 5,5

 S = 1

2CH.AB (1).

Ta có: AB = 2

Phơng trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) = a b 5

2

 

do đó: (1) <=> 3 1 a b 5

 

<=> a b 8

a b 2

 



  

 Toạ độ G(a 5 b 5

;

)

Ta có: G   <=> 3(a 5) b 5

8 0

   <=> 3a - b = 4

0,5

TH1: a b 8 a 2



=> C(-2; -10)

0,5 Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 65 89

=> r = 2S 3

TH2: a b 2 a 1



=> C(1; -1)

0,5 Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 5 2

=> r = 3

b.

Ta có tâm I(1; 2), bán kính R = 1

d(I, ) =

1 2 1

2 R

1 ( 1)

 

T

1

Phơng trình đờng tròn (C) là:

(x - m 2 2 m 2 2 m2 (m 2)2

<=> x2 + y2 - (m + 2)x - (m + 2)y + 3m + 1 = 0 0,5

=> phơng trình đờng thẳng T1T2 là: mx + (m - 2) y - 3m + 3 = 0 0,5 Gọi A(x0; y0) là điểm cố định mà T1T2 luôn đi qua

Ta có: mx0 + (m - 2) y0 - 3m + 3 = 0 m  R

<=>

0

0 0 0

0

3 x

y 2











=> đờng thẳng T1T2 luôn đi qua một điểm cố định A(3 3

;