Chuyên đề tìm GTLN, GTNN bang BDT COSI

Lí thuyếtCách giải: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tíchcủa chúng là một hằng số Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằngnhau rồi áp dụng BĐT

CHUYÊN ĐỀ 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN DỰA TRÊN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

Dấu “=” xảy ra khi a1 =a2 = = ≥ a n 0

Cho a, b 0 thì a + b 2≥ ≥ ab (Bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương)

3

Cho a, b, c 0 thì a + b + c 3 abc≥ ≥ (Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương)

II VÍ DỤ MẪU VÀ BÀI TẬP:

Vậy Min A = 18 với x = y = 2

3 Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y 6≥ Hãy tìm GTNN của P = 3x 2y 6 8

Giải

x x

= => x = 2 và 8

2

y y

= => y = 4Vậy minP = 19 khi x = 2 ; y = 4

4 Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y

8 Với 5≤ ≤x 13, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= x− +5 13−x

A Lí thuyết

Cách giải: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tíchcủa chúng là một hằng số (Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằngnhau) rồi áp dụng BĐT Côsi

B Các ví dụ:

11 Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức A = ( )2

7

x x

12 Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức B =

Vậy MinB = 10 3− khi x = 1 10

14 Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức D = 6 34

Vậy MinD = 10 Dấu “=” xảy ra khi ( x + 1)2 = 25 ⇔ x = 16

15 Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức F =

x x

Vậy MinF = 300 khi x = 10

16 Cho x > y, tìm GTNN của biểu thức G =

x y xy

Vậy MinI = 1 khi x = 1

19 Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức J = 8

1

x x

++

KQ: min A = 5 - 2 6 với x = 0; max A = 1

dấu “=” xảy ra khi A = B

Phương pháp tìm GTLN của biểu thức dạng A+ B, ta bình phương biểu thức đó,sau đó áp dụng BĐT Côsi 2 A B ≤ A + B

Chú ý:

- Nếu A.B = k (không đổi) thì Min(A+B) = 2 k  A = B

- Nếu A + B = k (không đổi) thì Max(A.B) =

Dấu “=” xảy ra khi x = 3 hoặc x = 5

Vậy MinA = 2 khi x = 3 hoặc x = 5

34 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức B = 3x− +5 7 3− x

Giải: ĐKXĐ: 5 7

3≤ ≤x 3Tìm GTNN:

=> D ≤ 2

Dấu “=” xảy ra khi 3x – 5 = 7 – 3x  x = 2

Vậy MaxD = 2 khi x = 2

35 Tìm GTNN, GTLN của A = 1 x − + 1 x +

Giải

Xét A2 = 2 + 2 1 x − 2 Do 0 ≤ 1 x − 2 ≤ 1 ⇒ 2 ≤ 2 + 2 1 x − 2 ≤ 4

⇒ 2 ≤ A2 ≤ 4 min A = 2 với x = ± 1 ; max A = 2 với x = 0

36 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x 2 − + + x 1 x 2 + + x 1

=Giải: ĐKXĐ x ≥ 9 (Ta cần xác định số cần nhân chia thêm đó là 9 3= )

−

=

45 Tìm GTLN của biểu thức D 2 5

3

x x

−

=

46 Với mọi số thực a, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

21

a P a

+

=

+KQ: 2

Dạng A.B (bậc của A bằng bậc của B)

A B≤ + - Dấu “=” xảy ra khi A = B

Nếu tìm GTNN ta biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số (Nghĩa là tách một hạng tử chứa biến thánh tổng của một hằng số với một hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho)

Dấu “=” xảy ra khi x3 = 16 – x3  x3 = 8  x = 2

Vậy MaxA = 2 khi x = 2

48 Tìm GTLN của biểu thức B = (1 – x)(2x – 1) với 1 1

Vậy MaxB = 1

8 khi x =

34

49 Tìm GTLN của các biểu thức sau:

x x

+ Vậy minA = - 1 ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2

* Tìm GTLN

A =

1

4 3

2

2 2

⇔ 8 - (a – 1)(a – 3) = –a2 + 4a +5 0≥ ⇔ − ≤ ≤1 a 5

Vậy minA = -1 khi x = − 2

Giải Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x, y

Với mọi x, y ta có : x2 + y2 ≥ 2xy Nhưng x2 + y2 = (8 2)2 = 128,

nên xy ≤ 64 Do đó : max xy = 64 ⇔ x = y = 8

BÀI TẬP ÔN VÀ NÂNG CAOPhương pháp vận dụng bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki để tìm GTLN, GTNN.

1 Giới thiệu các bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

a) Bất đẳng thức Côsi

Với a≥ 0 ,b≥ 0 thì a+b ≥ ab

2 (Dấu “=” xảy ra ⇔a =b) Vài dạng khác của bất đẳng thức Côsi:

Dạng có căn thức:

ab b

a+ ≥ 2 Với a≥ 0 ,b≥ 0

b a

ab ≥ +

2 1

Với a > 0, b > 0 Dạng không có dấu căn

2 2

2 1

2 2 2 1

Dấu “=” xảy ra khi

2

2 1

1

b

a b

Giải: ĐKXĐ:

3

7 3

Nên A2 ≤ 2 + 2 = 4, dấu “=” xảy ra ⇔ 3x− 5 = 7 − 3x⇔ x= 2

Vậy maxA = 2 khi x = 2

*Ví dụ 2: Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức 3 4 316

16 4 16 16

3 3

+

=

x x x x x

x x x x x

Dấu “=” xảy ra khi 163

Dấu “=” xảy ra khi = ⇔

2 1

y

Vậy min( x + y) = 20 khi x = 4, y = 16

IV Bài tập có hướng dẫn:

Bài 1: Cho x > 0 ; y > 0 và x+y = 2a(a > 0).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

y x

A = 22 2

a a

a xy

max A 2 = 36 ⇔ max A = 6 (khi và chỉ khi x = 14)

Bài 3: Cho x+y = 15 , tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:

B = x− 4 + y− 3

HD Giải:

ĐKXĐ: x≥ 4 ; y≥ 3

B ≥ 8 ⇒ min B = 8 (khi và chỉ khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12; y = 3)

max B 2 = 16 ⇒ max B = 4 (khi và chỉ khi x = 8; y = 7)

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

x

x x

2

5 6

+

x

x x

a x

+

+ +

x

x x

HD Giải:

Q = ( )

8 2

1 2 1

8 2

1 1

+

= +

+ +

x

x x

x x

x

(dấu “=” xảy ra ⇔

1

8 2

Vậy min Q = 4 (khi và chỉ khi x = 3)

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =

3

34 6

+

+ +

x

x x

3

25

+ + +

= +

+ +

x

x x

Vậy min M = 10 (khi và chỉ khi x = 4)

Bài 8: Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N =

x x

x x

x ⋅ ⋅ = 3 100 = 300 (dấu “=” xảy ra ⇔

x

x2 =1000 ⇔ x = 10)

Vậy min N = 300 (khi và chỉ khi x = 10)

Bài 9: Cho x > 0 ; y > 0 và x+y≥ 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

y x y x

x y

y x x y

Bài 10: Cho x > y và xy = 5, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

y x

y xy x

Q

−

+ +

x

xy y

x , kết hợp điều kiện xy= 5 ta được

x = 5 ; y = 1 và x = -1 ; y = -5) Vậy min Q = 8 (khi và chỉ khi x = 5 ; y = 1 hoặc x = -1 ; y = -5)

Bài 11: Cho x > 1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

1

25 4

−

+

x x

HD Giải:

A = ( ) ( ) 4 2 10 4 24

1

25 1 4 2 4 1

25 1

−

−

≥ +

− +

−

x

x x

x

(dấu “=” xảy ra ⇔ ( )

2

7 1

25 1

4 1

4 1

3 2 7 1

4 1

−

≥ +

− +

x x

x x

x x

x

(dấu “=” xảy ra ⇔ ( ) ( )2

1 3 1

4 1

x x

x

) Vậy min B = ( )2

3 4 1

−

= +

x x

x x

x

x b x

ax x

−

= +

−

1 4 1

3 4 1

3

Sau đó dùng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm được a = b = 1 ; c = 7

Bài 13: Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn điều kiện x+ y+z=a

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy+ yz+zx

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x2 +y2 +z2

x zx yz

(x y z) (xy yz zx)

zx yz

xy+ + = (theo câu a) Lúc đó B =

3 3

Bài 14: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x+ y+z≥ 12

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x y + y z + z x

HD Giải:

P 2 =

y

x z x

z y z

y x x

z z

y y

+ +

+ + +

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương, ta được:

x yz

z y x x z

z

y x z

y x y

x

4

4 4

2 2 2

=

≥ + +

+

y xz

x z y y x

x

z y x

z y z

y

4

4 4

2 2 2

=

≥ + +

+

z yx

y x z z y y

x z y

x z x

z

4

4 4

2 2 2

=

≥ + +

+

Do đó P 2 ≥ 4(x+ y+z) (− x+ y+z) (= 3 x+y+z)

P 2 ≥ 3.12 = 36 (dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 4)

Vậy min P = 6 (khi và chỉ khi x = y = z = 4)

Bài 15: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x+ y+z =a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 

a x

a

1 1

1

HD Giải:

x

yz x x

yz x

x

z y x x x

y

xz y y

xz y

y

z x y y y

z

yx z z

yx z

z

y x z z z

Bài 16: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện a+b+c= 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = ( )( )( )

( a)( b)( c)

c b a

−

−

−

+ + +

1 1 1

1 1 1

HD Giải:

0 1

= +

A = ( )( )( )

(1 )(1 )(1 ) 8

1 1

c b a

c b a

(dấu “=” xảy ra ⇔

3

1 1

108

5 3 3 3 2 2

5 3 3 3 2 2

Suy ra

3125

108 5

1 108

3 2 2 3

2 3

5) Cho a, b, x là những số dương Tìm GTNN của biểu thức ( )( )

x

b x a x

6) Cho x≥ 0 Tìm GTNN của 2( 1)

17 2 2

+

+ +

=

x

x x Q

7) Tìm GTNN của biểu thức

3

34 6

+

+ +

=

x

x x M

8) Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức

9) Cho x > 0, y > 0, x+ y≥ 6 Tìm GTNN của thức sau P= 5x+ 3y+12x +16y

10) Cho x > y, x.y = 5 Tìm GTNN của biểu thức

y x

y xy x

Q

−

+ +

13) Cho x, y, z≥ 0 Thỏa điều kiện x+y+z =a

a) Tìm GTLN của biểu thức A= xy+yz+xz

b) Tìm GTNN của B= x2+y2+z2

LỜI KẾT

Trên đây là một số dạng bài toán tìm GTLN, GTNN được biến đổi bằng bấtđẳng thức Côsi ở mức độ cơ bản dùng để giúp các em buổi đầu thực hành làm quenvới dạng toán này Tài liệu cũng thể hiện được cụ thể hóa các dạng bài tập và đượcsắp xếp theo từng phần có cách giải gần như giống nhau

Cái dầu, ngày 10/12/2016

GV soạn

Trương Hùng Phương