Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh có lời giải chi tiết

Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiếtTuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiết

Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh – môn Toán

CÔNG THỨC VÀ THỦ THUẬT TÍNH NHANH

BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC Bài toán cơ bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z

Phương pháp chung

+ Bước 1: Tìm tập hợp  H các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (*)

+ Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M H sao cho khoảng cách OM lớn nhất, nhỏ nhất

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa

độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên Môđun lớn nhất của số phức z là

A.

max 1

2

C. zmax  2 D. max 2

2

z 

Lời giải

max

z bằng nửa độ dài đường chéo của hình vuông cạnh bằng 2  Chọn đáp án C

Ví dụ 2: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ

là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên Môđun nhỏ nhất của số phức z là

A.

min 0

min 1

C. zmin  2 D.

min

2 2

z 

Lời giải

min 0

z  , điểm biểu diễn là điểm O Chọn đáp án A

Ví dụ 3 : Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng

tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên Môđun nhỏ nhất của số

phức z là

A

max 1

max 2

C.

max 3

max 3

z 

Lời giải

Tam giác OAB có gócOABlà góc tù nên

3

Vậy

max 3

z   Chọn đáp án C

Ví dụ 4 : Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt

phẳng tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên Môđun nhỏ nhất

của số phức z là

A. zmin 1 B. min 1

2

C. min 2

3

z  D. zmin  3

Lời giải

Tam giác OAB có góc OBA là góc tù nên

1

OAOB z OB

Vậy zmin  1 Chọn đáp án A

Ví dụ 5 : Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng

tọa độ là đường elip như hình vẽ bên Môđun nhỏ nhất của số phức z

là

A.

min 1

z  B.

min 2

z 

C. min 1

2

2

z 

Lời giải

Elip có độ dài trục nhỏ bằng 2b 2 zmin  1 Chọn đáp án A

Ví dụ 6 : Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt

phẳng tọa độ là hình elip tô đậm như hình vẽ bên Môđun lớn nhất của

số phức z là

A.

max 1

max 2

C. max 1

2

2

z 

Lời giảiĐăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề khối

10,11,12:

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

Elip có độ dài trục lớn bằng 2a 4 zmax  2 Chọn đáp án B

Ví dụ 7 : Tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức z là đường

thẳng  như hình vẽ Khi đó, z có giá trị nhỏ nhất bằng

A. 2 B. 1

2

Lời giải

Phường trình :d x  y 1 0

Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z M d





  

Vì Md x:    y 1 0 M t ;1t

z  t  t  t   t t  t   t   

Vậy min 1

2

z   Chọn đáp án D

MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN TRỌNG THƯỜNG GẶP Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn za bi  c ,c0, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z

Lời giải

z a bi c c0 Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z

là đường tròn có tâm I a b ; và bán kính Rc

Khi đó :z OM

2 2 2

2 2 1

max

min





Tìm tọa độ điểm M M (tức là, tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất) 1, 2

+ Phương trình đường tròn  C quỹ tích của điểm M biểu diễn số phức z là:

:

C x a  y b c + Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm , O I là : d AxBy C 0

Khi đó, M M là giao điểm của 1, 2  C và d

Giải hệ phương trình:   2 2 2

0



 hai nghiệm  tọa độ hai điểm

So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm được tới O , khoảng cách nào nhỏ hơn thì điểm đó ứng với

điểm M và điểm còn lại là điểm 1 M 2

Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z1 z2 r, r0 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z

Giải

2

1 1 2

1 1

max

min

z

z













VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Nếu các số phức z thỏa mãn z 2 4i  5 thì z có giá trị lớn nhất bằng

Lời giải

Tập hợp các điểm M z  là đường tròn có tâm I 2; 4 và bán kính

5

Vậy max z OM OI R 2242  53 5

 Chọn đáp án A

Câu hỏi bổ sung 1: z có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Trả lời: min z ON OI R 2242  5 5

Câu hỏi bổ sung 2: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất

Trả lời: Phương trình đường thẳng OI là y2x

Tọa độ hai điểm M N là nghiệm của hệ phương trình: ,

 

 

1

1; 2

3; 6 6

x

N

M y

 









 





+ Số phức z có môđun lớn nhất là z 3 6i ứng với điểm M 3;6

+ Số phức z có môđun nhỏ nhất là z 1 2i ứng với điểm N 1; 2

Ví dụ 2[Trích đề thi thử chuyên KHTN - Lần 1]:

Nếu các số phức z thỏa mãn 1i z  1 7i  2 thì z có giá trị lớn nhất bằng

A. 4 B. 3 C. 7 D. 6

Lời giải

1

i

i





Tập hợp các điểm M z  là đường tròn có tâm I 3; 4 và bán kính R1

Vậy max z OI R 3242   1 6 Chọn đáp án D

Ví dụ 3: Nếu các số phức z thỏa mãn 2 3 1 1

3 2

i z i

 thì z có giá trị nhỏ nhất bằng

Lời giải

3 2

i

 

Tập hợp các điểm M z  là đường tròn có tâm I0; 1  và bán kính R1

max z OI R 0  1   1 2 Chọn đáp án B

Bài toán 2: Trong các số phức z thỏa mãn zz1 r1 ,r1 0 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của

2

P z z

Lời giảiĐăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề khối

10,11,12:

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

Gọi I z     1 ,A z2 ,M z

2 1 2

max min



Muốn tìm các số phức sao cho Pmax,P thì ta đi tìm hai giao điểm min

1, 2

M M của đường tròn  I r, 1 với đường thẳng AI

Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z1 z2 r1,r1 0 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của

3

P z z

Giải: 2 1

3 1 3

1

maxP z z r vàminP z z r

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 3 2i 2 Giá trị nhỏ nhất của z 1 i lần lượt là

A. 7 B. 3 C. 2 D. 5

Lời giải

1

1

z

1 2 3 

2

z

z     i z i

1 2 3

1 2 3 2 1 5 2 min 1 5 2 3

Ví dụ 2: Trong số phức z thỏa mãn z5i 3 , số phức có z nhỏ nhất thì có phần ảo bằng bao nhiêu?

A. 4 B. 0 C. 3 D. 2

Lời giải

Tập hợp các điểm M z  là đường tròn có tâm I 0;5 và bán kính

3

Vì z OM nên số phức z có môđun nhỏ nhất là z2i ứng với

điểm M1 0; 2

 Chọn đáp án C

Ví dụ 3 [ Trích đề thi HK 2 – THPT Phan Đình Phùng – HN]: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn

z  i  ,gọi z a bi a b, , ¡  là số phức có z4i đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị biểu thức

 2 

Pa b

A. 2 1

2

2

2

2

Lời giải

1

z

z  i   z i  I 

2

z

z i   z i  A 

Tập hợp các điểm M z  là đường tròn có tâm I2; 2  và bán kính r11

Phương trình đường thẳng IA là: x  y 4 0

Tọa độ hai điểm M, N là nghiệm của hệ phương trình:

4

1 2

2

x

 



4

1

2

y x

x

 

Khi đó

1

2

2 ; 2

2 ; 2

AM

AM





uuuur

1 2

2 2

z a bi

a

b

 

  





Chọn đáp án A

Bài toán 3: Trong số phức z thỏa mãn zz1  z z2 k, k0 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của

P z

Lời giải

Gọi M z ,M1 z1 ,M2 z2

Khi đó : zz1  z z2  k MM1MM2  k M elip E  nhận M M làm tiêu điểm và có độ dài 1, 2 trục lớn bằng k2 a

Vì ở chương trình Toán lớp 10, chỉ được học elip có hai tiêu điểm là F1c;0 ,  F c1 ;0 nên thường đề bài

sẽ cho dưới dạng: z   c z c k, 0 c k, ¡ 

 

M elip E

  nhận F1c;0 ,  F c1 ;0 làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k2a

2 2 min

2 4 2

k



 





Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z1 z2  z z1 z2 k, Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P z

Giải:

2 2

2

4

k z k



VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z   4 z 4 10 , gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá , trị nhỏ nhất z Khi đó, giá trị biểu thức PMm2 bằng

A. P 6 B. P 13 C. P 5 D. P 4

Lời giải

Áp dụng công thức trên, ta có:

max

2 2 min

10 5 2

3 2

M z

P M m

m z







 Chọn đáp án D

Bài toán 4: Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1  z2 m ni và z1z2  p 0 Tìm giá trị lớn nhất của

1 2

P z  z

Lời giải

1 2 2



z z    a c b d i z z  a c  b d  p

P z  z  a b  c d    a b  c d   a b  c d

2 2 2 2

a c b d a c b d m n p

a b c d         

Suy ra:  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 a b  c d m n  p  P m n p  maxP m n  p

VÍ DỤ MINH HỌAĐăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề

khối 10,11,12:

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

Ví dụ [Trích đề thi thử chuyên KHTN - Lần 4]: Với hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1  z2 8 6i và

1 2 2

z z  Tìm giá trị lớn nhất của P z1  z2

A. 4 6 B. 5 3 5 C. 2 26 D. 34 3 2

Lời giải

Áp dụng công thức trên ta được : 2 2 2

1 2 8 6 2 2 26

P z  z      Chọn đáp án C

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN

Câu 1 Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là

Câu 2.Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 4 5 Giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là

A. 5 B. 3 5 C. 5 5 D. 5 3

Câu 3 Trong các số phức z thỏa mãn z 3 4i  z thì số phức z có môđun nhỏ nhất là

A. 11

2

2

2

z   i D. 3 1

6

z   i

Câu 4 Trong các số phức z thỏa mãn z 2 4i  z 2i thì số phức z có môđun nhỏ nhất là

A. z  2 2i B.z  2 2i C. z 2 2i D. z 2 2i

Câu 5 Trong các số phức z thỏa mãn z  3 4i  z , biết rằng số phức z a bi, a b, ¡  có môđun nhỏ nhất Khi đó, giá trị của Pa2b là

A. 1

4

2

4

2

P 

Câu 6 Trong các số phức z thỏa mãn z 1 5i   z 3 i , biết rằng số phức z a bi ,a b, ¡  có môđun nhỏ nhất Khi đó, tỉ số a

b bằng

A. 3 B. 1

2

3 D. P  2

Câu 7 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2 i 1 Giá trị lớn nhất của z1 là

A. 2 1 B. 2 1 C. 2 D. 1

Câu 8 Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của zi bằng

Câu 9 Cho số phức z thỏa mãn2i z  1 1 Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 bằng

5 D. 2 3

Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn z  1 2i  10 Giá trị lớn nhất của z 1 4i bằng

A> 10 B.10 3 C. 3 10 D. 4 10

Câu 11 Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 4 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 2 i Giá trị của T M2m2 là

A. T50 B. T64 C. T68 D. T 16