Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức trình bày đầy đủ các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trọ nhỏ nhất của biểu thức để các em có thêm tài liệu ôn tập, luyện thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8. Mời các bạn cùng tham khảo!

CHUYÊN Đ : TÌM GTLN, GTNN C A BI U TH C Ề Ủ Ể Ứ

M C L C Ụ Ụ

I.LÝ THUY TẾ

               2  II.M T S  PHỘ Ố ƯƠNG PHÁP C  B NƠ Ả

2  (x0, y0, )   D sao cho f(x0, y0 ) = M.

Ký hi u : M = Max f(x,y, ) = fệ max v i (x,y, ) ớ  D

 M. được g i là GTNN c a f(x,y, ) trên mi n D đ n 2 đi u ki n sau đ ng th i tho  mãn :ọ ủ ề ế ề ệ ồ ờ ả

1 f(x,y, )   M  (x,y, )   D

2  (x0, y0, )   D sao cho f(x0, y0 ) = M

Ký hi u : M = Min f(x,y, ) = fệ min v i (x,y, ) ớ  D

T ng quát : (ổ A)2k   0  A   0  (A là 1 bi u th c)ể ứ

2.2 B t đ ng th c ch a d u giá tr  tuy t đ i ấ ẳ ứ ứ ấ ị ệ ố :

a) |x|   0    x R

b) |x + y|   |x| + |y|  ; n u "=" x y ra ế ả  x.y   0

c) |x − y|   |x| − |y| ; n u "=" x y ra ế ả  x.y   0 và |x|   |y|

2

2

1 a a n b b b n a

V i a ớ  0 : (1 + a)n    1 + na n  N.

D u "=" x y ra ấ ả  a = 0

II M T S  PH  Ộ Ố ƯƠNG PHÁP C  B NƠ Ả  

Ph ươ ng pháp 1         S  d ng phép bi n đ i đ ng nh t ử ụ ế ổ ồ ấ

B ng cách nhóm, thêm, b t, tách các h ng t  m t cách h p lý, ta bi n đ i bi u th c đã choằ ớ ạ ử ộ ợ ế ổ ể ứ  

v  t ng các bi u th c không âm (ho c không dề ổ ể ứ ặ ương) và nh ng h ng s  . T  đó :ữ ằ ố ừ

1  Đ  tìm Max f(x,y, ) trên mi n D ta ch  ra :ể ề ỉ

0 0

f (x, y ) M(x , y )

∃ ﾡ sao cho f(x0,y0, ) = M 

2  Đ  tìm Min f(x,y, ) trên mi n D ta ch  ra :ể ề ỉ

0 0

f (x, y ) m(x , y )

∃ ﾡ sao cho f(x0,y0, ) = m 

 Ph ươ ng pháp gi i các bài toán tìm giá tr  l n nh t, nh  nh t c a m t bi u th c đ i ả ị ớ ấ ỏ ấ ủ ộ ể ứ ạ  

s  b ng cách đ a v  d ng A(x)  ố ằ ư ề ạ 0 { ho c A(x)  ặ  0 }

− Đ  tìm giá tr  nh  nh t c a m t bi u th c A(x) ta c n:ể ị ỏ ấ ủ ộ ể ứ ầ

    + Ch ng minh r ng A(x) ứ ằ  k v i k là h ng s ớ ằ ố

    + Ch  ra d u "=" có th  x y ra.ỉ ấ ể ả

− Đ  tìm giá tr  l n nh t c a m t bi u th c A(x) ta c n:ể ị ớ ấ ủ ộ ể ứ ầ

    + Ch ng minh r ng A(x) ứ ằ  k v i k là h ng s ớ ằ ố

    + Ch  ra d u "=" có th  x y ra.ỉ ấ ể ả

D ng 1 ạ   Tìm GTNN và GTLN c a đa th c b c hai đ n gi n ủ ứ ậ ơ ả

Ph ươ ng pháp:  Áp d ng h ng đ ng th c bình ph ng c a m t t ng và hi uụ ằ ẳ ứ ươ ủ ộ ổ ệ

Bài 1.  Tìm giá tr  nh  nh t c a các đa th c sau: ị ỏ ấ ủ ứ

a) A = x2 + 4x + 7 b) R = 3x2 – 5x + 3 c) M x= 2+ +x 1

d) A = x2 + 2x + y2 + 1 e) A(x) x= 2−4x 24+ f) B(x) 2x= 2−8x 1+

g) C(x) 3x= 2+ −x 1 h) ( ) (2 )2

A= 2x 1+ − 3x 2− + −x 11 i) P 2 x x= + − 2j) Q=4x2+4x 11+ k) N=x2- 4x 1+ l) D 3x= 2−6x 1+

D u “=” x y ra khi t = 2 ấ ả ﾡ 

x 1

x3

m) R x= 2 +2y2+2xy 2y− n) A 4x= 2 +5y2−4xy 16y 32− +

o) B x= 2+5y2 +5z2−4xy 4yz 4z 12− − + p) C 5x= 2−12xy 9y+ 2−4x 4+

q) E x= 2 +5y2−4xy 2y 3+ − r) Q x= 2 +4y2 + −z2 2x 8y 6z 15 0+ − + =

s) A 2x= 2 + −y2 2xy 2x 3− + t) B 2x= 2+y2+2xy 8x 2028− +

Bài 4.  Tìm giá tr  l n nh t c a các bi u th c sau: ị ớ ấ ủ ể ứ

a) B 2 5x= − 2 − −y2 4xy 2x+ b) A= −4x2−5y 8xy 10y 122+ + +

Bài 1.  Tìm giá tr  nh  nh t c a các bi u th c sau b ng cách đ a  v  HĐT ị ỏ ấ ủ ể ứ ằ ư ề  

( ) (2 )2

a b ; a b c

2 2 2 2

2(2x y) 2(2x y) 3y 2y 3 1 (2x y 1) 3(y y 1)

3

1 8 8(2x y 1) 3(y )

a)  Phân tích thành các bi u th c tể ứ ương đ ng đ  đ t  n ph ồ ể ặ ẩ ụ

b)  S  d ng phử ụ ương pháp nhóm h p lý làm xu t hi n nhân t  đ  đ t  n ph ợ ấ ệ ử ể ặ ẩ ụ

a) Bi n đ i bi u th c v  d ngế ổ ể ứ ề ạ  ( )2

a b( 4 3 2) ( 2 ) 2( )2 ( )2C(x)= x −4x +4x +5 x −4x 4+ + =2 x x 2− +5 x 2− +2 2

b) D(x) x= 4−6x3+11x2 −12x 20 x x+ = 2( 2−6x 9+ +) 2x2 −12x 20+

x (x 3) 2(x 6x 9) 2 x (x 3) 2(x 3) 2 2

= − + − + + = − + − +c) A(x) x= 4−6x3+10x2−6x 9+

C(x) x (x= + −2) 2x(x + +2) (x + +2) 2015 (x= +2)(x 1)− +2015 2015�� x 1=f) A a= 4−2a3−4a 5+

A a a= + −2 2a a + +2 a + +2 3

 = (a2 + 2) (a2 − 2a+ + 1 3 3)  d u b ng khi a = 1ấ ằg) D(x) x= 4−x2+2x 7+

    = (x2−9x + 14)2 + 1966   1966 vì (x2−9x + 14)2   0  x MinC = 1966   x2−9x + 14 = 0   

ax bc c  v i m là h ng s  ho c m đã xác đ nh đ ớ ằ ố ặ ị ượ c âm  

3 S  d ng c  bi u th c Denta đ  tìm GTNN ho c GTLN r i m i bi n đ i thêm b t.ử ụ ả ể ứ ể ặ ồ ớ ế ổ ớ

4 Vi t bi u th c A thành t ng c a m t s  v i m t phân th c không âm.ế ể ứ ổ ủ ộ ố ớ ộ ứ

6x 5 9x

=

1b) B

x 4x 9

=

3c) C

x 5x 1

−

=

− +2

6d) D

x 2x 3

=

2e) K

2g) B

x x 4

=

5h) A

x 2x 5

=

1i) B

x 4x 11

=

− +

Ph ươ ng pháp gi i:  ả

1 Th c hi n phép chia t  th c cho m u th c đ  đ a bi u th c v  d ng ự ệ ử ứ ẫ ứ ể ư ể ứ ề ạ m 2 n

+ +  r i đ t  n ph  đ i v i phân th c cóồ ặ ẩ ụ ố ớ ứ  

m u th c là bình phẫ ứ ương c a m t đa th c b c nh tủ ộ ứ ậ ấ

D ng 3.2.1 ạ   Th c hi n phép bi n đ i đ a phân th c v  d ng  ự ệ ế ổ ư ứ ề ạ 2

n m

T  ừ A(x) 3x22 6x 10

x 2x 3

+ +

=+ +

3x 6x 17Q

Bài 3.  Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau: ặ ủ ể ứ

6x 2x 19A

3x x 7

+ +

=

+ +HD:    a) Ta có: F 3x22 12x 10 3 2 5 3 5 2 3 5 2

2x 4x 9N

3x 12x 10C

D ng 3.2.2 ạ   Phân th c có m u là bình ph ứ ẫ ươ ng c a m t nh  th c ủ ộ ị ứ

Bài 1.  Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau: ặ ủ ể ứ

x 1H

x 1

+

=+HD:

x 10

=

xC

x 2016

=+d)

2 2

x 2x 2000D

x 2000

=+HD:

3x 8x 6E

x x 1B

x 1

− +

=+  ,  Đ t ặ x 1 t+ = ﾡ x t 1= − ﾡ x2 − +2t 1

2 2

− ﾡ2

2 2

x 2xy y

+

=+ +HD:

4x 6x 1C

4x 22x 19E

9x 30x 7F

x x 1N

x 9

−

=+HD:

2

8x 3

a 4a.x a 8x 3 4a.x 8x a 3 04x 1

M t khácặ  :  2 ( )2

4 x 18x 3 4x 8x 4

x 1

+

=+       HD:

x 1

−

=+HD:

x 2x 3

+

=+ +HD:

x 4x 44x 1

x 2xy 2y

−

=

− +       HD:  a) Ta có: 

x x 1

=+ +HD: 

x 2x 2B

x x 1

− −

=+ + c)  

2 2

3x 6x 10C

x 2x 3

+ +

=+ +HD:

V i ớ

2 2

x 1D

x 1

−

=+

x 27E

xB

x 2x 2010

=

2 2

x 2C

x x 2

+

=+ +

+ﾡ

3x 4B

3x 2x 3C

x 1

=

+

3x 6x 17H

xP

x 1

=+

      M t khácặ  : 

2 2

x 2x 2F

3x 6x 14N

N = x y y x x y=

xy

x y y x y y x x

xy

y x y y x

N = 

xy

y x y

  0 x,y > 0 Nmin = 0    x y 0    x = y

V y : Nmin =  0 ậ  x = y  > 0

Bài 25. Tìm min ho c max c a bi u th c: ặ ủ ể ứ

2x 2xy 9yH

3x 4xy 5y

−

=

− +HD:

a) Chia cá t  và m u cho ử ẫ y2ta được: 

x 3.x 4

yy

c) Chia c  t  và m u cho ả ử ẫ y2 ta được: 

2 2 2 2

x4yR

3 4 5

yy

−

=

− + , Đ t ặ

2 2

2

t 4

a 3at 4at 5a t 4 03t 4t 5

9x 6xy 2y

− +

=

− +HD:

a) Chia c  t  và m u cho ả ử ẫ y2ta được:  2

2

1B

9 12 5

yy

25 20 5

yy

c) Chia c  t  và m u cho ả ử ẫ y2ta được: 

2 2 2 2

3 2 1

yy

H

yy

2

3t 2t 1

a 9at 6at 2a 3t 2t 1 09t 6t 2

x xy y

+ +

=

− +  HD:

a) Chia c  t  và m u choả ử ẫ y2ta được: 

2 2 2 2

x 5x 2

yy

M

2 10 7

yy

2

t 5t 2

a 2at 10at 7a t 5t 22t 10t 7

Bài 28. Tìm min ho c max c a bi u th c: ặ ủ ể ứ

a) N 22x22 58xy 73y2 2

x y

+

=+HD:

a) Chia c  t  và m u choả ử ấ y2ta được: 

2 2 2 2

22 58 73

yy

N

4 4yy

b) Chia c  t  và m u cho ả ử ẫ y2ta được: 

2 2 2 2

yy

Px1y

+

=

+, Đ tặ  

 D n bi n t  đi u ki n r i thay vào bi u th c.ồ ế ừ ề ề ồ ể ứ

 Bi n đ i bi u th c thành các thành ph n có ch a đi u ki n đ  thay th ế ổ ể ứ ầ ứ ề ệ ể ế

2

2

1 a a n b b b n a

D ng 4.1 ạ D n bi n t  đi u ki n r i thay vào bi u th c ồ ế ừ ề ề ồ ể ứ

Bài 1.  Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau: ặ ủ ể ứ

d) T  gi  thi t ta có: ừ ả ế a 12 5b

Bài 3.  Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau: ặ ủ ể ứ

a) A x= 3+ +y3 2xy, bi tế  x + y = 2 b)  A 2xy yz zx= + + , bi t ế 2x 2y z 4+ + =c)  A xy 2yz 3zx= + + , mãn:  x y z 6+ + = d)  A xy yz zx= + + , bi t ế x y z 3+ + =HD:

a) T  gt ta có: ừ y 2 x= −  thay vào A ta đượ  : c 3 ( )3 ( )

A x= + −2 x +2x 2 x−

b) T  gi  thi t ừ ả ế ﾡ z 4 2x 2y= − −  thay vào A ta đượ  :c

A 2xy y 4 2x 2y= + − − +x 4 2x 2y− − = −2x −2y −2xy 4x 4y+ +

c) T  gi  thi t ừ ả ế ﾡ   z 6 x y= − −  thay vào A xy 2y 6 x y= + ( − − +) 3x 6 x y( − − )

d) T  gi  thi t ừ ả ế ﾡ   z 3 x y= − −  thay vào A ta được:

A xy y 3 x y= + − − +x 3 x y− − =x − −y xy 3x 3y+ +

Bài 4.  Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau: ặ ủ ể ứ

       a)  A= − +xy 3yz 4zx+ , bi tế  : x + y + z = 3         b)  B= − +xy yz zx+ , bi t:ế 2x 3y z 4+ − =       c)  C 12xy 3yz 4zx= − − , bi t: ế 2x 3y z 4+ − =      d) D 2 x= ( 3+y3)−15xy 7+ , bi t:ế  

x y+ = −2

HD:

a) T  gt ta cóừ  :  z 3 x y= − −  ﾡ  B= − +xy 3y 3 x y( − − +) 4x 3 x y( − − )

b) T  gi  thi t ừ ả ế ﾡ z 2x 3y 4= + −  thay vào A= − +xy y 2x 3y 4( + − +) (x 2x 3y 4+ − )

c) T  gi  thi t ừ ả ế ﾡ z 2x 3y 4= + −  thay vào B 12xy 3y 2x 3y 4= − ( + − −) 4x 2x 3y 4( + − )

d) T  ừ x y+ = −2, ta có :  3 3 ( )3 ( )

x +y = x y+ −3xy x y+ = − +8 6xy thay vào A ta được:    

    A 2 8 6xy 15xy 7= − +( )− + = −3xy 9− và  y= − −2 xthay vào A= −3x 2 x(− − −) 9

Bài 5.  Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau: ặ ủ ể ứ

a) Cho các s  x, y, z th a mãn: x + y + z = 1, Tìm max c a: ố ỏ ủ A 2xy 3yz 4zx= + +

b) Cho x, y   R, th a mãn: x + 2y = 1, Tìm max c a: P = x.yỏ ủ

c) Cho x,y   0, x + y = 1, Tìm min, max c a: ủ A x= 2 +y2

d) Cho các s  x, y, z th a mãn: ố ỏ 3x y+ +2z=1. Tìm min max c a: ủ P x= 2 + y2 +z2

Bài 6.  Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau: ặ ủ ể ứ

a) Cho x, y th a mãn: ỏ (11x 6y 2015 x y 3+ + ) ( − + =) 0, Tìm min c a: ủ P xy 5x 2016= − +b) Tìm GTNN c a bi u th c ủ ể ứ A x= 3+ +y3 xy, bi t x, y th a mãn đi u ki nế ỏ ề ệ  x + y = 1

Bài 7.  Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau: ặ ủ ể ứ

a) Tìm GTNN c a bi u th c ủ ể ứ B 5x= 2+y2bi t x, yế  th a mãn đi u ki n: ỏ ề ệ x y 1+ =

b) Tìm GTNN c a bi u th c ủ ể ứ C x= 2+2y2, bi t x, yế  th a mãn đi u ki n: ỏ ề ệ x 2y 1+ =

Bài 8.  Tìm Min ho c Max c a các bi u th c sau: ặ ủ ể ứ

a) Tìm GTNN c a bi u th c ủ ể ứ D 2x 5y= 2+ 2, bi t x, yế th a mãn đi u ki n: ỏ ề ệ 4x 3y 7− =

b)  Cho các s  th c x, y th a mãn: x + y = 2. ố ự ỏ Tìm GTNN c a ủ A x= 3+ +y3 2xy

D ng 4.2 ạ Bi n đ i bi u th c thành các thành ph n có ch a đi u ki n đ  thay th ế ổ ể ứ ầ ứ ề ệ ể ế

Bài 1.  Cho a, b > 0 và a + b = 4, tìm GTLN c a  ủ = −�� ����− ��

Bài 2.   Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: ủ ể ứ

x +y = x y x+ −xy y+ = x y+ −3xy 1 3xy= − , thay vào A

Ta được A 6x y= 2 2+12 1 3xy( − ) +34xy, Đ t xy = t khi đóặ  : A 6t= 2− +2t 12

Bài 3.  Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: ủ ể ứ

a) Cho x, y là các s  th c th a mãn: ố ự ỏ x y 1Tìm Min c a + = ủ C=(x2+4y y) ( 2+4x)+8xyb) Tìm max c a: ủ A 2 x= ( 3+y3) (+3 x2+y2)+10xy

 bi t  x,y th a  mãn: ế ỏ x y 4 0+ + =HD:

a) Ta có : C=(x2+4y y) ( 2+4x 8xy x y) + = 2 2+4x3+4y 16xy 8xy x y3+ + = 2 2+4 x( 3+y3)+24xy

Do x y 1 + = ﾡ x 3 + y 3 =(x y + )3− 3xy x y( + ) = − 1 3xy  Thay vào C ta đượ  :c

C x y 4 1 3xy 24xy x y 12xy 4 x y 2xy.6 36 32 xy 6 32 32

D u = x y ra khi và ch  khi ấ ả ỉ ���+ == − ���== −

x +y = x y+ −3xy x y+ = − +64 12xy, 

x +y = x y+ −2xy 16 2xy= −  thay vào A 2 64 12xy= − +( ) (+3 16 2xy 10xy− )+

Bài 4.  Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: ủ ể ứ

a) Tìm min c aủ B x = 4 + y 4 − − + x 3 y 3 2x y 2 2 + 2xy x( 2 + y 2) + 13xy

 bi t  x,y th a mãn: ế ỏ x y+ = −2b) Cho hai s  th c x, y th a mãn: ố ự ỏ x y 5+ = , Tìm max c a: ủ A x= 3+ −y3 8 x( 2 +y2) +xy 2+HD:

M t khác  ặ x y 5+ = ﾡ y 5 x= − ﾡ B= −2x2+10x 73−

Bài 5.  Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: ủ ể ứ

a) Tìm max c a: ủ B x= 4 +y4 −4 x( 3+y3) −20 x( 2+y2)−2x y2 2 +xy, bi t x + y = 5.  ế

b) Cho x,y là hai s  th c th a mãn: ố ự ỏ x2 + −y2 xy 4= , Tìm min và max c a: ủ A x= 2 +y2

x , Tìm min, max c a:  ủ A xy= +2024HD:

Bài 10. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: ủ ể ứ

a) Cho x, y   R th a mãn: ỏ x2+2xy 7 x y+ ( + +) 2y2+ =10 0, Tìm min và max c a: ủ S x y 3 = + +

Bài 11. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: ủ ể ứ

a) Cho x, y, z là các s  th c th a mãn: ố ự ỏ x2 + + =y2 z2 3, Tìm min, max c a: ủ P x y 2z= + +b) Cho các s  th c x,y th a mãn: ố ự ỏ 7x2 +9y2 +12xy 4x 6y 15 0− − − =

c) T  gt ta có: ừ (x2+y2+2xy) (+ 2x2+y2+5z2+2xy 2xz 2yz− + ) =5

a) Tìm min max c a: ủ P x y z= + + , bi t: ế 2 2 3 2

y z yz 1 x

2

+ + = −b) Cho x2 +3y2 +2xy 10x 14y 18 0− − + = , Tìm min, max c a: ủ S x y= +

x y 5+ − +2 y −2y 1+ =9 x y 5+ − 9

Bài 13. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: ủ ể ứ

a) Cho a, b, c không âm th a mãn: 3a + 2c = 51 và c + 5b = 21, Tìm max c a A = a + b + cỏ ủb) Cho a,b,c là các s  không âm th a mãn: 2a + b = 6 – 3c  và 3a + 4b = 3c + 4, Tìm min c aố ỏ ủ  

b)C ng theo v  ta độ ế ượ  : c

4c

Bài 14. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: ủ ể ứ

a) Cho  x, y,z 0,2x 7y 2014,3x 5z 3031+ = + = , Tìm GTLN c a bi u th củ ể ứ  :  A x y z= + +b) Cho 3 s  x, y, z th a mãnố ỏ  :  x y z 3+ + = , Tìm GTLN c aủ  : B xy yz zx= + +

Bài 15. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: ủ ể ứ

a) Tìm GTLN c a ủ A 2(x= 3+y ) 3(x3 + 2+y ) 10xy2 + , bi t x, y th a mãnế ỏ  : x + y + 4 = 0  

b) Cho các s  th c x, y th a mãn: ố ự ỏ x2+y2−xy 4=  Tìm GTLN, GTNN c a ủ P x= 2+y2

HD:

a) Ta có : A 2(x= 3+y ) 3(x3 + 2+y ) 10xy 2(x y)2 + = + 3−6xy(x y) 3(x y)+ + + 2−6xy 10xy+

2 2

−+ − = = − = V y GTNN c a ậ ủ

Bài 17. Tìm Min, Max c a các bi u th c sau: ủ ể ứ

a) Cho các s  th c x, y th a mãn: ố ự ỏ x2+2xy 7(x y) 2y+ + + 2+10 0=  Tìm GTNN 

A x y 3= + +

b) Cho x, y, z là các s  th c th a mãnố ự ỏ  : x2+y2+z2 =3. Tìm GTLN, GTNN  A x y 2z= + +HD:

a) T  gi  thi t ừ ả ế x2+2xy 7(x y) 2y+ + + 2+10 0= �4x2+8xy 28x 28y 8y+ + + 2 +40 0=

Ta bi t r ng : T  m t b t đ ng th c, b ng cách chuy n v  bao gi  ta cũng đ a  v  1 b tế ằ ừ ộ ấ ẳ ứ ằ ể ề ờ ư ề ấ  

đ ng th c c   b n và các phép bi n đ i tẳ ứ ơ ả ế ổ ương đương mà m t v  là h ng s  Vì v y : S  d ngộ ế ằ ố ậ ử ụ  

các b t đ ng th c c  b n và các phép bi n đ i tấ ẳ ứ ơ ả ế ổ ương đương ta có th  tìm để ược c c tr  c a 1ự ị ủ  

bi u th c nào đó.ể ứ

Bài 1. Cho x, y   0 và x + y = 1 . Tìm giá tr  nh  nh t và l n nh t c a P = x ị ỏ ấ ớ ấ ủ 2  + y 2

HD:

Do x; y   0 và x + y = 1   0   x; y   1   x2   x, y2   y

 P = x2 + y2   x + y = 1   MaxP = 1   

0

y

x y

V y : Bmin = 6 ậ  a = b = 

21

Bài 4. Cho xy + xz + yz = 4 . Tìm GTNN c a B ủ 3  = x 4  + y 4  + z 4

HD:

Do xy + xz + yz = 4   16 = (xy + xz + yz)2   (x2 + y2 + z2) (x2 + y2 + z2)

(Theo Bunhiacôpxki)   16   (x2 + y2 + z2)2   (x4 + y4 + z4) (12 + 12 + 12)

Bài 5. Tìm  giá tr  nh  nh t  c a  ị ỏ ấ ủ

B = (1 + x 2 y + xy 2 ) 2001  − 2001 xy (x+y) + 2001 v i x ớ 2 y + xy 2    0

HD:

Theo BĐT Becnully ta có : (1 + x2y + xy2)2001   1 + 2001 (x2y + xy2)

 B  (1 +  x2y  +  xy2)2001 − 2001 xy (x + y) + 2001    1 + 2001.xy(x + y) − 2001xy(x + y) + 2001.

 B   2002   B min = 2002   xy(x+y) = 0   

y x y

x

00

V y : B min = 2002 ậ  

y x y

x

00

Bài 6. Cho xyz = 1 và x + y + z = 3.  Tìm GTNN c a B ủ 8  =   x 16  + y 16  + z 16

Cách 2: (Không s  d ng gi  thi t xyz = 1)ử ụ ả ế

Áp d ng b t đ ng th c bunhiacôpxki nhi u l n ta có :ụ ấ ẳ ứ ề ầ

3 = x + y + z   9 = (x+ y + z)2   (x2 + y2 + z2).3

 3   (x2 + y2 + z2)   9   (x2 + y2 + z2)2   (x4 + y4 + z4).3

    3   x4 + y4 + z4    9   (x4 + y4 + z4)2   (x8 + y8 + z8).3

    3   x8 + y8 + z8    9   (x8 + y8 + z8)2   (x16 + y16 + z16).3

    B8 = x16 + y16 + z16   3 .   B8min = 3   x = y = z = 1

  V y : Bậ 8min = 3   x = y = z = 1

Bài 7. Cho |a|  1; |b|  1 và |a + b| =  3.  Tìm GTLN c a B ủ 4  =  1 a2 1 b2

HD:

Ta có : (a−b)2   0 a; b   

2 2

2

22

b a b

)(

22

11

32

2

2 2

2

2 b a b

a

  (do | a + b| =  3) 

2 2 2

1   ( 1 a2 1 b2 1)

 B4 =  1 a2 1 b2 1   B4Max = 1   a = b = 

23

V y : Bậ 4Max = 1   a = b = 

23III. M t s  bài t p đ  ngh  ộ ố ậ ề ị : 

Bài 1.      Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN c a A = (1+ủ

Bài 3.      Cho a, b, c > 0 

a) Tìm GTNN c a C = ủ

b a

c a c

b c b a

b) Tìm GTNN c a D = ủ

c

b a b

a c a

c b b a

c a c

b c b a

Bài 7.      Cho  0   x   3 ; Cho  0   y  4. Tìm GTLN  H = (3 – x).(4 – y).(2x + 3y)

Bài 8.      Cho x, y, z, t   0 và 2x + xy + z + yzt = 1. Tìm GTLN c a I = xủ 2y2z2.t

Bài 9.      Cho x, y, z, t   0 và xt + xy + z + yzt = 1. Tìm GTLN c a K = xyztủ

D ng 6 ạ     Tìm Min, Max b ng cách s  d ng b t đ ng th c có ch a d u giá tr  tuy t đ i ằ ử ụ ấ ẳ ứ ứ ấ ị ệ ố

Ph ươ ng pháp gi i: ả