UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊNMÔN: TOÁN 8 Thời gian: 90 phút Không kể thời gian giao đề Câu 1.. 3,5 điểm Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD.. Chứng minh ba đường thẳng:
Trang 1UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 90 phút( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3 điểm)
1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a, x4 + 4
b, ( x 2 x 3 x 4 x 5 24 + ) ( + ) ( + ) ( + ) −
1
0
Câu 2: (2 điểm)
1 Tìm a,b sao cho f x( ) =ax3+bx2+10x 4− chia hết cho đa thức
( ) 2
g x =x + −x 2
2 Tìm số nguyên a sao cho a4+4 là số nguyên tố
Câu 3.( 3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD.
Kẻ ME⊥AB, MF⊥AD
a Chứng minh: DE = CF
b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy
c Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất
Câu 4.(1,5 điểm)
Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
-HẾT -UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
MÔN: TOÁN 8
Trang 2Câu Đáp án Điểm
1
1a x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 0,5 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 0,25 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) 0,25 1b ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 0,25 = (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
0,25 0,25 = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) 0,25
2 Nhân cả 2 vế của: a b c
1
2
1 Ta có : g x( ) =x2+ −x 2= x 1 x 2( − ) ( + )Vì
( ) 3 2
f x =ax +bx +10x 4− chia hết cho đa thức
( ) 2
g x =x + −x 2
0,25
Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)
( ) ( ) ( )
ax bx 10x 4= x+2 x-1 q x
Với x=1→a+b+6=0→b=-a-6 1( )
2 Ta có : a4+4= a -2a+2 a +2a+2( 2 ) ( 2 ) 0,25
Vì a∈ →Z a -2a+22 ∈Z;a +2a+22 ∈Z
a +2a+2= a+1 + ≥ ∀1 1 a
Vậya4+4 là số nguyên tố thì a +2a+2=12 hoặc a - 2a+2=12 0,25 Nếu a -2a+2=12 → =a 1 thử lại thấy thoả mãn
Nếu a +2a+2=12 → = −a 1 thử lại thấy thoả mãn 0,25
0,25
Trang 3a Chứng minh: AE FM DF = =
⇒ ∆ AED = ∆ DFC ⇒ đpcm
0,5 0,5
b DE, BF, CM là ba đường cao của ∆ EFC ⇒ đpcm 1
c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
ME MF a
AEMF
M
⇒ là trung điểm của BD
0,25 0,25 0,25
4
(a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
⇒(a+ b) – ab = 1
⇒(a – 1).(b – 1) = 0
⇒a = 1 hoặc b = 1
0,25 0,25 0,25 0,25
Vì a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1; hoặc b = 0 (loại)
Vì b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1; hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2
0,25 0,25
* Chú ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa