Bài tập tổng hợp

Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được 1 hoán vị các phần tử của tập A.. Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầ

1+Cosx .

Bài giải.

a f(x) có nghĩa với mọi x thuộc R Nên tập xác định D=R.

b f(x) có nghĩa khi Cosx ≠0, suy ra x π +k2π, k Z

2

≠ ∈ Nên tập xác định là

π D=R\ +k2π,k Z

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên D

, ( ) , ( )

Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

nên phương trình vô nghiệm.

* Dạng: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Bài 1 Giải các phương trình sau:

Bài 2 Giải các phương trình sau:

a 2.Sin 2 x-5Sinx+3=0 2.Sin 2 x-3Cosx=0

t = 2

b 2.Sin 2 x-3.Cosx=0 ta suy ra 2Cos 2 x+3Cosx-2=0.

Đặt t=Cosx, điều kiện |t|≤1 ta có phương trình theo t là: 2.t 2 +3t-2=0 Giải ra được

- Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a 3.Sin2x-Cos2x=1 b Cos2x- 3Sin2x= 2 c Cos2x-Sin2x= 2 .

d Cos2x- 3Sin2x=1 e 3Cosx+3Sinx=3

4.

Giải phương trình :

Từ phương trình đã cho ta có :

5 Giải phương trình :

6 Giải phương trình :

Phương trình đã cho 7 Giải phương trình :

8.

Giải phương trình lượng giác :

Phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ: Ba vận động viên An, Bình và Châu chạy thi Nếu không kể trường hợp có hai hay

ba vận động viên cùng về đích một lúc thì mọi khả năng đều có khả năng xảy ra.

Kết quả cuộc thi là một danh sách gồm 3 người xếp theo thứ tự nhất, nhì, ba Danh sách này là một hoán vị của tập hợp {An, Bình, Châu} Nếu kí hiệu tập hợp {An, Bình, Châu}

là {a,b,c} thì tập hợp này có tất cả 6 hoán vị là (a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a) Một cách tổng quát ta có:

Cho tập hợp A có n phần tử (n >0) Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được 1 hoán vị các phần tử của tập A.

b Số các hoán vị

Định lí 1: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:

Ví dụ: Một đoàn khách du lịch dự định đến tham quan 7 điểm du lịch A,B,C,D,E,G và H

ở Hà Nội Họ đi tham quan theo thứ tự nào đó, chẳng hạn

Như vậy mỗi cách họ chọn thứ tự tham quan là một hoán vị của tập {A,B,C,D,E,G,H} Do vậy đoàn khách có tất cả cách chọn.

2 Chỉnh hợp

a Chỉnh hợp là gì

Ví dụ: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11m Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ của đội để tham gia đá.

Mỗi danh sách có xếp thứ tự 5 cầu thủ được gọi là một chỉnh hợp chập 5 của 11 cầu thủ

Một cách tổng quát:

Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k, [1\le k \le n[/ct] Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.

Chú ý: Hai chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ khi hoặc có ít nhất một phần tử của chỉnh hợp này không là phần tử của chỉnh hợp kia hoặc các phần tử của 2 chỉnh hợp giống nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau.

b Số các chỉnh hợp

Xét ví dụ trên, ta tính xem có bao nhiều cách huấn luyện viên lập danh sách 5 cầu thủ? Giải: Ta có thể chọn 1 trong 11 cầu thủ để đá quả đầu tiên Tiếp theo có 10 cách chọn cầu thủ đá quả thứ hai, rồi 9 cách chọn cầu thủ đá quả thứ ba, 8 cách chọn cầu thủ đá quả thứ

tư và cuối cùng có 7 cách chọn cầu thủ đá quả thứ năm Theo quy tắc nhân, mỗi đội sẽ có: 11.10.9.8.7 =55440 cách chọn.

Định lí:

(*)

Ta quy ước: , do đó công thức (*) đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn

Chú ý: Một hoán vị của một tập n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n của tập đó nên:

3 Tổ hợp

a Tổ hợp là gì?

một tổ hợp chập k của n phần tử của A ( gọi tắt là tổ hợp chập k của A)

Như vậy, lập một tổ hợp chập k của A chính là lấy ra k phần tử của A mà không quan tâm đến thứ tự

b Số các tổ hợp

Định lí: Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử ( ) là:

(**)

Với quy ước: thì (**) cũng sẽ đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn

Ví dụ: Trong 1 lớp học có 20 HS nam và 15 HS nữ Thầy giáo cần 4HS nam và 3 HS nữ đi tham gia chiến dịch "Mùa hè xanh" của Đoàn Hỏi có bao nhiêu cách?

Giải: Ta có cách chọn 4 HS nam trong số 20 HS nam và có

cách chọn 3 HS nữ trong số 15 HS nữ Theo quy tắc nhân, số cách chọn cần tìm là: 4845.455=2204475 cách chọn

4 Hai tính chất cơ bản của số

TC1: Cho các số nguyên n,k thỏa mãn Khi đó:

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là abcde(a khác 0)

Chọn lần lượt các chữ số a,b,c,d,e ta có lần lượt 5,5,4,3,2 cách chọn.Vậy có tất cả 600 số tự nhiên được lập

Số các số lẻ được lập ra:là 288 số.Vì :

• Chọn e có 3 cách

• Chọn a có 4 cách

5. Từ các chữ số 0 ; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có năm chữ số khác nhau

6 Giả sử số: abcde

xét e=0 khi đó có:7A4 số

xét e= 2 hoặc 4 hoặc 6 ; a khác 0,khác e thì có : 3.6A3 số

vậy có 7A4+3.6A3= 1200 số

MỘT SÔ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

1 Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình , người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người.

Tìm số cách chọn tổ sao cho có 1 tổ trưởng , 5 tổ viên trong đó An và Bình không đồng thời có mặt

Số cách lập tổ công tác không có mặt cả An và Bình là (do một trong 6 người bất kỳ đều có thể làm tổ trưởng)

Số cách lập tổ công tác có mặt đúng 1 trong hai người là (do một trong 6 người bất kỳ đều có thể làm tổ trưởng)

Vậy số cách lập tổ công tác thoả mãn yêu cầu bài toán là: cách

Giải khác.

-Số cách chọn 6 bạn bất kì trong 14 bạn và một bạn làm tổ trưởng trong 6 bạn đó là:

-Số cách chọn 6 bạn bất kì trong 14 bạn và một bạn làm tổ trưởng trong 6 bạn đó mà luôn

Trong tổ có cả nam và nữ có nghĩa là trong tổ có ít nhất 1 nam:

Nếu trong tổ có 1 nam tức có 5 nữ thì có: = 336 cách chọn

Nếu trong tổ có 2 nam tức có 4 nữ thì có: = 1050 cách chọn

Nếu trong tổ có 3 nam tức có 3 nữ thì có: = 1120 cách chọn

Nếu trong tổ có 4 nam tức có 5 nữ thì có: = 420 cách chọn

Nếu trong tổ có 5 nam tức có 1 nữ thì có: = 48 cách chọn

Vậy có tất cả 336 + 1050 + 1120 + 420 + 48 =2974 cách chọn tất cả.

3 Cho A là một tập hợp có phần tử :

a) Có bao nhiêu tập hợp con của A

b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn

a) Số tập con của A là:

b) Ta có:

Suy ra số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là:

4 Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 9 em , trong đó có 4 học sinh khôi 12, 3 học sinh khối 11 và 2 học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh của đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn.

TH 1: khối 12 có 3hs, khối 11 có 1 hs, khối 10 có1 hs thì có 4C3.3.2=24 cách chọn ở

TH 2: khối 12 có 2hs, khối 11 có 2hs, khối 10 có 1 hs thì có 4C2.3C2.2=36 cách chọn

TH 3: khối 12 có 2 hs, khối 11 có 1 hs , khối 10 có 2 hs thì có 4C2.3.2C2=18 cách chọn

TH 4: khối 12 có 1 hs, khối 11 có 3hs, khối 10 có 1 hs thì có 4.1.2=8 cách chọn

TH 5: khối 12 có 1 hs, khối 11 có 2 hs, khối 10 có 2 hs thì có 4.3C2.1=12 cách chọn

Vậy tổng cộng có: 24+36+18+8+12=98 cách chọn

Giải khác

Chọn tuỳ ý 5 em học sinh trong 9 em có cách chọn

Nếu không chọn học sinh khối 10 có cách chọn

Nếu không chọn học sinh khối 11 có cách chọn

Nếu không chọn học sinh khối 12 có cách chọn

5 Vậy có - - - = 98 cách chọn thoả mãn đề bài.

Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi lấy từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên bi lấy ra không đủ ba màu.

Tổng số bi trong hộp là: 2 + 3 + 5 = 10 viên

Số cách chọn 4 viên trong 10 viên là = 210(cách)

Số cách lấy ra 4 viên bi đủ cả 3 màu:

Trường hợp 1: 2 đỏ, 1 trắng, 1 vàng Có 1 x 3 x 5 = 15 (cách)

Trường hợp 2: 1 đỏ, 2 trắng, 1 vàng Có 2 x x 5 = 2 x 3 x 5 = 30(câch)

Trường hợp 3: 1 đỏ, 1trắng, 2 vàng Có 2 x 3 x = 2 x 3 x 10 = 60 (cách)

Số cách lấy 4 viên bi đủ cả 3 màu là: 15 + 30 + 60 =105(cách)

Vậy số cách lấy 4 viên bi không đủ 3 màu là: 210 - 105 =105 (cách)

6 Xét 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào 1 dãy 7 ô trống.

1 Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau.

2 Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau.

Sau đó trong mỗi cách xếp đó, ta lại hoán vị các bi đỏ với nhau, các bi xanh với nhau.

Do các bi đỏ khác nhau nên ta được số hoán vị là

Vậy số cách xếp khac nhau để các bi đỏ đứng cạnh nhau, các bi xanh đứng cạnh nhau là

8 Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó 10 nam, 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn

ra 5 người sao cho.

1 Có đúng 2 nam trong 5 người đó.

2 Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.

2 Nếu phải chọn tuỳ ý.

1 Để có ít nhất 2 nữ thì ta phải chọn hoặc là 2 nữ, hoặc là 3 nữ 4 nam, 3 nam hoặc 4 nữ, 2 nam hoặc 5 nữ, 1 nam hoặc 6 nữ.

Vậy số cách chọn cho trường hợp này là:

.

10 Có 6 học sinh sẽ được sắp xếp ngồi vào 6 chỗ đã được ghi số thứ tự trên 1 bàn dài.

1 Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn.

2 Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn sao cho 2 học sinh A và B không ngồi cạnh nhau.

1 Mỗi cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào 6 chỗ có thứ tự là một hoán vị 6 phần tử

Nên ta có số cách sắp xếp là: cách.

2 Nếu A và B theo thứ tự đó, ngồi cạnh nhau, ta có cách sắp xếp.

Nếu B và A theo thứ tự đó, ngồi cạnh nhau, ta có cách sắp xếp.

Vậy só cách sắp xếp cần tìm là: cách.

11 Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ Giáo viênmuốn chọn 3 học sinh xếp bàn ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam sinh Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

Chọn 3 học sinh trong số 11 học sinh, ta có cách.

Chọn 3 nữ sinh trong 4 nữ sinh ta có cách.

Đầu tiên phát cho mỗi học sinh 1 phần thưởng.

Như vậy là có 1 cách Còn lại 4 phần thưởng phát cho 6 học sinh ta có:

2 Số điện thoại có 6 chữ số khac nhau là 1 chỉnh hợp chập 6 của 10 phần tử Do đó ta có

số.

15 Để viết chữ đăng ký xe hơi người ta dùng 3 chữ (30 chữ cái được dùng) và 1 số có 4 chữ số (10 chữ số được dùng) Hỏi số tối đa xe hơi có thể đăng ký cho biết không có hai xe hơi nào có số đăng ký giống nhau?

Gọi là một biển số đăng ký.

Vậy ta có tối đa triệu chiếc xe hơi có thể đăng ký.

16 Xếp 3 quyển sách văn, 4 sách sử, 2 sách địa và 5 quyển công dân vào một hệ thống theo từng môn Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp.

Có 4 bộ môn, do đó có 4 cách sắp xếp theo bộ môn Trong đó có: cách sắp xếp sách văn.

cách sắp xếp sách sử

cách sắp xếp sách địa

cách sắp xếp sách công dân

Vậy số cách sắp xếp lên kệ là cách (đây là hoán vị có lặp lại).

17 Cho tập Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau từ mà chia hết cho 5?

Gọi (abcde) là số có 5 chữ số theo yêu cầu bài toán.

Vì (abcde) là số chia hết cho 5, nên: e = {0;5}

8 cách chọn b

7 cách chọn c

6 cách chọn d

=> Có 8*8*7*6*1=2688 cách chọn khi e= 5

Vậy ta có 2688 + 3024 = 5712 cách chọn thoả yêu cầu bài toán.

18 Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 ta có thể thành lập bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và trong đó có chữ số 4.

• Ta xét xem có bao nhiêu cách chọn vị trí cho cặp (1,2) đứng cạnh nhau:

Nếu (1,2) ta có 4 cách chọn vị trí cho cặp {1,2}trong

Do đó ta có 8 cách chọn cho cặp {1,2} (không kể thứ tự của 1 ,2 ) đứng gần nhau, ứng với mỗi cách chọn cặp {1,2} như thế ta có cách chọn 3 chứ số còn lại của

Vậy ta có số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó 2 chữ số 1,2 đứng cạnh nhau

21 Cho tập Hỏi có bao nhiêu tập con của chứa chữ số 9

Số tập con của của chỉ chứa là

Vậy số tập con của có chứa số 9 là số các tập

Vậy số tập con của có chứa số 9 là tập con

9 cách chọn chữ số thứ tư (trừ chữ số thứ ba vì chữ số thứ tư phải khác chữ số thứ

ba đã được chọn )

9 cách chọn chữ số thứ năm (trừ chữ số thứ tư vì chữ số thứ năm phải khác chữ số thứ tư đã được chọn )

(Chú ý rằng có tổng cộng 10 chữ số : 0,1,2, 9, và chữ số thứ 5 có thể bằng chữ số thứ 3 và thứ hai)

Vậy ta có số thoả mãn đề bài.

23 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 số kề nhau phải khác nhau.

Ta có :

9 cách chọn chữ số thứ nhất (vì )

9 cách chọn chữ số thứ hai (trừ chữ số đã chọn vì chữ số thứ hai phải khác chữ số

thứ nhất đã được chọn)

9 cách chọn chữ số thứ ba (trừ chữ số thứ hai vì chữ số thứ ba phải khác chữ số thứ hai đã được chọn)

9 cách chọn chữ số thứ tư (trừ chữ số thứ ba vì chữ số thứ tư phải khác chữ số thứ

ba đã được chọn )

9 cách chọn chữ số thứ năm (trừ chữ số thứ tư vì chữ số thứ năm phải khác chữ số thứ tư đã được chọn )

(Chú ý rằng có tổng cộng 10 chữ số : 0,1,2, 9, và chữ số thứ 5 có thể bằng chữ số thứ 3 và thứ hai)

Vậy ta có số thoả mãn đề bài.

24 Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5 Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số bắt đầu bởi 23

Hai chữ số đầu là 23 Vậy chỉ còn chọn 3 chữ số 4,5,1 cho 3 số sau Như thế có số Gọi số tự nhiên có 5 chữ số có dạng là : (23abc)

a có 3 cách chọn

b có 2 cách chọn

c có 1 cách chon

Vậy có tất cả : 1*2*3 = 3! = 6 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau cần lập

25 Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5 Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số không bắt đầu bởi chữ số 1

gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau bắt đầu từ 1 có dạng 1abcd

ta có a có 4 cách chọn

b có 3 cách chọn

c có 2 cách chọn

và d có 1 cách chọn

suy ra ta sẽ lập đc 4! = 24 số tự nhiên khác nhau có 5 chữ số bắt đầu bởi chữ số 1

vậy sẽ có 120 - 24 = 96 số tự nhiên có 5 chữ số khac nhau không bắt đầu bởi chữ số 1 từ các chữ số 1,2,3,4,5

Có cách chọn 4 chữ số khác nhau từ tập trên trong đó không có số 7

=> có số thỏa mãn yêu cầu bài toán

28 Cho các số 1,2,5,7,8 có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao cho số tạo thành là một số nhỏ hơn 278

Từ phương trình thứ hai suy ra

Thay vào phương trình thứ nhất và sử dụng công thức tổ hợp

Giải phương trình này và loại , nhận

32 Giải phương trình :

*

* Phương trình biến đổi thành :

* Do lần lượt kiểm tra từng giá trị:

* thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình có nghiệm :

Vậy phương trình có nghiệm:

35 Tìm số tự nhiên n sao cho :

Vậy phương trình có nghiệm x=6.

39 Giải phương trình sau:

ĐK của x:

Thay x=3, x=4, x=5 vào bất phương trình đều thấy thỏa mãn.

Vậy bất phương trình đã cho có 3 nghiệm là {3;4;5}

42 Giải phương trình :

( ĐK : x > 3)

Chủ đề XÁC SUẤT Bài 1 Gieo hai con súc sắc.

a) mô tả không gian mẫu

b) gọi A là biến cố “tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 7″ Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A Tính P(A).

c) Cũng câu hỏi trên cho các biến cố B: ” có ít nhất một con súc sắc xất hiện mặt 6 chấm”

và C: “có đúng một con xuất hiện mặt 6 chấm”

( có thể liệt kê như thường làm)

b) A ={(6;1),(5;1),(5;2),(4;1),(4;2),(4;3),(3;1),(3;2),(3;3),(3,4),(2;1),(2;2),(2;3)

,(2;4),(2;5),(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(\1;6)}

vậy n(A) = 21 nên P(A) =

c) giống như trên n(B) = và n(C) =

chọn 5 trong số 20 người nên

Số thứ tự không vượt quá 10 nên ta chọn 5 người trong tập những người có số thứ tự từ 1 đến 1- Vậy

số trường hợp thuận lợi là:

( chọn 3 nam trong số 6 nam)

( chọn 2 nam trong số 6 nam và 1 nữ trong số 4 nữ) Dùng biến cố đối để tính C:”có ít nhất một bạn nam” lúc đó “không có bạn nam nào” ( tức là 3 nữ)

( chọn 3 nữ trong số 4 nữ), suy ra xác suất từ đó suy ra P(C).

Bài 4 Gieo ba đồng xu cân đối Tính xác suất để :

a) cả 3 đồng xu đều sấp

b) có ít nhất 1 đồng xu sấp

c) có đúng 1 đồng sấp.

Giải: