ĐỀ THI HSG TOÁN lớp 9

ĐỀ THI HSG TOÁN lớp 9 ĐỀ THI HSG TOÁN lớp 9 ĐỀ THI HSG TOÁN lớp 9 ĐỀ THI HSG TOÁN lớp 9 ĐỀ THI HSG TOÁN lớp 9 VĐỀ THI HSG TOÁN lớp 9

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2012-2013

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Tính tổng: 1 12 12 1 12 12 1 1 2 1 2

b) Cho các số nguyên x và y thỏa mãn 4 x5y7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P5| | 3| |.x  y

Câu 2 (1,5 điểm).

Tìm các số hữu tỉ x, y thỏa mãn: 2 3 3  3 3x  y 3

Câu 3 (1,5 điểm).

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 1

6



abc Chứng minh rằng:

 a  b c a b c     

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho tam giác nhọn ABC ( AC AB ) có các đường cao AA',BB',CC và trực' tâm H Gọi ( ) O là đường tròn tâm O, đường kính BC Từ A kẻ các tiếp tuyến AM,

AN tới đường tròn ( ) O (M, N là các tiếp điểm) Gọi M là giao điểm thứ hai của' '

A N và đường tròn ( ) O , K là giao điểm của OH và ' ' B C Chứng minh rằng:

a) M đối xứng với M qua BC '

b) Ba điểm M H N thẳng hàng., ,

c) ' ' 2

  

Câu 5 (1,0 điểm).

Cho bảng ô vuông 3 3 (3 hàng và 3 cột) Người ta điền tất cả các số từ 1 đến 9 vào các ô của bảng (mỗi số điền vào một ô) sao cho tổng của bốn số trên mỗi bảng con có kích thước 2 2 đều bằng nhau và bằng một số T nào đó Tìm giá trị lớn nhất

có thể được của T.

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2012-2013

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương

ứng với phần đó

II ĐÁP ÁN:

1

(3đ)

1

,1

n

2

Suy ra 1 12 1 2 1 1 1

1 1

1

Áp dụng kết quả trên, ta có

2012 2013 2012 2013

Cộng vế với vế của 2012 đẳng thức trên, ta được

1

2013

2013

S

2

Nhận xét: Nếu có x, y thỏa mãn điều kiện đề bài thì xy0 Do đó chỉ

cần xét hai trường hợp sau

TH 1 : x 0 y Khi đó P5| | 3| | 5x  y  x3y và 5 y 7 4x

Suy ra 5 3·7 4 13 21

P x Do đó, P nhỏ nhất khi x nhỏ nhất.

Do x nguyên dương, y nguyên âm nên x3, y 1 Vậy, trong trường

hợp này, P nhỏ nhất bằng 12.

TH 2 : x 0 y Khi đó P5| | 3| | 5x  y   x 3y và 5 y 7 4x

Suy ra 5 3·7 4 13 21.

P x Do đó, P nhỏ nhất khi x lớn nhất.

Do x nguyên âm, y nguyên dương nên x 2,y3 Vậy, trong trường

hợp này, P nhỏ nhất bằng 1.

So sánh kết quả hai trường hợp, giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 đạt được

khi và chỉ khi x 2, y3

2

(1,5đ) Tìm các số hữu tỷ x, y thỏa mãn: 2 3 3Điều kiện x0;y0   3 3x  y 3 (1)

(1)2 3 3 3 3  x  y 3 6 xy (3x y 2) 3 6 xy 3 (2)

2 (3 2) 3 36 36 9

2

12 3 (3 2)

12

x, y là các số hữu tỉ, nên từ (3) suy ra xy là số hữu tỉ.

+ Nếu 3x y  2 0, thì ta có vế trái của (2) là một số vô tỉ, vế phải của (2) là một số hữu tỉ, điều này vô lí

+ Nếu 3x y  2 0, kết hợp với (2) ta có:

1

4

 



  



 

x y

x y

xy xy

Giải hệ trên ta được: 1

2

 

1 6 3 2

 





 



x y

Thay vào (1) ta được 1

2

 

x y thỏa mãn yêu cầu bài toán

3

(1,5đ)

Đặt a y,2b z

x y (với x, y, z > 0) 3 

x c z

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

3 y  z  x      y z x x y z

zx xy yz x y z y z x

 x  y z  xyz y z xz  x y x z xy   yz

x x y x z   y y z y x  z z x z y   (1)

Không mất tính tổng quát giả sử x y z  

Ta có: (1) (x y x y z ) (2   ) z z x z y(  )(  ) 0 (2)

Dễ thấy (2) đúng suy ra đpcm

Dấu ‘‘=’’ xảy ra

1 1 2 1 3



 





 



a

c

4

(3đ)

a

O

H

B' C'

M'

A'

A

M

N

Từ giả thiết ta có:   AMO ANO AA O  ' 90o nên các điểm A, A’, M, O,

N thuộc đường tròn đường kính AO.

 AA N AMN (1)

Lại có:   1'

2

AMN MM N sđ MN (2)

Từ (1) và (2)   MM N AA N'  '  MM’//AA’

Mà BCAA’BCMM’

Mặt khác BC là đường kính của (O) nên BC vuông góc với MM’ tại trung điểm của MM’, do đó M’ đối xứng với M qua BC

AMC’ vàABM có   AMC' ABM và chung góc MAB

' ~

 AMC ABM  AM  AC' AM2 AB AC. '

Dễ thấyAC H' ~AA B' ' ' '

'

 AC  AH  AA AH AB AC

Từ (3) và (4) ' 2

'

 AA AH  AM  AH  AM

Mặt khác AHM và AMA có chung góc ' A AM nên’

 

Tứ giác AMA’N nội tiếp  AA M ANM'  (6)

Có AM, AN là tiếp tuyến của (O)   AMN ANM (7)

Từ (6) và (7)   AMN AA M ' (8)

Từ (5) và (8) ta có  AMH AMN 

Dễ thấy H, N nằm cùng một phía so với đường thẳng AM nên tia MH trùng tia MN hay M, H, N thẳng hàng

c

F K

E

D

H

B'

C'

Qua O kẻ đường thẳng d song song với B’C’ , d cắt BB’ và CC’ lần lượt tại D, E

'

 KB  KH KC  KB OD

Ta có:  BDO ECO (vì cùng bằng  BB C ) và  ' ' BOD EOC

2 2

2

 DBO CEO OD OB OD OE OC  OD OC

Lấy F (F ≠ E) trên đường thẳng CC’ sao cho OE = OF

 ' '

OFC B C H (vì cùng bằng ' OEC ) Lại có   HB C OCF' '

' ' ~

 B C H CFO HB OC  HB OC

Từ (9), (10), (11)

2

 KB  HB 

5

(1đ)

1,0 điểm

Tổng của tất cả các số ghi trên bảng bằng

1 2 3     9 45

Gọi x là số ghi ở ô (2; 2) (ô trung tâm của

bảng); các ô còn lại ghi các số a, b, c, d, e, f,

g, h (Hình 1):

Cộng tổng tất cả các số ghi trên 4 bảng con kích thước 2 2 ta được

4T 4x a c e g(    ) 2( b d f h   ) 45 2  x(x b d f h    )

Do x9,x b d f h         9 8 7 6 5 35 nên

4T 45 2·9 35 98    T 24 (do T)

Trên Hình 2 chỉ ra một phương án điền số sao cho

24



Hình 1

Hình 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

SÓC TRĂNG

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

Năm học 2012 – 2013

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Đề chính thức

Môn: Toán - lớp 9

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề)

_

Đề thi này có 01 trang

Bài 1 ( 4 điểm)

a) Chứng minh đẳng thức sau:

2 1

: 1



















a a

a a

a

( với a > 0, a  1).

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của

3 2 3

4

2 2   2 

y

Bài 2 ( 4 điểm)

Giải phương trình và hệ phương trình sau:

3

1 24 8 4 3

3 3 x  3 x  3 x  

b)































1 1

3 1

3 1 1

2

y

y x

x y

y x

x

Bài 3 ( 4 điểm)

a) Chứng minh rằng: Với mọi aZ thì A = a3- 7a + 12 luôn chia hết cho 6 b) Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó.

Bài 4 (4 điểm)

Cho đường tròn đường kính AB Điểm C thuộc đường tròn ( C khác A, B).

Vẽ dây BD là phân giác của góc ABC, BD cắt AC tại E, AD cắt BC tại G Điểm H

là điểm đối xứng với E qua D.

a) Tứ giác HAEG là hình gì ? Chứng minh.

b) Chứng minh rằng AH là tia tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Bài 5 ( 4 điểm)

Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d cố định và không giao nhau với đường tròn Từ điểm M tùy ý trên d, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B thuộc đường tròn tâm O) Kẻ OH vuông góc với d tại H Dây cung AB cắt OH tại I, cắt

MO tại K.

a) Chứng minh rằng: OI OH = OK OM.

b) Khi M thay đổi trên d thì điểm K di chuyển trên đường nào?

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

SÓC TRĂNG

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

Năm học 2012 – 2013

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Đề chính thức

Môn: Toán - lớp 9

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề)

_

HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1 ( 4 điểm)

a)

a

a a

a a

a

a a

a



























1 1

1

a

a a a a











a

a



 1

2

(0,5 điểm)

1

2 1

: 1

2













a a

a a

a a

a

( với a > 0, a  1) (0,5 điểm) b) Tìm giá trị nhỏ nhất của

3 2 3

4

y

2  2    2 

Do ( x + 1)2 0 nên y 1  2 (0,5 điểm)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ( x + 1)2= 0 x = -1 (0,5 điểm) Vậy giá trị nhỏ nhất của y 1  2 khi x = -1 (0,5 điểm)

Bài 2 ( 4 điểm)

3

1 24 8 4 3

3 3 x  3 x  3 x   ( Điều kiện: x) (0,25 điểm)

20 3 3

8 3

33   3  3  

20 3

10 3   

2 3

3   

5 8

3     



b)

1

;







y

y Y x

x

Giải hệ phương trình:

















1

3

3

2

Y

X

Y

X

(0,5 điểm) Giải ra: X = 2; Y = -1 (0,5 điểm)

Suy ra:  

 1 2

x

x

x = -2 ( thỏa),  

1 1

y

y

y =

2 1

 ( thỏa) (0,5 điểm)

Vậy : ( x = -2 ; y =

2

1

 ).

Bài 3 (4 điểm)

a) A =a3

–7a+ 12

Do a(a-1)(a+1) là tích 3 số liên tiếp nên a(a-1)(a+1) chia hết cho 6 (0.5điểm)

b) Ta có : ab(a + b ) = a3 + b3 (0,25 điểm)

10a + b = a2– ab + b2= ( a + b )2– 3ab (0,25 điểm)

 3a( 3 + b ) = ( a + b ) ( a + b – 1 ) (0,25 điểm)

a + b và a + b – 1 nguyên tố cùng nhau do đó: (0,25 điểm)



















b b

a

a b a

3 1

3

hoặc



















a b

a

b b

a

3 1

3

(0,5 điểm)

 ( a = 4 , b = 8) hoặc ( a = 3 , b = 7) (0,5 điểm)

Vậy ab = 48 hoặc ab = 37.

Bài 4 (4 điểm)

H

G

E D

B A

C

a) Tứ giác HAEG là hình thoi (0,5 điểm)

Vì D thuộc đường tròn đường kínhABBD AG

mà ABD GBD(giả thiết) suy ra: tam giác BAG cân tại B (0,5 điểm)

DA = DG (vì BD cũng là trung tuyến)

DE = DH (tính chất đối xứng) (0,5 điểm)

Suy ra tứ giác HAEG là hình bình hành

EA = EG ( do BD là đường trung trực của AG)

b) Ta có GE  AB ( do E là trực tâm của tam giác BAG) (0,5 điểm)

Từ đó suy ra: AH là tia tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Bài 5 (4 điểm)

a) Do MA = MB ( định lí), mà OA = OB = R (0,25 điểm) nên OM là trung trực AB OM  AB (0,25 điểm)

mà AB giao OM tại K 0

90





 OKI (0,25 điểm) Xét tam giác OKI và OHM có:

0 90







OKI OHM , góc O chung  OKI đồng dạng OHM (g.g) (0,5 điểm)

OI

OM

OK

OH 

b) Ta có: OK OM = OA2( HTL trong tam giác vuông) (0,5 điểm)

Từ chứng minh câu a) suy ra: OI OH = OK OM = OA2 = R2 (0,5 điểm)

Do O và d cố định và H là hình chiếu của O lên d nên OH không đổi,

mà OI OH = R2không đổi và I thuộc OH nên OI không đổi

 I cố định (0,5 điểm)

Vì OKI  90 0

nên K thuộc đường tròn đường kính OI, mà OI cố định nên khi M di chuyển trên d thì K di chuyển trên đường tròn đường kính OI (0,5 điểm)

L ưu ý: Học sinh có các cách giải khác, nếu đúng vẫn cho trọn số điểm theo qui định

của từng bài.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH SÓC TRĂNG Năm học 2015-2016

Đề chính thức

Môn: Toán - Lớp 8

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề)

Đề thi này có 01 trang

Bài 1 (4 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử:   2 2 2 2 2 2

axby  aybx c x c y b) m i t nh nh t c a iể thức Q  x4  10 x3 26 x2  10 x  30

Bài 2 (4 điểm)

a) Chứn minh ằn : 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 với mọi số tự nhiên n b) m c c số tự nhiên n sao cho n2 + 65 là số chính phươn

Bài 3 (4 điểm)

a) Giải phươn t nh: 1 3 5 7

x  x  x  x

b) m c c n hiệm n yên c a phươn t nh: 5x – 3y = 2xy – 11

Bài 4 (4 điểm)

Cho h nh chữ nhật ABCD ên đườn chéo BD l y điểm P Gọi M là điểm đối xứn c a C q a P

a) ứ i c AMDB là h nh ? Chứn minh ?

b) Gọi E, F lần lượt là h nh chiế c a điểm M t ên AD, AB Chứn minh

ằn : EF//AC và a điểm E, F, P thẳn hàn

Bài 5 (4 điểm)

Cho hình vuông ABCD Trên đườn chéo BD, l y một điểm M t k Kẻ

ME  AB, MF  AD (EAB, FAD)

a) Chứn minh ằn : DE = CF và DE  CF

b) Chứn minh ằn : a đườn thẳn DE, BF, CM đồn q y

c) Xác đ nh v t í c a điểm M t ên BD để tứ i c AEMF có diện tích lớn

nh t Vì sao ?

- HẾT -

Họ tên thí sinh: ……… ……… Số o danh: ………

Chữ ký c a Gi m th 1: ……… Chữ ký c a Gi m th 2: ………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

SÓC TRĂNG Năm học 2015-2016

Đề chính thức

Môn: Toán - Lớp 9

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề)

Đề thi này có 01 trang

Bài 1.(4 điểm)

a) iể :

9

11 3 3

1 3

2

















x

x x

x x

x

m x để iể P < 1

b) m giá rị lớn n ấ và n ỏ n ấ ủa p ân :

2

3 2

2

2









x

x x

E

Bài 2 (4 điểm)

a) Ch ng min r ng với m i a  Z thì 2 a3  3 a2  a  6

b) Ch ng min r ng với m i ng n x, y

A  ( x  y )( x  2 y )( x  3 y )( x  4 y )  y4là n p ng

Bài 3.(4 điểm)

Hai ng ời ùng làm mộ ông việ Nế ả ai ùng làm ng 8 giờ àn

àn ông việ Hai ng ời ùng làm đ ợ 6 giờ, a đó ng ời n ấ đi làm việ k á

và ng ời ai iếp ụ làm 5 giờ nữa àn àn ông việ Hỏi nế làm mộ m n

mỗi ng ời p ải àn àn ông việ r ng mấ giờ ?

Bài 4 (4 điểm)

am giá AB v ông ại A, đ ờng a AH Mộ đ ờng ẳng q a A ắ

đ ờng ròn đ ờng k n AB ại M, ắ đ ờng ròn đ ờng k n A ại N Điểm A n m

giữa ai điểm M và N

a) ng min : MHN = 900

b) HM ắ AB ại I, HN ắ A ại J ng min IJ // MN

Bài 5 (4 điểm)

đ ờng ròn ( ) và đ ờng ròn ( ), iếp ng ài ại A ( ) á đ ờng k n A B ủa đ ờng ròn (O) và A ủa đ ờng ròn ( )

â ủa đ ờng ròn ( ) v ông gó với B ại r ng điểm ủa B

a) giá B là n g ? ng min

) i I là gia điểm ủa với đ ờng ròn ( ) ng min a điểm , A, I

ẳng àng

) ng min I là iếp ến ủa đ ờng ròn ( )

- HẾT -

H n thí in : ……… ……… S á dan : ………

ữ ký ủa iám ị 1: ……… ữ ký ủa iám ị 2: ………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (1,5 điểm): Cho biểu thức: 3 16 7 1 7 2

A

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x để A  6.

Câu 2 (1,5 điểm): Cho hệ phương trình: 2 2

mx y

x my

 



  

 (với m là tham số).

a) Giải hệ phương trình trên khi m 10.

b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x y;  thỏa mãn hệ thức:

2 2

2015 14 8056 2014

4

x y

m



Câu 3 (3,0 điểm):

a) Cho ba số thực dương a b c , , thỏa mãn a  b c 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; ) x y thỏa mãn: x (1   x x2)  4 ( y y  1).

Câu 4 (3,0 điểm): Cho đoạn thẳng AC có độ dài bằng a Trên đoạn AC lấy điểm B sao cho

4

AC AB Tia Cx vuông góc với AC tại điểm C, gọi D là một điểm bất kỳ thuộc tia Cx (D

không trùng với C) Từ điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD và

CD lần lượt tại K, E

a) Tính giá trị DC CE theo a

b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất

c) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE luôn

có một dây cung cố định

Câu 5 (1,0 điểm): Cho dãy gồm 2015 số: 1 1 1 1 1

Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số u, v bất kỳ trong dãy và viết thêm vào dãy một số có giá trị bằng u v uv vào vị trí của u hoặc v. Cứ làm như thế đối với dãy mới thu được và sau 2014lần biến đổi, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số Chứng minh rằng giá trị của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số u, v để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy, hãy tìm số cuối cùng đó

-H

ết -Ghi chú: - Thí sinh khô ng được sử dụng máy tính cầm tay.

- Giám th ị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:…….……… …

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 1 / 5

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

(05 trang)

I) Hướng dẫn chung:

1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định

2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo

3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả.

4) Với bài hình học nếu học sinh không v ẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó.

II) Đáp án và thang điểm:

Câu 1

(1,5 đ)

: 2

A

a) (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức A.

Điều kiện:

0

3 0

1 0

1

x

x x x x x x



 



  









Từ đó: x  0; x  1; x  4 0,25

Biến đổi:

2

0,25



:

A

b) (0,5 điểm) Tìm x để A  6.

2

x

x



         

7 x 21  (thỏa mãn điều kiện) Vậyx 9 để A  6 thì x 9 0,25