Mục đích - Trang bị cho học sinh một số khái niệm về chuỗi số dương: định nghĩa, các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương và bài tập áp dụng.. Yêu cầu - Sinh viên hiểu đúng khái niệm chu
Trang 1Tên bài học: CHUỖI SỐ DƯƠNG
A Mục đích
- Trang bị cho học sinh một số khái niệm về chuỗi số dương: định nghĩa, các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương và bài tập áp dụng
- Rèn kỹ năng vận dụng khai thác kiến thức đã học vào giải quyết vấn đề mới Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, phát triển năng lực suy đoán
B Yêu cầu
- Sinh viên hiểu đúng khái niệm chuỗi số dương, nắm được các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương
- Sinh viên biết vận dụng tốt các kiến thức đã học vào giải quyết các bài tập ứng dụng
I Ổn định lớp (1 phút)
- Nội dung nhắc nhở: kiểm tra công tác chuẩn bị tài liệu phục vụ cho bài giảng mới
và công tác tổ chức lớp
II Kiểm tra bài cũ
III Giảng bài mới
- Đồ dùng dạy học: giáo trình, giáo án, phấn bảng
- Nội dung, phương pháp:
(phút)
Phương pháp thực
hiện
1 1 Khái niệm chuỗi số dương 15
2 2 Tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương 24
2.1 Tiêu chuẩn so sánh 1 Giảng giải, phát vấn 2.2 Tiêu chuẩn so sánh 2
2.3 Tiêu chuẩn Đalămbe
2.4 Tiêu chuẩn Côsi
2.5 Dấu hiệu tích phân Côsi
IV Tổng kết bài (1 phút)
V Câu hỏi và bài tập (1 phút)
Trang 2VI Tự đánh giá của giáo viên về: chất lượng, nội dung, phương pháp, thời
gian thực hiện bài giảng trên
………
………
………
VII Tài liệu tham khảo
1) Bài giảng toán cao cấp (Bộ môn Toán Đại học Điện Lực)
2) Toán cao cấp – Nguyễn Đình Chí chủ biên
3) S.M.Nikolsky A course of Mathematical analysis.
Trưởng khoa
TS.NGUYỄN MINH KHOA
Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Người thực hiện
Phan Thị Tuyết
Trang 3CHƯƠNG V: CHUỖI SỐ
§2: CHUỖI SỐ DƯƠNG
1 Định nghĩa
Chuỗi số
1
n n
u
∞
=
∑ (1) được gọi là chuỗi số dương nếu u n > ∀0 n, với u nlà số hạng tổng quát thứ n của chuỗi
1
2 1
2 os
n
n c n
∞
=
+
−
+
∑ , là chuỗi số dương
Đặt S n = + + +u1 u2 u n gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi, { }S n là dãy đơn điệu tăng và có hai trường hợp xảy ra
TH1: Nếu tồn tại limSn
n
S
→∞ = (hữu hạn) thì (1) hội tụ và có tổng bằng S.
TH2: Nếu không tồn tại limSn
n→∞ ( hoặc limSn
n→∞ = ∞ ) thì chuỗi (1) phân kỳ.
Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa
1
1
n n
∞
=
∑
Giải Ta có u n 1 0 n
n
= > ∀ Đặt 1 1 1
2
n
S
n
= + + +
Ta chứng minh: 1 ln(k 1) ln( )k
k > + − ∀ >k 0 (2)
Ta có lim(1 1)n
n
→∞ + = Vì dãy 1 1
n
n
+
÷
là dãy đơn điệu tăng nên suy ra
k
+ < ⇔ + < ⇔ > + −
Áp dụng công thức (2) ta có:
1 ln(2) ln(1) 1
ln(3) ln(2) 2
1 ln(n 1) ln( )n n
> −
> −
> + −
ln( 1) ln(1) ln( 1) n
n
⇒ > + − = + →∞ lim n
n S
→∞
⇒ = ∞ Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.
Trang 4Chú ý: Chuỗi điều hòa
1
1
s
n n
∞
=
∑ hội tụ nếu s>1
phân kỳ nếu s≤1 Trong một số trường hợp việc tính limn S n
→∞ thì dài và phức tạp, do đó để xét tính hội tụ của chuỗi số dương ta có một số tiêu chuẩn sau
2 Tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương
2.1 Tiêu chuẩn so sánh 1
Cho hai chuỗi số dương
1
n n
u
∞
=
∑ và
1
n n
v
∞
=
∑ Giả sử u n ≤v n ∀ ≥ ∈n n0 N Khi đó
1
n n
v
∞
=
∑ hội tụ thì
1
n n
u
∞
=
∑ hội tụ
1
n n
u
∞
=
∑ phân kỳ thì
1
n n
v
∞
=
∑ phân kỳ
Ví dụ 3 Xét sự hội tụ của chuỗi 3 2
2
ln 2
n
n
n n
∞
∑
Ta có 3 2
ln
0 2
n
n
n n
= > ∀
+ + Ta chứng minh: x>lnx ∀ >x 1. Đặt y x= −lnx, y' 1 1 x 1 0 x 1
x x
−
= − = > ∀ > , suy ra y là hàm số đơn điệu tăng do đó
( ) (1) 1
y x >y ∀ >x ⇒ −x lnx>0
Theo điều vừa chứng minh trên thì ∀ ≥n 2ta có n>ln( )n Vậy
0
n
u
n n n n n
< = < <
mà 2
1
1
n n
∞
=
∑ hội tụ, do đó chuỗi đã cho hội tụ
2.2 Tiêu chuẩn so sánh 2
Cho hai chuỗi số dương
1
n n
u
∞
=
∑ và
1
n n
v
∞
=
∑ Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
lim n , 0
n
n
u
k k
v
→∞ = < < ∞
thì hai chuỗi trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ
Nếu k =0 và
1
n n
v
∞
=
∑ hội tụ thì
1
n n
u
∞
=
∑ cũng hội tụ
Nếu k= ∞ và chuỗi ∑∞ v n phân kỳ thì ∑∞ u n cũng phân kỳ
Trang 5Chú ý: Trong trường hợp limn n 1
n
u v
→∞ = thì ta nói u ntương đương với v nký hiệu là u n ~v n
Vậy nếu u n ~v n thì
1
n n
v
∞
=
∑ và
1
n n
u
∞
=
∑ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ
Ví dụ 3 Xét sự hội tụ của chuỗi 2
1
1 os
n
n n c
n
∞
=
+
− ÷÷
+
∑
Ta có
2
n
n n n n n n n n
u c
≤ = − ÷÷= ÷÷ ÷÷ ÷÷ =
n→ ∞
chọn 2 0, lim 1
9
n
n
u v
n →∞v
= > = mà
1
2 9
n n
∞
=
∑ phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ
2.3 Tiêu chuẩn Đalămbe
Cho chuỗi số dương
1
n n
u
∞
=
∑ Giả sử tồn tại giới hạn limn n 1
n
u d u
+
→∞ = Khi đó, nếu a) d<1, chuỗi hội tụ;
b) d>1, chuỗi phân kỳ;
c) d=1, chưa có kết luận gì về sự hội tụ của chuỗi
Chứng minh
Thật vậy, giả sử d < 1 Chọn ε khá bé để d+ <ε 1 Vì lim n 1
n n
u d u
+
→∞ = nên tồn tại số
nguyên dương n0để cho với n n> 0, ta có n 1
n
u d
u+ < +ε . Cũng có thể xem như n0 =1 Khi đó
1
( ) n
n n n
n n
u u u
u u − u ε −
− −
Vì d+ <ε 1, nên chuỗi có số hạng tổng quát 1
1
( ) n
d+ε − u hội tụ, do đó theo tiêu chuẩn so
sánh 1 chuỗi
1
n n
u
∞
=
∑ hội tụ
Nếu d >1, từ một số hạng nào đó trở đi n 1 1
n
u u
+ > do đó u n+1>u n, do đó số hạng tổng
quát không dần tới 0 khi n→ ∞ Vậy chuỗi số phân kỳ.
Chú ý: Trong trường hợp d=1 thì ta chưa có kết luận về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi
Chuỗi
1
1
n n
∞
=
∑ là một ví dụ cho trường hợp chuỗi số dương phân kỳ thỏa mãn d=1, và chuỗi
1
∞
Trang 6Ví dụ 4 Xét sự hội tụ của chuỗi
n n n
n n
∞
=
∑
3 !
n
n n
n
n
= > ∀
1 1
1
n
n n n
n
+ +
+
Vậy chuỗi đã cho hội tụ
2.4 Tiêu chuẩn Côsi
Cho chuỗi số dương
1
n n
u
∞
=
∑ Giả sử tồn tại limn
n
n u C
→∞ = Khi đó, nếu a) C<1, chuỗi hội tụ;
b) C>1, chuỗi phân kỳ;
c) C=1, chưa có kết luận gì về sự hội tụ của chuỗi
Ví dụ 5 Xét sự hội tụ của chuỗi
2
1
1 1
n
n n
∞
=
−
÷
∑
Ta có
2 1
n n
n
= − ÷ > ∀
1
( )
n n
n
n
−
−
= − ÷ = + ÷ = <
−
Vậy chuỗi đã cho hội tụ.
2.5 Dấu hiệu tích phân Côsi
Giả sử hàm số f(x) liên tục, dương, giảm trên khoảng [1,+ )∞ và dần tới 0 khi x→ +∞
Khi đó tích phân suy rộng
1
( )
f x dx
+∞
∫ và chuỗi
1
n n
u
∞
=
∑ , trong đó u n = f n( ), cùng hội tụ hoặc
cùng phân kỳ
Ví dụ 6 Xét sự hội tụ của chuỗi 2
2
1 ln
n n n
∞
=
∑
Xét hàm số 2
1 ( ) , [2,+ )
ln
f x x
x x
Ta thấy f(x) là hàm số liên tục, dương, giảm trên khoảng x∈ +∞[2, ) và dần tới 0 khi x→ +∞ Xét tích phân suy rộng
Trang 72 2
2
y
dx d x
f x dx
∞
−
Vậy tích phân suy rộng trên hội tụ Suy ra chuỗi đã cho hội tụ
Bài tập Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau
1)
2
1
(ln )n
n n
∞
=
∑
2 ( 1)
1
( !)
3n
n
n
∞
+
=
∑
3)
2
1
1
n n
∞
=
+
+ ÷
∑
2
1
( 1)
3
n n
n
n
n
∞
=
+
∑
1
1 ( 1)
n n n
∞
∑
6)
1
sin
3n n
π
∞
=
∑
7)
1
1
n
n n n
∞
=
∑
8)
1
1 arctan
n
∞
=
∑
9)
2 2 1
2 1
3
n
n
n
n n
∞
=
−
+ ÷
∑
10)
1
2
3 3 3
n n
n
n n
∞
=
+ + +
∑