Áp dụng mô hình toán học để giải bài toán quy hoạch cụ thể

Phân loại bài toán qui hoạch 1, Một bài toán qui hoạch được gọi là bài toán qui hoạch tuyến tính nếu hàm mục tiêu fX và tất cả... KHÁI NiỆM VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH2, Là bài toán qui hoạc

áp dụng các mô hình toán học để

giải bài toán qui hoạch

4.1 Khái niệm về bài toán qui hoạch

4.2 Qui hoạch tuyến tính

4.3 Qui hoạch phi tuyến

4.1 KHÁI NiỆM VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH

1 Bài toán qui hoạch tổng quát

2 Phân loại bài toán qui hoạch

4.1 KHÁI NiỆM VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH

1.Bài toán qui hoạch tổng quát

Xác định tập giá trị các biến: X = {x1, x2, … , xn}

Sao cho hàm f(X) → min /max (j=1,2,…n)

đồng thời thỏa mãn các điều kiện:

4.1 KHÁI NiỆM VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH

 Tập hợp

(i = 1…m; j = 1…n) gọi là miền ràng buộc.

 Mỗi điểm X = {x1, x2, … , xn}€ D gọi là 1 phương án (PA).

tiêu.

 Cụ thể: đối với bài toán min

đối với bài toán max được gọi là lời giải tối ưu.

 Khi đó giá trị f(X*) được gọi là giá trị tối ưu hóa của bài toán qui hoạch.

4.1 KHÁI NiỆM VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH

2 Phân loại bài toán qui hoạch

1, Một bài toán qui hoạch được gọi là bài toán qui

hoạch tuyến tính nếu hàm mục tiêu f(X) và tất cả

4.1 KHÁI NiỆM VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH

2, Là bài toán qui hoạch tham số nếu các hệ số trong biểu thức hàm mục tiêu và các ràng buộc phụ thuộc tham số

3, Là bài toán qui hoạch động nếu đối tượng xét là các quá trình có nhiều giai đoạn nói chung hay các quá trình phát triển theo thời gian nói riêng.

4, Là bài toán qui hoạch phi tuyến nếu như hoặc f(X) hoặc có ít nhất 1 trong các hàm gi(X) là phi tuyến.

5, Là bài toán qui hoạch rời rạc nếu miền ràng buộc D là tập rời rạc.

6, Là bài toán qui hoạch đa mục tiêu nếu trên cùng 1 miền ràng buộc ta xét đồng thời các hàm mục tiêu khác nhau.

4.2 QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

1 Vớ dụ về bài toỏn QHTT

Một nhà máy điện có thể dùng 4 loại than để sản xuất

điện Biết l ợng điện năng yêu cầu hàng năm của nhà máy

là A[MWh] Suất tiêu hao than của loại than thứ i là qi

[kg/MWh](i=1,2,3,4) Giá thành sản xuất điện năng của

loại than i là ci [đ/MWh](i=1,2,3,4) L ợng than loại i cung cấp hàng năm để sản xuất điện không đ ợc v ợt quá Qi ;

Tổng l ợng than của cả 4 loại cung cấp hàng năm để sản

xuất điện không đ ợc v ợt quá Q Cần xác định l ợng điện năng đ ợc sản xuất hàng năm từ từng loại than để đạt cực tiểu về chi phí sản xuất điện năng.

4.2 QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

Lêi gi¶i

Gäi l îng ®iÖn n¨ng ® îc s¶n xuÊt hµng n¨m tõ lo¹i than thø i

lµ xi[MWh]; i=1,2,3,4, th× bµi to¸n cã thÓ ® îc tr×nh bµy nh sau :

4.2 QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

4.2 QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

3 Bài toỏn vận tải

Bản chất của bài toán vận tải là tìm ph ơng án tối u để vận tải hàng hóa từ một số nơi phát đến một số nơi nhận Chỉ tiêu tối u ở đây th ờng là cực tiểu chi phí tổng về vận tải Bài toán có thể mô tả nh sau: có m địa điểm phát , với các l ợng hàng hoá t ơng ứng a1, a2, ., am và n

địa điểm nhận, với nhu cầu t ơng ứng b1, b2, , bn Cần xác định ph ơng án vận tải sao cho tổng chi phí là cực tiểu, khi biết giá thành c ớc phí đơn vị Cij vận tải trên đoạn

đ ờng từ nơi phát i đến nơi nhận j

Ký hiệu xij là số l ợng hàng cần vận tải từ nơi phát i đến nơi nhận j, khi đó điều kiện của bài toán vận tải đ ợc mô tả trong bảng

4.2 QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

N¬i ph¸t N¬i nhËn Dung l îng ai

B1 B2 Bn

X11

c12

4.2 QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

Bài toán vận tải được phát biểu dưới dạng toán học như sau:

với các ràng buộc:

và : xij ≥ 0 (i = 1,2, , m ; j = 1,2, , n )

- Ngoài ra trong trường hợp đơn giản thường giả thiết là tổng dung lượng hàng phát đi cân bằng với tổng dung lượng nơi nhận, nghĩa là:

4.2 QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

Ta xét ví dụ: Có hai nơi phát A1, A2 với các lượng hàng tương ứng a1 = 200; a2 = 300 và 3 nơi nhận với nhu cầu tương ứng b1 = 150; b2 = 250; b3 = 100 Cước phí vận tải

cij được ghi ở góc phải phía trên trong từng ngăn ở bảng sau:

4.2 QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

2 100

4.2 QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

4 Excel solver gi i b i toán QH ả à

Giao diện ExcelSolver

Các bước tính:

B1) Nạp số liệu, tính hàm f và các RB

* A4:F4 ghi chú tên các biến x1,…,x6;

A5:F5 ghi giá trị các biến ( bước đầu gán tùy chọn).

I11:I13 ghi giá trị các RB

H11:H13 tính giá trị VT các RB theo số liệu đã nạp, sử dụng hàm

=SUMPRODUCT($A$5:$F$5,A11:F11) cho H11

và kéo rê cho H12, H13.

Các bước tính:

B2)

4.3 QUI HOẠCH PHI TUYẾN

Chỉ cần hoặc f(X) hoặc có ít nhất 1 trong các hàm ràng

sẽ là bài toán qui hoạch phi tuyến Để giải bài toán qui hoạch phi tuyến người ta thường áp dụng một trong các phương pháp là tuyến tính hóa, đưa về bài toán qui hoạch phi tuyến không ràng buộc, giải trực tiếp, qui hoạch động,…

1 Phương pháp tuyến tính hóa

Đồng thời thỏa mãn các điều kiện:

đều là hàm phi tuyến.

(k ) (k ) (k )

i i (k ) ' (k ) (k )

Khai triển các hàm trên theo chuỗi Taylor và chỉ lấy đến hàm bậc nhất:

1 Phương pháp tuyến tính hóa

Các bước lặp của phương pháp

Bước 1: Chọn tập nghiệm ban đầu X(0)

+ Tính các giá trị f(X(0)), h(X(0)), g(X(0))

+ Lấy các đạo hàm f(X), h(X), g(X) theo các biến và tính giá trị của chúng theo X(0),f’(X(0)), h’(X(0)), g’(X(0))

+ Lập bài toán qui hoạch tuyến tính

Bước 2: Giải bài toán qui hoạch tuyến tính được X khác ban đầu

2 Đưa về qui hoạch phi tuyến không ràng buộc

1) Phương pháp Lagrange và định lý Kuhn-Tucker

Phương pháp Lagrange là phương pháp kinh điển giải bài toán qui hoạch phi tuyến khi các ràng buộc có dạng đẳng thức

và bất đẳng thức, để xác định cực trị có điều kiện (cực trị

vướng) của hàm nhiều biến và khi hàm đó liên tục cùng với đạo hàm riêng bậc nhất của nó.

A, Bài toán Lagrange dạng chính tắc

Trước hết ta xét bài toán dạng chính tắc:

2 Đưa về qui hoạch phi tuyến không ràng buộc

Đối ngẫu Lagrange ở đây là bài toán sau:

Xác định X = {x1, x2,…, xn} sao cho:

L(x1, x2,…, xn; λ1, λ2,…,λm) = f(x1, x2,…, xn)+ →min

Trong đó L là hàm Lagrange còn λ là nhân tử Lagrange Hệ phương trình Lagrange được thành lập trên cơ sở lấy đạo hàm riêng của hàm L theo xj

và λi và cho chúng bằng 0 như sau:

Nếu ở điểm hàm đạt cực trị thì tồn tại vecto sao cho điểm là lời

2 Đưa về qui hoạch phi tuyến không ràng buộc

B, Bài toán Lagrange dạng mở rộng

Đối với bài toán Lagrange mở rộng tức là trong hệ ràng buộc

có tồn tại cả các bất phương trình thì người ta thường dùng

phương pháp dựa trên định lí Kuhn-Tucker (định lí về điểm yên ngựa) gọi là phương pháp Lagrange mở rộng.

Chú ý: trong trường hợp cần làm max hàm f(X) ta nhân f(X)

2 Đưa về qui hoạch phi tuyến không ràng buộc

Bài toán Lagrange dạng mở rộng, hàm Lagrange có dạng:

hÕt ch ¬ng IV