Giao trinh co hoc ket cau 1

Nhiệm vụ của môn học: Nhiệm vụ chủ yếu của môn Cơ học kết cấu là xác định nội lực, biến dạng và chuyển vị trong công trình làm cơ sở để kiểm tra các điều kiện bền, cứng và ổn định.. Yêu

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA XÂY DỰNG DÂN DỤNG & CÔNG NGHIỆP

BỘ MÔN: KẾT CẤU CÔNG TRÌNH

BÀI GIẢNG:

CƠ HỌC KẾT CẤU 1 MECHANICS OF STRUCTURES

Đà Nẵng 2014

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU 1

1.1 Khái niệm môn học 1

1.2 Sơ đồ tính của công trình 2

1.3 Phân loại công trình 3

1.3.1 Phân loại theo sơ đồ tính 3

1.3.2 Phân loại theo phương pháp tính 5

1.3.3 Phân loại theo kích thước tương đối của các cấu kiện 6

1.4 Các nguyên nhân gây ra nội lực, biến dạng và chuyển vị 6

1.4.1 Tải trọng 6

1.4.2 Sự thay đổi nhiệt độ 7

1.4.3 Chuyển vị cưỡng bức các liên kết và chế tạo lắp ráp không chính xác 7

1.5 Các giả thiết, nguyên lý cộng tác dụng 7

1.5.1 Các giả thiết 7

1.5.2 Nguyên lý cộng tác dụng 7

CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH CẤU TẠO HÌNH HỌC HỆ THANH PHẲNG 9

2.1 Các khái niệm 9

2.1.1 Hệ bất biến hình (BBH) 9

2.1.2 Hệ biến hình (BH) 9

2.1.3 Hệ biến hình tức thời (BHTT) 10

2.1.4 Miếng cứng 10

2.1.5 Bậc tự do 10

2.2 Các loại liên kết và tính chất các liên kết 11

2.2.1 Liên kết đơn giản 11

2.2.2 Liên kết phức tạp 12

2.2.3 Liên kết nối các miếng cứng với trái đất 13

2.3 Cách nối các miếng cứng thành một hệ bất biến hình 14

2.3.1 Cách nối một điểm (mắt) vào một miếng cứng 14

2.3.2 Cách nối hai miếng cứng 14

2.3.3 Cách nối ba miếng cứng 15

2.3.4 Trường hợp tổng quát 16

2.3.5 Trường hợp riêng: Hệ dàn 17

CHƯƠNG 3: CÁCH XÁC ĐỊNH NỘI LỰC TRONG HỆ PHẲNG TĨNH ĐỊNH CHỊU TẢI TRỌNG BẤT ĐỘNG 20

3.1 Các khái niệm 20

3.1.1 Nội lực 20

3.1.2 Biểu đồ nội lực 22

3.2 Dầm, khung đơn giản 25

3.3 Hệ 3 khớp 28

3.4 Hệ ghép 38

3.5 Hệ có hệ thống truyền lực 40

3.6 Hệ dàn 42

3.6.1 Phân tích hệ 42

3.6.2 Phương pháp tách mắt 42

3.6.3 Phương pháp mặt cắt đơn giản 45

3.6.4 Phương pháp mặt cắt phối hợp 47

CHƯƠNG 4: CÁCH XÁC ĐỊNH NỘI LỰC TRONG HỆ PHẲNG TĨNH ĐỊNH CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG 49

4.1 Khái niệm về tải trọng di động và đường ảnh hưởng 49

4.1.1 Khái niệm về tải trọng di động 49

4.1.2 Định nghĩa và nguyên tắc vẽ đường ảnh hưởng 49

4.1.3 Ý nghĩa và thứ nguyên tung độ đường ảnh hưởng 51

4.2 Đường ảnh hưởng trong hệ dầm, khung đơn giản 52

4.2.1 Đường ảnh hưởng trong dầm đơn giản 52

4.2.2 Đường ảnh hưởng trong dầm console 54

4.2.3 Đường ảnh hưởng trong khung đơn giản 56

4.3 Đường ảnh hưởng trong hệ 3 khớp 56

4.3.1 Đường ảnh hưởng phản lực 56

4.3.2 Đường ảnh hưởng nội lực 57

4.3.3 Đường ảnh hưởng trong hệ có cấu tạo tương tự hệ ba khớp 61

4.4 Đường ảnh hưởng trong hệ ghép 62

4.5 Đường ảnh hưởng trong hệ có hệ thống truyền lực 63

4.6 Đường ảnh hưởng trong hệ dàn 64

4.6.1 Đường ảnh hưởng phản lực 64

4.6.2 Ðuờng ảnh huởng nội lực trong các thanh dàn 64

4.6.3 Các phương pháp khác 70

4.7 Cách xác định giá trị đại lượng nghiên cứu tương ứng với các dạng tải trọng khác nhau theo đường ảnh hưởng 70

4.7.1 Tải trọng tập trung 70

4.7.2 Tải trọng phân bố 70

4.7.3 Mômen tập trung 71

4.8 Cách sử dụng đường ảnh hưởng tìm vị trí bất lợi của đoàn tải trọng di động 73

4.8.1 Đường ảnh hưởng có dạng đường cong trơn tru một dấu 74

4.8.2 Đường ảnh hưởng đa giác một dấu 74

4.8.3 Đường ảnh hưởng tam giác 77

Khi dịch chuyển đoàn tải trọng về bên trái và bên phải thì thoả mãn điều kiện: 77

4.9 Tải trọng tương đương 78

CHƯƠNG 5: CÁCH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ THANH PHẲNG ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 80

5.1 Khái niệm về biến dạng và chuyển vị 80

5.1.1 Biến dạng 80

5.1.2 Chuyển vị 80

5.2 Cách xác định chuyển vị theo thế năng 82

5.2.1 Nguyên lý bảo toàn năng lượng 82

5.2.2 Công của ngoại lực 83

5.2.3 Công của nội lực – Thế năng của hệ thanh 83

5.2.4 Cách xác định chuyển vị theo thế năng 86

5.3 Công khả dĩ của hệ đàn hồi 87

5.3.1 Định nghĩa công khả dĩ 87

5.3.2 Công khả dĩ của ngoại lực 88

5.3.3 Công khả dĩ của nội lực 88

5.3.4 Nguyên lý công khả dĩ áp dụng cho hệ đàn hồi (S.D.Poison 1833) 90

5.4 Các định lý tương hỗ trong hệ đàn hồi tuyến tính 91

5.4.1 Định lý tương hỗ về công khả dĩ của ngoại lực (Định lý E.Betti): 91

5.4.2 Định lý tương hỗ về các chuyển vị đơn vị (Định lý J Maxwel) 92

5.4.3 Định lý tương hỗ về các phản lực đơn vị (Định lý L Rayleigh) 93

5.4.4 Định lý tương hỗ về chuyển vị đơn vị và phản lực đơn vị (Định lý A A Gvozdiev) 94

5.5 Công thức tổng quát xác định chuyển vị trong hệ đàn hồi tuyến tính (Công thức Maxwell – Morh) 95

5.6 Cách vận dụng công thức chuyển vị 96

5.6.1 Hệ dầm và khung chịu tải trọng 96

5.6.2 Hệ dàn chịu tải trọng 97

5.6.3 Hệ tĩnh định bất kỳ chịu chuyển vị cưỡng bức tại các gối tựa 98

5.6.4 Hệ tĩnh định bất kỳ chịu sự thay đổi nhiệt độ 99

5.6.5 Hệ dàn tĩnh định có chiều dài các thanh chế tạo không chính xác 100

5.7 Cách tính tích phân trong công thức xác định chuyển vị bằng phép nhân biểu đồ 101

5.8 Tìm chuyển vị tương đối giữa hai tiết diện của hệ 105

- Điều kiện về độ bền: Đảm bảo cho công trình không bị phá hoại dưới tác dụng của

các nguyên nhân bên ngoài

- Điều kiện về độ cứng: Đảm bảo cho công trình không có chuyển vị và rung động

vượt quá giới hạn cho phép nhằm đảm bảo sự làm việc bình thường của công trình

- Điều kiện về ổn định: Đảm bảo cho công trình có khả năng bảo toàn vị trí và hình

dạng ban đầu của nó dưới dạng cân bằng trong trạng thái biến dạng

Phạm vi nghiên cứu:

Cơ học kết cấu giống Sức bền vật liệu về nội dung nghiên cứu nhung phạm vi nghiên cứu thì khác nhau Sức bền vật liệu nghiên cứu cách tính độ bền, độ cứng và độ ổn dịnh của từng cấu kiện riêng biệt, trái lại Cơ học kết cấu nghiên cứu toàn bộ công trình gồm nhiều cấu kiện liên kết lại với nhau

Nhiệm vụ của môn học:

Nhiệm vụ chủ yếu của môn Cơ học kết cấu là xác định nội lực, biến dạng và chuyển vị

trong công trình làm cơ sở để kiểm tra các điều kiện bền, cứng và ổn định

Các bài toán môn học giải quyết:

Trong thực tế thường gặp hai dạng bài toán sau:

- Bài toán kiểm tra: Ở bài toán này, ta đã biết hình dạng, kích thước của công trình

và các nguyên nhân tác động Yêu cầu: kiểm tra các điều kiện trên về độ bền, độ cứng và ổn định của công trình có đảm bảo hay không? Và kiểm tra công trình thiết

kế có tiết kiệm nguyên vật liệu hay không?

- Bài toán thiết kế: Ở bài toán này, ta chỉ biết nguyên nhân tác động bên ngoài Yêu

cầu: Xác định hình dạng, kích thước của các cấu kiện trong công trình một cách hợp

lý để công trình đảm bảo các điều kiện về độ bền, độ cứng và ổn định

Để giải quyết bài toán này, người thiết kế thường dựa vào kinh nghiệm hoặc dùng

phương pháp thiết kế sơ bộ để giả thiết trước hình dạng, kích thước của các cấu kiện Sau

đó tiến hành giải bài toán kiểm tra như đã nói ở trên Trên cơ sở đó nguời thiết kế điều chỉnh lại giả thiết ban đầu của mình cho đến khi công trình đảm bảo các điều kiện độ bền,

độ cứng và ổn định, đồng thời tiết kiệm nguyên vật liệu

Vị trí của môn học:

Là môn học kỹ thuật cơ sở làm nền tảng cho các môn học kỹ thuật chuyên môn như: kết cấu bê tông, kết cấu thép, kết cấu gỗ, kết cấu gạch đá,

Giữ vai trò quan trọng đối với kỹ sư xây dựng làm công tác thiết kế cũng như thi công

1.2 Sơ đồ tính của công trình

Khái niệm:

Sơ đồ tính của công trình là hình ảnh đơn giản hóa mà vẫn đảm bảo phản ảnh được sát sự làm việc thực tế của công trình

Một số yếu tố ảnh hưởng đến việc lựa chọn sơ đồ tính:

- Tầm quan trọng của công trình

- Hình dạng, kích thước của công trình

- Tỷ lệ độ cứng của các cấu kiện

- Khả năng tính toán của người thiết kế

- Tải trọng và tính chất tác dụng của nó

Các bước chuyển công trình thực về sơ đồ tính tương ứng:

Bước 1: Đưa công trình thực về sơ đồ công trình:

- Thay các thanh bằng đường trục thanh.Thay các bản hoặc vỏ bằng các mặt trung gian

- Thay tiết diện bằng các đại lượng đặc trưng như: diện tích (F), mômen quán tính (J),

- Thay các thiết bị tựa bằng các liên kết lý tưởng

- Đưa các tải trọng tác dụng trên mặt cấu kiện về trục cấu kiện hay mặt trung bình của nó

Bước 2: Đưa sơ đồ công trình về sơ đồ tính của công trình:

- Nếu sơ đồ công trình đã phù hợp với khả năng và yêu cầu tính toán thì có thể chấp nhận làm sơ đồ tính mà không cần đơn giản hóa thêm (Hình 1.1)

- Nếu sơ đồ công trình chưa phù hợp với khả năng tính toán, ta loại bỏ thêm những yếu tố giữ vai trò thứ yếu trong sự làm việc của công trình để đưa về sơ đồ tính có thể tính được (Hình 1.2)

1.3 Phân loại công trình

1.3.1 Phân loại theo sơ đồ tính

Hệ phẳng: là hệ mà trục các cấu kiện và tất cả các loại lực tác động đều nằm trong cùng

một mặt phẳng

Các loại hệ phẳng:

Hệ không gian:các hệ không thoả mãn điều kiện trên gọi là hệ không gian

Các loại hệ không gian:

- Hệ dầm trực giao (Hình 1.8)

- Khung không gian (Hình 1.9)

- Dàn không gian (Hình 1.10)

- Kết cấu bản vỏ (Hình 1.11)

Hình 1.8 Dầm trực giao Hình 1.9 Khung không gian

Trong thực tế, các công trình xây dựng hầu hết đều là hệ không gian, song do tính toán hệ không gian thuờng phức tạp nên gần đúng có thể phân tích đưa về hệ phẳng để tính toán

1.3.2 Phân loại theo phương pháp tính

Dựa vào sự cần thiết hay không sử dụng điều kiện động học khi xác định toàn bộ nội lực trong hệ, ta có hai loại hệ:

- Hệ tĩnh định: là hệ chỉ cần dùng các phương trình cân bằng tĩnh học là đủ để xác

dịnh hết phản lực và nội lực trong hệ Ví dụ:các hệ trong Hình 1.3, Hình 1.4, Hình 1.5

- Hệ siêu tĩnh: là hệ mà nếu chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học không thôi

thì chưa đủ để xác định hết phản lực và nội lực trong hệ mà còn phải sử dụng thêm các điều kiện động học và điều kiện vật lý.Ví dụ:các hệ trong Hình 1.6, Hình 1.7 Dựa vào sự cần thiết hay không sử dụng điều kiện cân bằng khi xác định biến dạng, ta có hai loại hệ:

- Hệ xác định động: là loại hệ khi chịu chuyển vị cưỡng bức, có thể xác định biến

dạng của hệ chỉ bằng các điều kiện động học Ví dụ:hệ cho trên Hình 1.12

- Hệ siêu động: là loại hệ khi chịu chuyển vị cưỡng bức, nếu chỉ bằng các điều kiện

động học thì chưa thể xác định được biến dạng của hệ mà cần phải sử dụng thêm điều kiện cân bằng tĩnh học.Ví dụ:hệ cho trên Hình 1.13

Hình 1.12 Hệ xác định động Hình 1.13 Hệ siêu động

1.3.3 Phân loại theo kích thước tương đối của các cấu kiện

Tuỳ theo độ lớn của kích thước hình học của các cấu kiện người ta chia thành ba loại

- Thanh: nếu kích thước một phương khá lớn hơn hai phương còn lại

- Bản: nếu kích thước của hai phương khá lớn hơn phương còn lại

- Khối: nếu kích thước của ba phương gần bằng nhau

1.4 Các nguyên nhân gây ra nội lực, biến dạng và chuyển vị

1.4.1 Tải trọng

Tải trọng gây ra nội lực, biến dạng và chuyển vị trong công trình và được phân loại như sau:

Theo thời gian tác dụng:

- Tải trọng lâu dài: là những tải trọng tác dụng trong suất quá trình làm việc của công trình Ví dụ: trọng lượng bản thân của công trình,

- Tải trọng tạm thời: là những tải trọng chỉ tác dụng lên công trình trong từng thời gian ngắn so với toàn bộ thời gian làm việc của công trình Ví dụ: tải trọng gió, tải trọng do con người đi lại,…

- Tải trọng tác dụng động: là tải trọng khi tác dụng vào công trình có gây lực quán tính Ví dụ: áp lực gió, bão, động đất,…

1.4.2 Sự thay đổi nhiệt độ

Sự thay đổi nhiệt độ chỉ gây ra biến dạng và chuyển vị mà không gây ra nội lực trong hệ tĩnh định, còn đối với hệ siêu tĩnh thì gây ra đồng thời ba yếu tố trên

1.4.3 Chuyển vị cƣỡng bức các liên kết và chế tạo lắp ráp không chính xác

Tương tự trường hợp thay đổi nhiệt độ, các nguyên nhân này chỉ gây ra biến dạng và chuyển vị mà không gây ra nội lực trong hệ tĩnh định, còn đối với hệ siêu tĩnh thì gây ra đồng thời ba yếu tố trên

1.5 Các giả thiết, nguyên lý cộng tác dụng

1.5.1 Các giả thiết

Cơ học kết cấu cũng sử dụng các giả thiết như trong Sức bền vật liệu là:

- Giả thiết vật liệu đàn hồi tuyệt đối và tuân theo định luật Hooke, nghĩa là giữa biến dạng và nội lực có sự liên hệ tuyến tính

- Giả thiết biến dạng và chuyển vị trong hệ là rất nhỏ so với kích thước hình học ban đầu của nó Giả thiết này cho phép xác định nội lực theo sơ đồ kết cấu không có biến dạng và sử dụng các liên hệ gần đúng giữa các đại lượng hình học

Nhờ hai giả thiết này chúng ta có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính toán kết cấu

1.5.2 Nguyên lý cộng tác dụng

Phát biểu: Một đại luợng nghiên cứu nào đó (phản lực, nội lực, chuyển vị,…) do nhiều

nguyên nhân tác dụng đồng thời trên công trình gây ra, bằng tổng đại số (tổng hình học) của đại luợng dó do từng nguyên nhân tác dụng riêng rẽ gây ra

Biểu diễn ở dạng toán học:

gối tựa gây ra

Si: giá trị đại lượng S do riêng lực Pi gây ra

Si: giá trị của đại lượng S do Pi = 1 gây ra

CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH CẤU TẠO HÌNH HỌC HỆ THANH

PHẲNG

2.1 Các khái niệm

2.1.1 Hệ bất biến hình (BBH)

Định nghĩa: Hệ bất biến hình (BBH) là hệ khi chịu tải trọng vẫn giữ nguyên hình dạng

hình học ban đầu của nó nếu ta xem biến dạng đàn hồi của các cấu kiện là không đáng kể, hoặc xem các cấu kiện của hệ là tuyệt đối cứng

Tính chất: hệ BBH có khả năng chịu tải trọng, nội lực phát sinh trong hệ cân bằng với

ngoại lực Trừ một vài trường hợp đặc biệt, hầu hết các kết cấu trong xây dựng phải là hệ BBH

Ví dụ: hệ như trên Hình 2.1 là BBH vì duới tác dụng của tải trọng nếu xem các cấu kiện

là tuyệt đối cứng thì hệ vẫn giữ nguyên hình dạng hình học ban đầu của nó

2.1.2 Hệ biến hình (BH)

Định nghĩa: Hệ biến hình (BH) là hệ khi chịu tải trọng sẽ bị thay đổi hình dạng hình học

ban đầu một luợng hữu hạn, dù ta xem các cấu kiện của hệ là tuyệt đối cứng

Tính chất: Nói chung hệ biến hình không có khả năng chịu tải trọng, do đó trong các kết

cấu công trình nguời ta không dùng hệ biến hình Trong thực tế hệ biến hình chỉ được dùng khi tải trọng tác dụng có thể làm cho hệ nằm trong trạng thái cân bằng như hệ dây

xích ở Hình 2.3

Ví dụ: Hệ trên Hình 2.2 là hệ biến hình vì duới tác dụng của tải trọng hệ có thể thay đổi

hình dạng hình học ban đầu và có thể bị sụp đổ theo đường đứt nét, mặc dù ta xem các thanh là tuyệt đối cứng

2.1.3 Hệ biến hình tức thời (BHTT)

Định nghĩa: Hệ biến hình tức thời (BHTT) là hệ khi chịu tải trọng sẽ bị thay đổi hình

dạng hình học một luợng vô cùng bé, mặc dù ta xem các cấu kiện của hệ là tuyệt đối cứng

Tính chất: Hệ BHTT cũng không được sử dụng trong thực tế, vì nội lực phát sinh quá

lớn sẽ gây bất lợi cho công trình

Ví dụ: Hệ trên Hình 2.4 là một ví dụ đơn giản về hệ BHTT, vì dù coi thanh AC và BC là

tuyệt đối cứng, điểm C vẫn dịch chuyển một đoạn vô cùng bé về C’ trên tiếp tuyến chung (có phương thẳng đứng) của hai cung tròn tâm A và B, bán kính AC và BC tiếp xúc với nhau tại C Sau khi dịch chuyển về C’ hai cung tròn bán kính AC’ và BC’ cắt nhau tại C’

hệ không còn dịch chuyển được nữa, lúc này hệ trở nên bất biến hình

Ðối với một hệ trục tọa độ bất động trong mặt phẳng, một điểm có hai bậc tự do là hai chuyển động tịnh tiến theo hai phương (Hình 2.6a), còn một miếng cứng có ba bậc tự do

là hai chuyển động tịnh tiến theo hai phương và một chuyển động quay quanh giao điểm của hai phương đó (Hình 2.6b)

2.2 Các loại liên kết và tính chất các liên kết

2.2.1 Liên kết đơn giản

1 Liên kết thanh (liên kết loại một)

Cấu tạo: là một thanh có khớp lý tuởng ở hai dầu dùng để nối hai miếng cứng với nhau

Hình 2.7 Liên kết thanh

2 Liên kết khớp (liên kết loại hai)

Cấu tạo: cấu tạo liên kết khớp như Hình 2.8a

3 Liên kết hàn (liên kết loại ba)

Cấu tạo:dùng mối hàn gắn chặt hai miếng cứng như Hình 2.9a

Độ phức tạp của liên kết phức tạp: là số liên kết đơn giản cùng loại tương đương với liên

kết phức tạp đó

Công thức xác định độ phức tạp:

Trong đó: p – độ phức tạp của liên kết phức tạp,

D - số miếng cứng quy tụ vào liên kết phức tạp

Hình 2.10

Ví dụ: Liên kết phức tạp trên Hình 2.10a có độ phức tạp là p = 3 - 1 = 2; liên kết phức tạp trên Hình 2.10b có độ phức tạp là p = 4 – 1 = 3

2.2.3 Liên kết nối các miếng cứng với trái đất

Liên kết nối các miếng cứng với trái đất còn được gọi là liên kết tựa, chúng bao gồm: gối

Liên kết tựa ngăn cản chuyển vị theo phương nào sẽ phát sinh phản lực theo phương của chuyển vị đó

2.3 Cách nối các miếng cứng thành một hệ bất biến hình

Ðể nối các miếng cứng ta phải dùng các liên kết, vấn đề đặt ra là: Muốn nối một số lượng xác định các miếng cứng thành hệ bất biến hình thì cần sử dụng bao nhiêu liên kết (điều kiện cần) và phải xắp xếp các liên kết đó như thế nào để bảo đảm cho hệ thu được là bất biến hình (điều kiện đủ) Như vậy:

- Điều kiện cần: biểu thị mối quan hệ về số lượng giữa các miếng cứng với số lượng các liên kết trong hệ đang xét

- Điều kiện đủ: các liên kết cần bố trí một cách hợp lý để khử hết số bậc tự do của hệ

2.3.1 Cách nối một điểm (mắt) vào một miếng cứng

1 Điều kiện cần

Điều kiện cần để nối một điểm vào miếng cứng cần phải khử hai bậc tự do của nó, nghĩa

là cần dùng hai liên kết thanh

2 Điều kiện đủ

Điều kiện đủ: hai liên kết thanh không được thẳng hàng

Hai liên kết thanh không thẳng hàng này gọi là bộ đôi (Hình 2.11a)

Tính chất của bộ đôi: bộ đôi không làm thay đổi tính chất động học của hệ

Ta có thể vận dụng bộ đôi để phát triển hoặc mở rộng miếng cứng nhỏ thành miếng cứng lớn hơn nhằm đưa hệ gồm nhiều miếng cứng về hệ có ít miếng cứng hơn để khảo sát cho

tự do của nó, nghĩa là cần sử dụng một trong các tổ hợp các liên kết:

- Ba liên kết thanh (Hình 2.12a)

- Một liên kết thanh và một liên kết khớp (Hình 2.12b)

Nếu ba miếng cứng được nối từng cặp hai miếng cứng với nhau bằng một khớp hoặc hai thanh như trên Hình 2.13b, c ta phải dùng điều kiện nối ba miếng cứng như sau: ba khớp thực hoặc giả tạo tương hỗ (giao điểm của hai thanh nối từng cặp miếng cứng) không được nằm trên cùng một đường thẳng (Hình 2.13f)

Gọi n là hiệu số giữa số bậc tự do có thể khử được (khả năng) và số bậc tự do cần khử (yêu cầu) ta có :

Có thể xảy ra ba truờng hợp :

- n < 0 : Hệ thiếu liên kết nên là hệ biến hình

- n = 0 : Hệ đủ liên kết Ðể biết hệ có bất biến hình hay không ta cần phải xét thêm điều kiện đủ Nếu hệ BBH thì gọi là hệ tĩnh định

- n > 0 : Hệ thừa liên kết Ðể biết hệ có bất biến hình hay không ta cần phải xét thêm điều kiện đủ Nếu hệ BBH thì gọi là hệ siêu tĩnh

Như vậy điều kiện cần trong truờng hợp hệ bất kỳ là:

b) Hệ bất kỳ nối đất

Giả sử trong hệ có D miếng cứng (không kể trái đất) nối với nhau bằng T liên kết thanh,

K liên kết khớp, H liên kết hàn (đã quy ra liên kết đơn giản) và nối với trái dất bằng liên kết tựa tương đương C liên kết thanh

Lấy trái đất làm miếng cứng bất động rồi xét mối quan hệ giữa khả năng và yêu cầu ta có:

- Yêu cầu: Cần phải khử 3D bậc tự do

- Khả năng: Các liên kết có thể khử được tối đa T + 2K + 3H + C bậc tự do

Vậy điều kiện cần cho trường hợp hệ nối đất là:

a) Hệ dàn không nối đất b) Hệ dàn nối đất c) Không phải hệ dàn

Hình 2.14

1 Điều kiện cần

Ðối với hệ dàn ta cũng có thể sử dụng công thức (2.3) hoặc (2.4) để khảo sát điều kiện cần, song cần lưu ý trong hệ dàn các liên kết khớp thường là khớp phức tạp nên cần phải quy đổi ra liên kết đơn giản nên dễ dẫn dến nhầm lẫn Ðể đơn giản cho việc khảo sát, ta

sẽ thiết lập điều kiện cần áp dụng riêng cho hệ dàn, trong đó không cần quan tâm đến độ phức tạp của các liên kết khớp trong dàn

a) Trường hợp hệ dàn không nối đất

Xét hệ dàn có D thanh và M mắt Giả sử lấy một thanh nào đó làm miếng cứng bất động Như vậy hệ còn lại D - 1 thanh và M - 2 mắt cần nối vào miếng cứng bất động.Ta có:

- Yêu cầu: Cần phải khử 2(M - 2) bậc tự do

- Khả năng: Hệ còn lại (D - 1) thanh tương đương với liên kết loại một nên có thể khử được tối đa (D - 1) bậc tự do

Vậy điều kiện cần cho truờng hợp hệ dàn không nối đất là:

Hay

b) Trường hợp hệ dàn nối đất

- Giả sử trong hệ dàn có D thanh và M mắt nối với đất bằng liên kết tựa tương đương

C liên kết thanh Ta khảo sát điều kiện cần như sau: Chọn trái đất làm miếng cứng bất động, nhu vậy ta cần phải nối M mắt vào trái đất bằng D thanh và C liên kết tựa

Ta có:

- Yêu cầu: Cần phải khử 2M bậc tự do

- Khả năng: Các liên kết có trong hệ có thể khử được tối đa D + C bậc tự do

Vậy điều kiện cần cho truờng hợp hệ dàn nối dất là :

n = D + C - 2M ≥ 0 (2.7)

2 Điều kiện đủ

Như trong trường hợp tổng quát

CHƯƠNG 3: CÁCH XÁC ĐỊNH NỘI LỰC TRONG HỆ PHẲNG

Nội lực phát sinh trong hệ tĩnh định chỉ do tải trọng gây ra, và chỉ phụ thuộc vào sơ đồ hình học của kết cấu, mà không phụ thuộc vật liệu, kích thuớc và hình dạng tiết diện ngang của thanh

2 Các thành phần nội lực và quy ước dấu

a) Các thành phần nội lực

- Mômen uốn; ký hiệu M

- Lực cắt; ký hiệu Q

- Lực dọc; ý hiệu N

b) Quy ước dấu

Dấu của mômen uốn, lực cắt, lực dọc được quy ước như sau (Hình 3.1):

- Mômen uốn xem là dương khi nó làm căng thớ dưới và ngược lại (Hình 3.1a, b)

- Lực cắt xem là dương khi nó làm cho phần hệ xoay thuận chiều kim đồng hồ và ngược lại (Hình 3.1c, d)

- Lực dọc xem là dương khi nó gây kéo và ngược lại (Hình 3.1e, f)

- Quy ước chọn vị trí ngưới đứng quan sát có hướng nhìn từ dưới lên đối với thanh ngang; từ phải sang trái đối với thanh đứng và thanh xiên khi xét dấu nội lực

M > 0 làm dầm căng thớ dưới M > 0 làm dầm căng thớ trên

Nội lực (phản lực) được xác định bằng phương pháp mặt cắt

Các bước tiến hành như sau:

- Bước 1: Thực hiện các mặt cắt qua các liên kết cần xác định phản lực, hoặc qua các tiết diện cần tìm nội lực Mỗi mặt cắt phải chia hệ thành hai phần riêng biệt

- Bước 2: Xét cân bằng một phần nào đó Thay thế tác dụng của phần bị loại bỏ bằng phản lực liên kết tương ứng (hoặc các thành phần nội lực tại tiết diện bị cắt), các đại lượng chưa biết này có thể giả thiết hướng theo chiều dương quy uớc

- Bước 3: Lập các phương trình cân bằng tĩnh học cho phần hệ đang xét, ví dụ:

o X = 0; Y = 0; MA = 0 (các trục chiếu X, Y không được song song với nhau);

o X = 0; MA = 0; MB= 0 (A và B không được nằm trên đường thẳng vuông góc với trục X);

o MA = 0; MB = 0; MC = 0 (A, B và C không được nằm trên cùng một đường thẳng);

Trong quá trình thiết lập các phương trình cân bằng cần viết sao cho mỗi phương trình có chứa số ẩn ít nhất (thuờng một ẩn)

- Bước 4: Giải hệ phương trình trên ta xác định được các thành phần phản lực (nội lực) cần tìm Kết quả mang dấu dương thì chiều của phản lực (nội lực) đúng với chiều giả thiết, còn kết quả mang dấu âm thì nguợc với chiều giả thiết

Ví dụ 3.1: Xác định nội lực tại tiết diện K của khung cho trên Hình 3.2

Dùng mặt cắt a-a đi qua K chia hệ thành hai phần độc lập, xét cân bằng bên trái K:

2 Các thành phần và quy ƣớc khi vẽ biểu đồ nội lực

a) Các thành phần của biểu đồ nội lực:

- Đường chuẩn: là hệ trục dùng để dựng các tung độ;

- Tung độ: tung độ của biểu đồ nội lực tại một vị trí nào đó là biểu thị cho nội lực tại tiết diện tương ứng;

- Đường biểu đồ: là đường nối các tung độ

b) Các quy ước khi vẽ biểu đồ nội lực:

- Đường chuẩn: thường chọn là đường trục thanh;

- Tung độ phải dựng vuông góc với đường chuẩn;

- Biểu đồ mômen: tung độ dương dựng về phía dưới, tung độ âm dựng lên trên đường chuẩn Điều này có nghĩa là tung độ dựng về phía thớ căng;

- Biểu đồ lực cắt: tung độ dương dựng lên trên đường chuẩn và ngược lại;

- Biểu đồ lực dọc: tung độ dương thường dựng lên trên dường chuẩn và ngược lại;

- Ghi ký hiệu ,  vào miền dương, âm của biểu đồ lực cắt và lực dọc;

- Ghi tên và đơn vị trên các biểu đồ đã vẽ được

3 Các bước vẽ biểu đồ nội lực

a) Các bước vẽ biểu đồ nội lực

- Bước 1: Xác định các thành phần phản lực (nếu cần)

- Bước 2: Xác định nội lực tại các tiết diện đặc trưng

o Tiết diện đặc trưng: là những tiết diện chia hệ thành những đoạn thanh thẳng sao cho trên đoạn thanh đó hoặc là không chịu tải trọng hoặc là chỉ chịu tải trọng phân bố liên tục

o Xác định nội lực:

 Mômen uốn tại tiết diện k (Mk): có giá trị được xác định bằng tổng mômen của lực tác dụng lên phần hệ giữ lại lấy đối với trọng tâm tiết diện k

 Lực cắt tại tiết diện k (Qk): có giá trị được xác định bằng tổng hình chiếu của các tải trọng tác dụng lên phần hệ được giữa lại lên phương vuông góc với tiếp tuyến trục thanh tại tiết diện k (phương của Qk)

 Lực dọc tại tiết diện k (Nk): có giá trị được xác định bằng tổng hình chiếu của các tải trọng tác dụng lên phân hệ được giữ lại lên phương tiếp tuyến với trục thanh tại tiết diện k (phương của Nk)

- Bước 3: Sử dụng các liên hệ vi phân giữa tải trọng và nội lực để xác định dạng của

biểu đồ nội lực trên từng đoạn thanh trong đó tải trọng tác dụng là liên tục để vẽ nhanh biểu đồ nội lực Cách vẽ nhanh biểu đồ nội lực cho các đoạn này như sau:

o Với đoạn thanh không có tải trọng tác dụng trên thanh: nối hai giá trị nội lực tại hai đầu thanh lại bằng đường thẳng

o Với đoạn thanh có tải trọng phải trọng phân bố liên tục: nối tạm thời hai giá trị

nội lực tại hai đầu thanh bằng đường thẳng, sau đó “treo” biểu đồ cục bộ do tải trọng tác dụng trong thanh khi xem đoạn thanh đó là dầm đơn giản (các tung

độ f f Q f

- Bước 4: Kiểm tra lại kết quả

b) Các liên hệ vi phân để vẽ biểu đồ nội lực

Giữa cường độ tải trọng phân bố tiếp tuyến với lực dọc:

dN q

ds dM Q

2 1

- Dầm đơn giản hai đầu khớp (Hình 3.4a)

- Dầm đơn giản có đầu thừa (Hình 3.4b)

- Dầm công xơn (Hình 3.4c)

Hình 3.4 Dầm đơn giản

b) Khung đơn giản

Khung đơn giản là hệ gồm một thanh gãy khúc nối với trái đất bằng các liên kết tương đương ba liên kết loại một tạo thành hệ BBH

2 Xác định các thành phần phản lực

Trong hệ dầm đơn giản tồn lại ba thành phần phản lực Cách xác định đã được trình bày trong phần xác định phản lực Để thiết lập sao cho trong mỗi phương trình chỉ có một ẩn

số, ta thực hiện như sau:

- Nếu hai ẩn còn lại đồng quy tại một điểm I, phương trình cần thiết lập là tổng mômen toàn hệ đối với điểm I bằng không (MI = 0)

- Nếu hai ẩn còn lại song song nhau, phương trình cần thiết lập là tổng hình chiếu toàn hệ lên phương vuông góc phương hai ẩn song song bằng không (Z = 0, Z có phương vuông góc với phương hai ẩn song song)

- Nếu hai ẩn còn lại là một lực và một mômen, phương trình cần thiết lập là tổng hình chiếu lên phương vuông góc của ẩn lực bằng không (Z = 0, Z có phương vuông góc với phương ẩn lực)

3 Xác định và vẽ các biểu đồ nội lực

Như đã trình bày ở phần trên

Ví dụ 3.2: Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm như Hình 3.5

- Tại A: 7 2

; 4

- Biểu đồ mômen (M):

o Trên đoạn BC có q phân bố đều nên có tung độ treo:

2

.8

b) Phân loại của hệ ba khớp

Tuỳ theo sự cấu tạo của hai miếng cứng, hệ ba khớp được phân ra:

- Vòm ba khớp: khi các miếng cứng là thanh cong (Hình 3.7a);

- Khung ba khớp: khi các miếng cứng là các thanh gãy khúc (Hình 3.7b);

- Dàn ba khớp: khi các miếng cứng là các dàn phẳng (Hình 3.7c);

- Hệ ba khớp có thanh căng: Hệ gồm hai miếng cứng nối với nhau bằng một khớp và một thanh căng, tiếp đó nối với trái đất bằng một gối cố định và một gối di động để tạo thành hệ BBH (Hình 3.7d) Thanh căng có tác dụng tiếp nhận lực xô ngang

Hình 3.7 Hệ ba khớp c) Tính chất của hệ ba khớp

- Trong hệ luôn tồn tại thành phần phản lực nằm ngang ngay cả khi tải trọng chỉ tác dụng theo phương thẳng đứng

- Nội lực trong hệ ba khớp (mômen uốn và lực cắt) nói chung là nhỏ hơn trong hệ đơn giản cùng nhịp, cùng chịu tải trọng

d) Ưu nhược điểm của hệ ba khớp

- Ưu điểm:

o Tiết kiệm vật liệu;

o Có thể vượt qua được những nhịp lớn;

Hình 3.8 a) Phân tích theo phương AB và phương thẳng đứng

- MtrC là tổng mômen của các lực tác dụng lên phần hệ bên trái C, không kể ZA

- h: khoảng cách từ khớp C đến đường nối AB

Trong biểu thức xác định tr

C

M , các ngoại lực làm cho phần hệ xoay thuận chiều kim đồng

hồ quanh C lấy dấu dương

Tương tự, xét cân bằng mômen cho phần hệ bên phải C, ta có:

Từ quan hệ hình học trên hình vẽ, ta có: HA = ZA.cos; HB = ZB.cos

Trong trường hợp tải trọng tác dụng theo phương đứng, dễ thấy H A = HB = H, nên ZA =

cho vòm ba khớp khi vòm chỉ chịu tải trọng thẳng đứng như Hình 3.9

Hình 3.9 a) Biểu thức mômen uốn (M k )

Giả sử cần xác định mômen uốn tại tiết diện k có hoành độ z của vòm ba khớp chịu tải trọng thẳng đứng như trên

Thực hiện mặt cắt qua k, xét cân bằng phần bên trái, ta có:

diện của vòm đều bằng không, lúc này trong vòm chỉ chịu nén mà hoàn toàn không chịu uốn nên không những tiết kiệm vật liệu mà còn có thể sử dụng được những vật liệu chỉ chịu được nén như gạch, đá

b) Biểu thức lực cắt (Q k )

Tương tự như trên nhưng đi thiết lập biểu thức lực cắt tại tiết diện k có hoành độ z bằng phương trình hình chiếu lên phương vuông góc với tiếp tuyến trục vòm tại tiết diện k, ta có:

Qk = Q k d.cosk - H.(sink - tg.cosk) (3.2)

Trong đó:

- Qk: lực cắt trong vòm tại tiết diện k;

- Q k d : lực cắt tại tiết diện k tương ứng trong dầm đơn giản có cùng nhịp và cùng chịu tải trọng thẳng đứng như trong vòm;

- k: góc hợp bởi tiếp tuyến với trục vòm tại tiết diện k với phương ngang;

- : góc hợp giữa phương nằm ngang với phương AB nối liền hai gối

Q sink - H.(cosk + tg.sink) (3.3)

Khi gối A, B cùng cao độ (nghĩa là  = 0), thì

Các số liệu bài toán:

- Tung độ yk tương ứng với hoành độ zk=3m:

1

k k

k

k

k

tg tg

Tính nội lực tại tiết diện k:

Do  = 0 nên sử dụng các công thức (3.4) để tính các nội lực