Vẽ đồ thị hàm số với giá trị vừa tìm đợc ở câu a.. Gọi giao điểm của đồ thị hàm số 1 với trục Ox là B; giao điểm của đờng thẳng hạ từ A vuông góc với Ox là C.. Kẻ dây cung BD vuông góc v
Trang 1Đề bài.
Bài 1(3đ) Cho biểu thức: A =
+ +
−
+ +
3 3 27
3 3
3
3
3
x x
x x
a Rút gọn A
b Tính giá trị của A khi x = 3 +2010
Bài 2(3đ) Cho hàm số y = 3x +2m-1 (1)
a Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(1; 5)
b Vẽ đồ thị hàm số với giá trị vừa tìm đợc ở câu a Gọi giao điểm của đồ thị hàm số (1) với trục Ox là B; giao điểm của đờng thẳng hạ từ A vuông góc với Ox là C Tính diện tích tam giác ABC?
Bài 3(2) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn
2010 2009
2008
z y
Chứng minh rằng: z – x =2 (x−y)(y−z)
Bài 4(2.5) Cho x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x3 + y3 + xy
Bài 5(2.5) Cho a, b>0 Chứng minh rằng: a b
b
a a
b2 + 2 ≥ +
Bài 6(3) Cho tam giác vuông ABC ( Bˆ = 900, BC > BA) nội tiếp đờng tròn đờng kính AC Kẻ dây cung BD vuông góc với đờng kính AC Gọi H là giao điểm của AC và BD Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với
A qua H Đờng tròn đờng kính EC cắt cạnh BC tại I ( I khác C) Chứng minh rằng:
a CI.CA = CB.CE
b HI là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính EC
Bài 7(4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (0; R) Đờng cao AK cắt đờng tròn (0) tại D; AN là đờng kính của đờng tròn (0)
a Chứng minh: BD = CN
b Tính độ dài AC theo R và α Biết ∠ABC = α
c Gọi H, G lần lợt là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC
Chứng minh rằng H; G; O thẳng hàng
Giải
chấm 1(3đ)
a.(2đ) A =
+ +
−
+ +
3 3 27
3 3
3
3
3
x x
x
+ +
−
+ +
x x x
x x
x
3 3 )
3 3 )(
3 (
3 3
3
2 2
=
+ +
−
+
−
x
x x x
x x
x
3
3 3 )
3 3 )(
3 (
3 3 ) 3
1
−
=
x
b.(1đ) Thay x = 3 +2010 vào A ta có: A
3
1
−
=
1 3 2010 3
1
=
− +
=
0.5 0.5 0.5 0.5 1.0
2(3đ) Cho hàm số y = 3x +2m-1 (1)
a Vì đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(1; 5) Thay x = 1; y = 5 vào (1) ta có: 5 = 3 + 2m – 1 <=> m =
2
3
b - Học sinh vẽ đợc đồ thị đúng
- Học sinh lập luận lôgic:
- Tính đợc SABC=
2
1BC.AC =
2
1 3
5 5 =
6
25(đvdt)
0.5 0.5 1.0 0.5 0.5
3(2đ)
Cho các số thực x, y , z thỏa mãn
2010 2009
2008
z y
áp dụng dãy tỷ số bằng nhau ta có:
2010 2009
2008
z y
x
=
2008 2010
2010 2009
2009
−
=
−
−
=
−
0.25
Trang 2=
2 1
1
x z z y y
−
−
=
−
2 ( ) )(
(x−y y−z = z−x => 4(x-y)(y-z) = (z – x)2 => (z – x) = 2 (x-y)(y-z)
0.5 0.5 0.5
4(2.5đ) Cho x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x3 + y3 + xy
Ta có: B = x3 + y3 + xy = (x + y)( x2 – xy + y2) + xy
= (x + y)[ (x + y)2 – 3xy] + xy
Thay x + y = 1 ta có: B = 1 – 2xy
Từ x + y = 1 => y = 1 – x thay vào B ta có:
B =1 – 2x(1-x) = 2x2 – 2x + 1 = 2(x
-2
1)2 + 2
1
≥ 2 1
Do đó Min B =
2
1 khi x = y =
2 1
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5
5(2.5đ)
Cho a, b>0 Chứng minh rằng: a b
b
a a
b2 + 2 ≥ +
b
a a
b
a a a
b
= ( a
a
b
− a ) + ( b
b
a
− b )= a (
a
b -1) + b (
b
a -1)
=
a
a
b− +
b
b
a− =
ab
b a b a b
ab
b a b
=
=
ab
b a b
( − 2 + ≥ 0 với mọi a, b > 0
b
a a
b2 + 2 ≥ + với mọi a, b > 0 là đúng
0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25
6(3đ)
a.(1.5đ) Chứng minh: CI.CA = CB.CE
Học sinh lập luận đợc: ∠ABC = ∠EIC = 900
Xét hai tam giác: ABC và EIC
Có : ∠ABC = ∠EIC (c/m trên); Góc C chung
Do đó : ABC đồng dạng EIC (g.g)=>
CE
AC IC
BC =
=> CI.CA = CB.CE (Đpcm)
b.(1.5đ) Chứng HI là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính EC
Ta có: ∠HCB + ∠CBH = 900
∠IDB +∠IBD = 900
Lập luận đợc: ∠HCB = ∠
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25