Kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt các cạnh góc vuông AB và AC tại M và N.. Lấy điểm I cố định trên tia phân giác Ot của góc xOy làm tâm vẽ đường tròn sao cho nó cắt Ox tại A, Oy t
Trang 1Bài tập nâng cao hình học 9 Bài tập nõng cao chương I Baứi 1: a) Tỡm x vaứ y trong moói hỡnh beõn
(a) (b)
b) Tỡm x, y, z trong hỡnh c
(c) Baứi 2:
1 Cho tam giaực DEF coự ED = 7 cm, D 40 , F 58à = 0 $= 0 Keỷ ủửụứng cao EI cuỷa tam giaực ủoự Haừy tớnh:
2 Giaỷi tam giaực vuoõng ABC, bieỏt raống A 90 à = 0, AB = 5, BC = 7
3 Haừy tớnh caực goực nhoùn cuỷa moọt tam giaực vuoõng, bieỏt tổ soỏ hai caùnh goực vuoõng laứ 13 :
21
Baứi 3: Cho tam giaực ABD vuoõng taùi B, AB = 6 cm, BD = 8 cm Treõn caùnh BD laỏy ủieồm C
sao cho BC = 3 cm Tửứ D keỷ Dx // AB, noự caột ủửụứng thaỳng AC taùi E
a) Tớnh AD
b) Tớnh caực goực BAD, BAC Tửứ caực keỏt quaỷ ủoự, coự theồ keỏt luaọn raống Ac laứ tia phaõn giaực cuỷa goực BAD khoõng ?
c) Chửựng minh tam giaực ADE caõn taùi D
d) Chửựng minh AC laứ tia phaõn giaực cuỷa goực BAD
Baứi 4: Cho hỡnh vuoõng ABCD, caùnh AB = 1 ủụn vũ ủoọ daứi Goùi I, J laàn lửụùt laứ trung ủieồm
cuỷa AB, AD
a) Tớnh dieọn tớch hỡnh caựnh dieàu AICJ baống caực caựch khaực nhau
b) Tớnh sinICJ
Baứi 5: Cho hỡnh thang caõn ABCD (AB // CD) ủửụứng cao AH, AB = 8 cm, CD = 12 cm, AD
= 10 cm
a) Tớnh AH
b) Tớnh soỏ ủo goực ADC, suy ra soỏ ủo goực ABC
c) Tớnh AC Vỡ sao ta khoõng coự heọ thửực 2 2 2
AD +AC = AH
Bài 6 Cho hình thang ABCD vuông tại B và C, AC ⊥ AD Biết àD= 580, AC = 8
a) Tính độ dài các cạnh AD, BC
b) Chứng minh AC2 = AB.DC
Baứi 9: Cho ABC coự à 0
A 60 = Keỷ BH ⊥ AC vaứ CK ⊥ AB
a) chửựng minh KH = BC.CosA
b) Trung ủieồm cuỷa BC laứ M Chửựng minh MKH laứ tam giaực ủeàu
Baứi 7 Cho ABC coự àA laứ goực nhoùn Chửựng minh dieọn tớch cuỷa tam giaực ủoự laứ S=12
AB.AC.sinA Aựp duùng: a) Tớnh S (ABC) bieỏt AB = 4 cm, AC = 7 cm vaứ A à = 60 0
b) Bieỏt S (ABC) = 5 2 (cm2), AB = 4 cm, AC = 5 cm Tớnh soỏ ủo cuỷa àA
5 4
z y x
25 9
x
10
8 x y
Trang 2Bài 8: Cho ABC có 3 góc nhọn, các cạnh đối diện với các góc A , B, Cµ µ µ theo thứ tự là a,
b, c Chứng minh: sin Aa =sin Bb =sin Cc
Bài 9: Tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 6 cm, µA= 1200 Kẻ đường phân giác AD của
µA Tính độ dài của AD
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD ( ACD 90 · < 0)
a) Chứng minh : AD 2 = CD 2 + CA 2 - 2CD.CA.cos ACD ·
b) Nếu CD = 6 cm, CA = 4 cm, cos ACD· 1
3
= thì tứ giác ABCD là hình gì? Tính diện tích của tứ giác đó
Bài 11: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC; µA< 900 ) Kẻ BK ⊥ AC
a) Chứng minh : Aµ =2.KBC·
b) Chứng minh : sin A 2.sinA.cosA
c) Biết sin KBC· 2
3
= , tính sinA
Bài 12: Cho tam giác vuông ABC ( µB= 900 ) Lấy điểm M trên cạnh AC Kẻ AH ⊥ BM,
CK ⊥ BM
a) Chứng minh : CK=BH.tgBAC·
b) Chứng minh : MC BH.tg BAC2·
Bài 13: Cho ABC có µA= 600 Kẻ BH ⊥ AC và CK ⊥ AB
a) Chứng minh : KH = BC.cosA
b) Trung điểm của BC là M Chứng minh MKH là tam giác đều
Bài 14: Cho tam giác ABC có BC = a ACB · = 45 0 Về phía ngoài của ABC, vẽ các hình vuông ABDE và ACFG Giao điểm các đường chéo của hai hình vuông là Q và N Trung điểm của BC và EG là M và P
a) Chứng minh AEC = ABG
b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông
c) Biết ·BGC a= Tính diện tích hình vuông MNPQ theo a và a
Bài 15: Cho hình chữ nhật MNPQ có 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh của hình thoi ABCD ( M ∈
AB, N ∈ BC, P ∈ CD, Q ∈ DA ) Các cạnh hình chữ nhật song song với các đường chéo của hình thoi Biết AB = 7 cm tgBAC· =0,75
a) Tính diện tích hình thoi ABCD
b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó
Bài 16: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD Kẻ CH ⊥ AD và
CK ⊥ AB
a) Chứng minh CKH ~ BCA
b) Chứng minh HK=AC.sin BAD·
c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD · = 60 0, AB = 4 cm và AD = 5 cm
Bài 17: Cho ABC (µA= 900 ) Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ⊥ BC Nối AF và BE
Trang 3a) Chứng minh AF = BE.cosC.
b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6 Tính diện tích tứ giác ABFE
c) AF và BE cắt nhau tại O Tính sin AOB·
Bài 18: Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm Trung điểm của AB và BC
theo thứ tự là M và N Nối CM và DN cắt nhau tại P
a) Chứng minh CM ⊥ DN
b) Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của góc ·CMN
c) Nối MD, tính các tỉ số lượng giác của góc ·MDN và diện tích tam giác MDN
Bài 19: Cho hình chữ nhật ABCD; sin DAC· = 0,8 ; AD = 42 mm, kẻ CE ⊥ BD và DF ⊥ AC
a) AC cắt BD ở O, tính sin AOD·
b) Chứng minh tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích của nó
c) Kẻ AG ⊥ BD và BH ⊥ AC, chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật và tính diện tích của nó
Bài 20: Cho đoạn thẳng MN = 6 cm Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6 cm Vẽ đường
tròn tâm N bán kính 4,8 cm, chúng cắt nhau tại A và B
MB = AM + AN
b) Tính số đo các góc của MAB
Bài 21: Cho tam giác vuông ABC ( µA = 900 ) Kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt các cạnh góc vuông AB và AC tại M và N Biết MB = 12 cm và NC = 9 cm, trung điểm của MN và BC là E
và F
a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng
b) Trung điểm của BN là G Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của EFG c) Chứng minh EFG ~ ABC
Bài 22: Cho ABC, kẻ AH ⊥ BC, biết BH = 9 cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75 Trên AH lấy điểm O sao cho OH = 2 cm
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông
b) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên OB lấy điểm P và trên OC lấy điểm N sao cho
AM OP ON 2
AB = OB = OC = 5 Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của MPN
Bài tập nâng cao chương II 1- Đường trịn và sự xác định của đường trịn
Bài
1: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC); BC CD 1AD a
2
a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng một đường tròn Hãy xác định tâm O và bán kính của đường tròn này
b) Chứng minh AC ⊥ OB
Bài 2 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H là trực tâm của tam giác, N, P, Q lần
lượt là trung điểm của AH, AB, AC Chứng minh OPNQ là hình bình hành
Trang 4Bài 3: Cho ABC, các góc đều nhọn Vẽ đường tròn tấm đường kính AB, vẽ đường tròn
tâm O đường kính AC Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) tại D và E, cắt đường tròn (O) tại H và K (các điểm xếp đặt theo thứ tự D, H, E, K)
a) Chứng minh BD, BE là những đường phân giác của góc ·ABC; CK, CH là những đường phân giác của góc ·ACB
b) Chứng minh BDAE, AHCK là những hình chữ nhật
Bài 4: Cho đường tròn (O) dường kính AB Vẽ bán kính OC vuông góc với AB tại O Lấy
điểm M trên cung AC Hạ MH ⊥ OA Trên bán kính OM lấy điểm P sao cho OP = MH a) Tìm quĩ tích các điểm P khi M chạy trên cung AC
b) Tìm quĩ tích các điểm P lấy trên bán kính OM sao cho OP bằng khoảng cách từ M đến
AB khi M chạy khắp đường tròn (O)
2 Tính chất đối xứng của đường trịn
Bài 1: Cho hai đường tròn bằng nhau (O ; R) và (O’; R) và hai dây AB, CD bằng nhau
theo thứ tự thuộc hai đường tròn ấy sao cho B và C nằm giữa A và D và AB < 2R
a) Chứng minh rằng AD // OO’
b) Chứng minh rằng AC = OO’ = BD
c) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ rằng điểm I nằm trên một đường cố định khi các dây AB, CD thay đổi vị trí sao cho AB, CD luôn luôn bằng nhau và B, C luôn nằm giữa
A, D
Bài 7: Cho góc · 0
xOy 60 = Lấy điểm I cố định trên tia phân giác Ot của góc xOy làm tâm vẽ đường tròn sao cho nó cắt Ox tại A, Oy tại B (A và B không đối xứng nhau qua Ot) Hạ ID ⊥ Ox, IE ⊥ Oy
a) Chứng minh DA = EB
b) Gọi T là tâm đường tròn qua A, I, B Chứng minh TAI, TBI là các tam giác đều Xác định vị trí của T một cách nhanh nhất
c) Tìm quĩ tích điểm T khi đường tròn tâm I có độ lớn bán kính thay đổi (nhưng vẫn cắt
Ox, Oy)
d) Tìm quĩ tích điểm H, trực tâm của AIB (theo điều kiện câu c)
Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy
điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) với đường thẳng AB Chứng minh:
a) AEF là tam giác cân
b) DO ⊥ OE
c) D, A, O, E nằm trên cùng một đường tròn
3 V ị trí t ương đối của đường thẳng và đường trịn – Tính chất của tiếp tuyến - Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) Một tiếp tuyến chung ngoài MM’, một tiếp tuyến
chung trong NN’ (M, N nằm trên (O) ; M’, N’ nằm trên (O’)) Các đường thẳng MM’ ,
Trang 5NN’ cắt nhau tại tiếp điểm P và các dây MN, M’N’ cắt PO, PO’ tương ứng tại các điểm
Q, Q’
a) Chứng minh rằng các tam giác MPO, M’O’P đồng dạng, suy ra M 'O 'M 'P = MOMP
b) Chứng minh rằng O 'Q 'Q 'P =QOPQ
c) Kéo dài MQ, M’Q’ cắt nhau tại điểm I Chứng minh rằng ba điểm O, I, O’ thẳng hàng
Bài 9: Cho góc xOy 60· = 0 Một đường tròn tâm I bán kính R = 5 cm, tiếp xúc với Ox tại A, tiếp xúc với Oy tại B Từ M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, nó cắt Ox tại E, cắt
Oy tại F
a) Tính chu vi OEF Chứng tỏ rằng chu vi đó có giá trị không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB
b) Chứng minh ·EIF có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB
Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một dây AC tạo với AB góc 300 Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt đường thẳng AB tại D Chứng minh rằng:
a) OAC ~ CAD
b) DB.DA = DC2 = 3R2
Bài 11: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB
tại E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F Chứng minh rằng:
a) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H
b) EF là tiếp tuyến của (I) tại E, tiếp tuyến của (J) tại F
Bài 12: Cho ABC cân tại A Đường cao AH và BK cắt nhau tại I Chứng minh:
a) Đường tròn đường kính AI đi qua K
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI
Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm D trên bán kính OB Gọi H
là trung điểm của AD Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại C Đường tròn tâm I đường kính DB cắt CB tại E
a) Tứ giác ACED là hình gì ?
b) Chứng minh HCE cân tại H
c) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I
Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa
đường tròn Lấy M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn, vẽ đường tiếp tuyến, nó cắt
Ax tại C, cắt By tại D Gọi A’ là giao điểm của BM với Ax, B’ là giao điểm của BM với
By Chứng minh rằng:
a) A’AB ~ ABB’ , suy ra AA’.BB’ = AB2
b) CA = CA’ ; DB = DB’
c) Ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng qui
Bài 15: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến Ax tại điểm A của đường tròn Trên Ax chọn
hai điểm B, C tùy ý (C nằm giữa A và B) vẽ hai tiếp tuyến BD, CE với đường tròn đã cho
a) Chứng minh: BOC DAE· = ·
b) Giả sử B, C ở về hai phía đối với điểm A, chứng minh rằng trong trường hợp này
BOC DAE + =1800
Trang 64 V trớ tị ương đố ủi c a hai đường trũn
Baứi 1: Cho hai ủửụứng troứn (O ; 4 cm) vaứ (O’ ; 3 cm) caột nhau taùi 2 ủieồm phaõn bieọt A vaứ B
bieỏt OO’ = 5 cm Tửứ B veừ 2 ủửụứng kớnh BOC vaứ BO’D
a) Chửựng minh 3 ủieồm C, A, D thaỳng haứng;
b) Chửựng minh tam giaực OBO’ laứ tam giaực vuoõng;
c) Tớnh dieọn tớch caực tam giaực OBO’ vaứ CBD;
d) Tớnh ủoọ daứi caực ủoaùn AB, CA, AD
Baứi 2: Hai ủửụứng troứn (O) vaứ (O’) tieỏp xuực ngoaứi taùi ủieồm A ẹửụứng thaỳng OO’ caột hai
ủửụứng troứn (O) vaứ (O’) laàn lửụùt ụỷ B vaứ C (khaực ủieồm A) DE laứ moọt tieỏp tuyeỏn chung ngoaứi cuỷa hai ủửụứng troứn, D ∈ (O) ; E ∈ (O’) Goùi M laứ giao ủieồm cuỷa hai ủửụứng thaỳng
BD vaứ CE Chửựng minh raống: a) DMEã = 90 0;
b) MA laứ tieỏp tuyeỏn chung cuỷa hai ủửụứng troứn (O) vaứ (O’); c) MD.MB = ME.MC
Baứi 4: Cho moọt ủửụứng troứn (O ; R), moọt ủửụứng troứn (O1 ; r1) tieỏp xuực trong vụựi (O ; R) vaứ moọt ủửụứng troứn (O2 ; r2) vửứa tieỏp xuực trong vụựi (O ; R) vửứa tieỏp xuực ngoaứi vụựi (O1 ; r1) a) Tớnh chu vi tam giaực OO1O2 theo R
b) Dửùng hai ủửụứng troứn (O1 ; r1) vaứ (O2 ; r2) bieỏt R = 3 cm ; r1 = 1 cm
Baứi 5: Cho ủửụứng troứn (O ; R), ủửụứng thaỳng d vaứ ủieồm A naốm treõn d Dửùng ủửụứng troứn
tieỏp xuực vụựi (O ; R) ủoàng thụứi tieỏp xuực vụựi d taùi A
Baứi 9: Cho hỡnh bỡnh haứnh ABCD (AB > AD) Laỏy A laứm taõm veừ ủửụứng troứn baựn kớnh
AD, noự caột AB taùi E Laỏy B laứm taõm veừ ủửụứng troứn baựn kớnh BE, noự caột tieỏp ủửụứng thaỳng
DE taùi F
a) Chửựng minh hai ủửụứng troứn (A ; AD) vaứ (B ; BE) tieỏp xuực nhau
b) Chửựng minh F, B, C thaỳng haứng
Baứi 11: Cho hai ủửụứng troứn (O) vaứ (O’) baựn kớnh laàn lửụùt laứ 3R vaứ R tieỏp xuực ngoaứi nhau
taùi A ẹửụứng thaỳng d1 qua A caột (O) taùi B, caột (O’) taùi B’ ẹửụứng thaỳng d2 vuoõng goực vụựi
d1 taùi A caột (O) taùi C, caột (O’) taùi C’
a) Chửựng minh BC’, CB’ vaứ OO’ ủoàng qui taùi moọt ủieồm M coỏ ủũnh
b) Chửựng minh caực tieỏp tuyeỏn chung ngoaứi PP’ vaứ TT’ caột nhau taùi M
c) Goùi I laứ chaõn ủửụứng vuoõng goực haù tửứ A xuoỏng BC’ Tỡm quú tớch ủieồm I khi d1 vaứ d2
thay ủoồi vũ trớ (vaón qua A vaứ vuoõng goực vụựi nhau)
Baứi 12: Cho hai ủửụứng troứn (O) vaứ (O’) tieỏp xuực nhau taùi A Goực vuoõng xAy quay xung
quanh ủieồm A, Ax caột (O) taùi B, Ay caột (O’) taùi C
a) Chửựng minh OB // O’C
b) Goùi C’ laứ ủieồm ủoỏi xửựng cuỷa C qua O’ Chửựng minh B, A, C’ thaỳng haứng
c) Qua O veừ d ⊥ AB, noự caột BC taùi M Tỡm quú tớch ủieồm M khi caực daõy AB, AC thay ủoồi
vũ trớ nhửng vaón vuoõng goực vụựi nhau
5 ễn t p chậ ương II
Bài 1: Cho đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài
của (O) và (O’); B, C là hai tiếp điểm Tiếp tuyến chung trong của hai đtròn tại A cắt BC tại M
a) Chứng minh rằng A, B, C thuộc đờng tròn ( M ; BC/2 )
b) Đờng thẳng OO’ có vị trí gì đối với đờng tròn ( M ; BC/2 )
Trang 7c) Xác định tâm của đờng tròn đi qua 3 điểm O, O’, M.
d) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua 3 điểm O, O’, M
Bài 2: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của AB Trên một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia
Ax, By vuông góc với AB Một góc vuông có đỉnh là O có hai cạnh cắt Ax và By tại C và D Gọi C’ là giao điểm của tia CO với tia đối của tia By Chứng minh:
a) Tam giác CDC’ là tam giác cân
b) Đờng thẳng CD là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính AB
c) Đờng tròn ngoại tiếp COD luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố định khi góc vuông tại O thay đổi
Bài 3: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) ngoài nhau Các tiếp tuyến chung ngoài MN, PQ ( M,P
nằm trên (O); N, Q nằm trên (O’) )
a) CMR: MN đối xứng với PQ qua đờng thẳng OO’
b) CMR: 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một đờng tròn
c) Nối MQ cắt (O), (O’) tơng ứng tại các điểm thứ hai A, B Chứng minh MA = QB
Bài 4: Cho đờng tròn (O) và tiếp tuyến xy tại tiếp điểm C nằm trên (O).
a) CMR nếu dây AB song song với xy thì CA = CB
b) CMR nếu một đờng thẳng d song song với xy đồng thời tiếp xúc với (O) tại một
điểm D thì 3 điểm C, O, D thẳng hàng
c) Cho hai đờng thẳng song song d1 , d2 cách nhau một khoảng bằng 3 cm, một điểm
M nằm giữa hai đờng thẳng d1 , d2 và cách d1 một khoảng bằng 1 cm Hãy dựng một
đờng tròn đi qua M và tiếp xúc d1 , d2
Bài 5: Cho 2 đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A Qua A kẻ đờng thẳng a cắt (O) tại
C, cắt (O’) tại C’ và đờng thẳng b cắt (O) tại B, cắt (O’) tại B’ Chứng minh BC // B’C’
Hửụựng daón giaỷi
Đ2 Tớnh chaỏt ủoỏi xửựng
Baứi 2: a) Ta chửựng minh ủửụùc AA’ = BB’; suy ra AD = BE
b) Vỡ xOy 60 ã = 0 neõn deó daứng chửựng minh
AIB DIE 120 = =
Ta chửựng minh ủửụùc ATI = BTI
Neõn ATI BTI 60 ã = ã = 0 Suy ra ủoự laứ nhửừng tam giaực ủeàu
Laỏy A (hoaởc B) laứm taõm veừ cung troứn (A ; AI) noự caột cung nhoỷ AB taùi T, ủoự chớnh laứ taõm ủửụứng troứn qua A, I, B
c) Ta chửựng minh ủửụùc raống ủửụứng troứn taõm T baựn kớnh TI ủi qua O Thaọt vaọy, giaỷ sửỷ (T)
caột IO taùi O’ vaứ caột O’T taùi T’
Ta coự ITT' 2IO'T' ã = ã Nhửng BTT' 2BO'T' ã = ã Suy ra ITB 2IO'B ã = ã , do ủoự IO'B 30 ã = 0
Ta coự IOB 30 ã = 0 Neỏu O’B vaứ OB laứ hai ủửụứng thaỳng phaõn bieọt thỡ IO'B vaứ IOB ã ã coự moọt goực
ụỷ vũ trớ goực ngoaứi coứn goực kia laứ goực trong cuỷa BOO’, nhử vaọy chuựng khoõng theồ baống nhau ủửụùc Do ủoự BO vaứ BO’ truứng nhau, O’ truứng vụựi O
PHAÀN THUAÄN: Ta coự TI = TO ⇒ T thuoọc trung trửùc cuỷa OI coỏ ủũnh ẹeồ ủửụứng troứn taõm T caột caực tia Ox, Oy thỡ TOx ; TOy ã ã laứ caực goực nhoùn Do ủoự T naốm ụỷ mieàn trong goực
ãuOv xaực ủũnh bụỷi Ou ⊥ Ox, Ov ⊥ Oy Do ủoự T thuoọc ủoaùn thaỳng T1T2 vửứa thuoọc trung trửùc cuỷa OI, vửứa thuoọc mieàn trong cuỷa goực uOx (ủeồ A, B phaõn bieọt)
PHAÀN ẹAÛO: Laỏy T’ thuoọc ủoaùn T1T2 veừ ủửụứng troứn baựn kớnh TI, noự caột Ox taùi A’, caột
Oy taùi B, ta phaỷi chửựng minh ủửụứng troứn (I ; IA’) qua B (Chửựng minh IDA’ = IEB’
⇒ IA’ = IB’)
KEÁT LUAÄN: Quú tớch T laứ ủoaùn thaỳng T1T2, khoõng keồ T1, T2
d) AIBT laứ hỡnh thoi neõn trửùc taõm H cuỷa AIB naốm treõn ủửụứng thaỳng TI, Bz ⊥ AI,
ta chửựng minh ủửụùc Bz ⊥ BT
A'
I
B E T
D
B'
A O
y t x
Trang 8Ta chứng minh được H thuộc (I) và H đối xứng với T qua I.
Quĩ tích các trực tâm H là đoạn thẳng H1H2 đối xứng của T1T2 qua I không kể H1, H2
Bài 3
a) Ta c/m được AO là phân giác của góc FAE nên AO là trục đối xứng
của góc FAE AO là đường thẳng chứa đường kính của (O) nên AO là
trục đối xứng của đường tròn (O) F là giao điểm của AB với (O)
Hình đối xứng của F là giao điểm của AC với (O), đó chính là điểm E
F và E đối xứng nhau qua AO Vậy AEF là tam giác cân
b) Ta c/m được: DOI 2DFO , EOI 2EFO· = · · = ·
Suy ra DOE 2DFE 90 · = · = 0 hay DO ⊥ OE
c) Lấy I là trung điểm của DE, ta có ID = IA = IE = IO Vậy D, A, O, E nằm trên một
đường tròn tâm I bán kính DE/2
Bài 4:
Ta có C và D đối xứng qua O
Lấy B’ đối xứng của A qua O thì B’ cố định CA có hình đối xứng qua O
Là DB’ nên CA = DB’, do đó DB = DB’
Suy ra D nằm trên trung trực d của BB’…
§3 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn – Tiếp tuyến
Bài 9:
a) EM = EA ; FM = FB Suy ra OE + EF + OF = OA + OB.
OIB có IOB 30 · = 0; ta tính được OB R 3 = ; do đó:
OE + EF + OF = 2R 3
Giá trị 2R 3 không phụ thuộc vào vị trí điểm M
b) Ta tính được AIB 120 ; EIM· 0 · 1AIM ; MIF· · 1MIB·
Suy ra EIF· 1AIB hay EIF 60· · 0
2
= = Vậy ·EIF có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB
Bài 10:
a) Tính số đo các góc, ta được CAO 30 · = 0
Hai tam giác OAC và CAD có CAO 30 (chung); ACO ADC 30 · = 0 · = · = 0
Vậy OAC ~ CAD
b) Tam giác COB là tam giác đều, OCA 30 · = 0 (có nhiều cách chứng minh),
CBD 120 = Dễõ dàng chứng minh được OAC ~ BCD Suy ra BD = R
A
F
O
E I
D
C K H B
B
B ' O
C A
B I
A
F M
E
O
30
30 30 O
C
D B A
Trang 9DCB ~ DAC ⇒ DA DCDC DB= Do đó DA.DB = DC2 mà DB = R , DA = 3R.
Vậy DA.DB = DC2 = 3R2
Bài 11:
a) Gọi I là trung điểm của BH thì I là tâm đường tròn đường
kính BH Gọi J là trung điểm của HC thì J là tâm đường tròn
đường kính BH
Ta có IH ⊥ AH suy ra AH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính HC
Vậy AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I), (J)
b) Chứng minh không khó khăn AFHE là hình chữ nhật Gọi P là giao điểm AH và EF Ta
có PE = PF = PH = PA
Chứng minh PEI ~ PHI (c.c.c), suy ra IEP IHP 90 · = · = 0 Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)
Chứng minh PFJ ~ PHJ (c.c.c), suy ra PFJ PHJ 90 · = · = 0 Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn (J)
Bài 12:
a) Gọi O là trung điểm của AI ta có OA = OI = OK Vậy đường tròn tâm O
đường kính AI đi qua K
b) Ta có AOK cân ⇒ AKO OAK · = · (góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)
Ta lại có HK = HB nên HBK HKB · = · Từ đó ta c/m được OK ⊥ HK
Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn O
Bài 13:
a) ACED là hình thang vuông
b) Đặt AB = 2R, AD = 2x, DB = 2y thì HA = HD = x.
Ta có các hệ thức sau: x + y =R hay HI = R
OH = OA – AH = (x + y) – x = y hay OH = y
Hai tam giác OHC và IEH có: OH = IE = y ; OC = IH = R ; COH HIE · = · (đv)
Suy ra OHC = IEH (c.g.c)
Do đó HC = EH hay HCE là tam giác cân tại H
c) Do OHC = IEH nên H E 90 µ = = µ 0, tức là HE ⊥ IE Vậy HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I
Bài 14: a) Tự giải.
b) CA = CM (hai tiếp tuyến cắt nhau tại C)
Lấy I là trung điểm của AM, CI là đường trung bình của AA’M
Vậy CA = CA’ Tương tự DB = DB’
J
C B
E A
K I
B
O A
E
I D O
C
A
O
I K
C
A' M
x
B'
D
B A
Trang 10c) Ta có AA’ // BB’ Lại có AC DB 1
CA ' DB'= = Vậy B’A’, DC, AB đồng qui
Bài 15: a) CO ⊥ AE tại P, BO ⊥ AD tại Q
Gọi I là giao điểm của OP và AQ
Hai tam giác PAI và QOI có: P Q 90 ; PIA QIO $ µ = = 0 · = ·
Suy ra BOC DAE · = ·
b) Tứ giác AQOP’ có P Q 90 hay P Q 180$ µ= = 0 $ µ+ = 0
mà tổng các góc trong tứ giác lồi là 3600 , suy ra BOC' DAE' 180 · + · = 0
§4 Vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 8:
a) AOBO’ là hình thoi (AO = OB = BO’ = O’A) nên AB và OO’
cắt nhau tại I, trung điểm chung của AB và OO’ D’ đối xứng của
D qua O nên D’ thuộc O’
OCO’D’ là hình bình hành (OC // O’D’ ; OC = O’D’)
AB và CD’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn Nhưng trung điểm của AB là I, nên CD’ đi qua I Vậy AB, OO’, CD’ cắt nhau tại I, trung điểm của mỗi đoạn thẳng
b) Tứ giác OCDO’ là hình bình hành nên OO’ // CD Vì BA ⊥ OO’ nên BA ⊥ CD
Tứ giác ACBD’ có IA = IB, IC = ID nên ACBD’ là hình bình hành do đó AD’ // CB
Vì DA ⊥ AD’ (DD’ là đường kính) suy ra DA ⊥ CB Vậy A là trực tâm của BCD
Bài 9: a) B, A, E thẳng hàng, suy ra hai đường tròn (A ; DA), (B ; BE)
tiếp xúc nhau tại E
b) Ta c/m được ADF AED FEB DFB · = · = · = ·
ADF DFB = ⇒ BF // AD (*)
Vì ABCD là hình bình hành BC // AD (**)
Từ (*) và (**) ta suy ra C, B, F thẳng hàng
Bài 10:
Tâm đường tròn tiếp xúc với (O) tại A nằm trên đường thẳng OA
Giả sử đường tròn (I) thỏa mãn yêu cầu đề bài, tiếp xúc với
D tại B Tại A vẽ tiếp tuyến chung nó cắt d tại P, thì PB = PA
Từ đó ta suy ra cách dựng
Bài 11:
a) A'BA BAC 90 · = · = 0 ⇒ A’B // AC
Ta có OA 'B O'AC'·· ·· ·
OBA' O'C'A (OA'B)
=
Do đó OA’B ~ O’AC’
Ta có BOC là đường kính của đường tròn (O),
B’O’C’ là đường kính của đường tròn (O’)
Ta có BC // B’C’ và O'C' O'B' 1OB = OC =3 nên OO’ , BC’ , B’C đồng qui tại M
Ta lại có MO' O'C 1MO = OB =3 Suy ra M là điểm cố định
P'
I Q O E'
C
C E
D A
B
D'
I
B
D A
O' O
C
C D
F
A
I'
B'
A O
P B
I
T
C I''
T' C'
B'
P' I' I
P B
d2
d1
M O'
A O
A'