Bài Giảng Hàng Đợi (Queue)

KHDV 2015 – Chương 2 - Trang 6 Biến đổi thời gian bận rộn trung bình  Trái: Ảnh hưởng thời gian phục vụ trung bình và biến đổi thời gian dịch vụ theo tỷ lệ bệnh nhân những ai phải đợi

Trang 1

Vietnam National University, Hanoi (VNU)

College of Technology (COLTECH)

Page 1 > Presentation > SSME - 2009

Chương 5 Hàng đợi

(Queue)

PGS TS Hà Quang Thụy

Trang 2

KHDV 2015 – Chương 2 - Trang 2

Giới thiệu

 Lý thuyết hàng đợi là gì

 Độ đo hiệu năng cốt lõi

 Một khung cho hàng đợi Markov

 Kết quả quan trọng ở hàng đợi không Markov.

Giải mô hình hàng đợi số

Khi các điều kiện thay đổi theo thời gian

Nội dung chương

Trang 3

 Đợi: nảy sinh cả khi tình huống tài nguyên được cho là đủ

 Bác sỹ khám bệnh theo lịch: lịch 18’/bệnh nhân, 2’ nghỉ ngơi cho bác sỹ, lên lịch hẹn theo lịch 20’ từ 8h00 tới 16h40 Hy vọng không ai phải đợi

 Tuy nhiên, không hoàn hảo, kiểm tra bằng mô phỏng 365 ngày theo trung bình thời gian bệnh nhân phải đơi ?

 “Đợi” bác sỹ trong hàng đợi, lý do:

 Bác sỹ không khám đúng 18’ với mọi bệnh nhân

 Bện nhân đến sớm hơn lịch

 Dùng mô phỏng Excel: xuất hiện hàng đợi bác sỹ.

1 Giới thiệu

Trang 4

Hai phân bố thời gian dịch vụ

 Phân bố đều: trong miền [13,23] Chiều rộng phân bố đều bằng hai lần thời gian kéo dài với xác suất 0.1 mỗi phút

 Phân bố tam giác: trong miền [13, 28] với hai lần kéo dài về sau và một lần kéo dài về trước.

Thời gian bác sỹ khám: hai phân bố

Trang 5

Biến đổi thời gian bận rộn trung bình

 Nếu thời gian phục vụ 18’: bận rộn 90%, 15’ : bận rộn 75%, 19,5’: bận rộn 97,5%

 Ba độ đo cốt lõi: thời gian đợi trung bình được bác sĩ khám; thời gian đợi trung bình cho những ai phải đợi;

tỷ lệ bệnh nhân phải đợi

 tác động của biến thiên và thay đổi thời gian dịch vụ theo thời gian phục vụ bình quân trên thời gian đợi trải nghiệm một bệnh nhân (giả sử mọi bệnh nhân đến đúng vào thời gian dự kiến của họ) Giá trị kéo dài nhỏ

Thời gian bận rộn bác sỹ khám: pb đều

Trang 6

Biến đổi thời gian bận rộn trung bình

 Trái: Ảnh hưởng thời gian phục vụ trung bình và biến đổi thời gian dịch vụ theo tỷ lệ bệnh nhân những ai phải đợi cho dịch vụ với các bệnh nhân đến đúng như dự kiến

 Phải: Ảnh hưởng của thời gian dịch vụ trung bình và độ biến đổi thời gian theo % bệnh nhân phải đợi khi bệnh nhân đến đúng hẹn

 Bệnh nhân phải đợi ngay khi (a) thời gian phục vụ bình quân là ít hơn so khoảng cách xuất hiện các bệnh nhân và (b) các khách hàng đến đúng hẹn.

Thời gian bận rộn bác sỹ khám: pb đều

Trang 7

Bệnh nhân trễ hẹn

 Bệnh nhân đến sớm: đợi do tự bản thân

 Bệnh nhân đến trễ: gây đợi cho người khác

 Thời gian đợi trung bình trên mọi bệnh nhân nếu bệnh nhân đồng đều đến trễ 5 phút so với hẹn

Bệnh nhân trễ hẹn: phân bố đều

Trang 8

Tác động biến thiên tăng phân bố thời gian phục vụ

 Trái: Tương ứng ngay trước: phân bố thời gian phục vụ tam giác

 Thời gian đợi tăng lên dù thời gian phục vụ ít hơn thời gian bệnh nhân xuất hiện Khả năng xuất hiện nhỏ tới 31,5’ với trung bình 19’ với kéo dài 6’.

 Phải: Thời gian đợi trung bình đối với bệnh nhân phải đợi Ít hài long

nhất

Phân bố thời gian phục vụ tam giác

Trang 9

 Số lượng chỗ đậu xe cho một trung tâm mua sắm

 Giúp mô hình hóa hang đợi

 Xe xuất hiện theo quá trình Poisson với 1200 chiếc/giờ (trung bình 20 xe/phút).

 Mỗi người ở lại trung tâm mua sắm 30’

 Nên xây dựng bao nhiêu lô để xe để 98% chắc chắn đủ ?

Trang 10

 Đến – đi ra khỏi bãi đậu xe là lý tưởng: hê thống tiên tiến mới giúp khách hang xác định lô rỗng.

 Phân thành 20 vùng Tương tự mỗi vùng 180 chỗ thì tổng cộng cần 4160 lô.

 Tuy nhiên, xác suất tích hợp 0.98 20 = 0.667 Cần 0.98 cho cả 20 vùng thì mỗi vùng

el n(0.98)/20 =0.99899 Cần 223 mỗi vùng

Ví dụ 2: Xác định số chỗ đậu xe (2)

Trang 11

 Mở đầu

 Sự chậm trễ xảy ra ngay cả với hệ thống đặc trưng trung bình cho biết không xuất hiện hang đợi

 Trên đây dùng mô phỏng: (i) tốn kém thời gian lập trình viên + thời gian máy tính; (ii) đầu ra mô phỏng

là thời gian đợi trung bình, tỷ lệ khách hang đợi – biến ngẫu nhiên phụ thuộc sự không chắc chắn Câu hỏi cốt lõi nên là: cần bao nhiều dòng ? Cái gì nên cắt để cỡ sắm đạt chất lượng dòng ? Bao nhiêu dòng dịch vụ đầy đủ nên khởi tạo; (iii) Nếu chạy ít mô phỏng không đủ minh họa xu thể !

 ⇒ Lý thuyết hang đợi là sự thay thế tốt !

 Sơ bộ

 Kết nối toán học với hàng đợi/dòng chờ (waiting lines)

 Có hai tiếp cận cơ bản: (i) Mô hình dựa trên xấp xỉ dòng lỏng (Newell, 1971): khung xác định hàng đợi, đặc biệt hữu ích trong phân tích hàng đợi mà tỷ lệ đến trung bình vượt tốc độ phục vụ bình quân trong thời gian dài gian; (ii) phân tích hàng đợi xác suất: một khung ngẫu nhiên hàng đợi, hữu ích nhất trong phân tích hàng đợi mà tỷ lệ xuất hiện ít hơn tỷ lệ dịch vụ trong thời gian dài.

2 Lý thuyết hang đợi

Trang 12

 Mở đầu

 Lý thuyết hang đợi (xác định/ngẫu nhiên) đòi hởi các đầu vào

 Cần đặc trưng hóa : (i) Quá trình xuất hiện cũng như (ii) Quá trình dịch vụ

 Đầu vào cho mô hình hang đợi

a) Mô tả cách thức khách hàng xuất hiện vào hệ thống Quá trình xuất hiện (arrival process)

Chú ý đặc biệt: phân bố xuất hiện khách hang theo thời gian

b) Mô tả cách thức khách hang được phục vụ Quá trình phục vụ (service process) Chú ý đặc

biệt: (i) ước lượng trung bình và độ lệch bình phương trunh bình thời gian cần để phục vụ một khách hang; (ii) phân bố xác suất thực sự của thời gian cần để phục vụ khách hàng

c) Số lượng các phục vụ

d) Số lượng cực đại khách hang có thể đi vào hệ thống

Lý thuyết hàng đợi

Trang 13

Đầu vào cho mô hình hang đợi

e) Kích thước xâu (pool) khách hang

f) Cách thức mà khách hàng đợi được chọn để phục vụ Quy tắc phục vụ (service discipline)

Giải thích

 Các đầu vào a), b), c) luôn cần Kendal phát triển lưu ý chuẩn cho các đầu vào này X/Y/Z:

 X và Y là các chữ cái được dung để mô tả quá trình xuất hiện và quá trình phục vụ tương ứng,

 Z là sơ nguyên (có thể ∞ ) chỉ số lượng phục vụ

 X và Y để mô tả phân bố xác suất được dung trong mô hình hóa thời gian xuất hiện và thời gian

phục vụ khách hàng:

 M: Phân bố lũy thừa (Exponential Distribution), tương ứng với xuất hiện Poisson,

 E k : Phân bố Erlang-k Phân bố Erlang-1 là phân bố lũy thừa, phân bố Erlang-k là tống k các

phân bố lũy thừa phân tán xác định độc lập

Đầu vào hàng đợi (2)

Trang 14

Phân bố xác suất được sử dụng

 HE: Phân bố mũ (Hyperexponential distribution)

 D: Xác định

 G, GI: Phân bố tổng quát với trung bình và độ lệch hữu hạn GI thường dung cho xuất hiện và ghi chú độc lập tổng quát, G thường được dung cho thời gian dịch vụ Trong cả hai trường hợp thì giả thiết : thời gian xuất hiện và thời gian phục vụ là các biến ngẫu nhiên độc lập.

Ví dụ

 M/M/1: Một dòng phục vụ đơn, phân bố t/gian xuất hiện Poisson, phân bố thời gian phục vụ phân tán lũy thừa.

 M/E k /1: phục vụ đơn, Posson xuất hiện, phân bố thời gian phục vụ Erlang-k

 M/M/s: như M/M/1 song s máy phục vụ

 M/G/∞ : M, phân bố thời gian phục vụ tổng quát, vô hạn máy

Đầu vào hang đợi

Trang 15

Giới thiệu

 Xuất hiện Poisson (hoặc thời gian xuất hiện phân bố lũy thừa)

 Phục vụ: thời gian xuất hiện phân bố lũy thừa

 Markov: Phân bố lũy thừa có tính không nhớ (memoryless) làm đơn gián mô hình hóa

hang đợi, không cần biết khách hang cuối đến là bao lâu.

 Tập tối thiểu các output

 Số lượng trung bình trong hệ thống (hang đợi, dòng, phục vụ)

 Số lượng trung bình ở trong hang đợi (đợi để phục vụ)

 Thời gian trung bình trong hệ thống hoặc trong hang đợi

 Một số đầu ra quan tâm khác: thời gian trung bình khách ở hang đợi/hệ thống, phân bố thời gian giữa xuất phát từ hang đợi

Hàng đợi Markov

Trang 16

Biến ngẫu nhiên

 Biến ngẫu nhiên là biến nhận giá trị về biến đổi cơ hội/từ kết quả một thực nghiệm thống kê; dùng chữ cái in hoa

 Mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên có một xác suất cơ hội

 Kỳ vọng “expected value” E(X),

 Phương sai “variance” σ 2 (X), độ lệch chuẩn “standard deviation” σ (X)

 X biến ngẫu nhiên dương, hệ số biến thiên “coecient of variation” c X =

σ (X)/E(X)

3 Một số kiến thức bổ túc về xác suất

Trang 17

Biến ngẫu nhiên rời rạc

 Cho X biến ngẫu nhiên

 X nhận giá trị đếm được (hữu hạn/vô hạn): biến ngẫu nhiên rời rạc.

 Ví dụ: biến ngẫu nhiên tương ứng mặt “sấp”/”ngửa” ở trên khi tung đồng xu: biến ngẫu nhiên rời rạc Tung liền hai lần (SS, SN, NS, NN)

 Tung viên xúc sắc sáu mặt có 6 giá trị ….

 Bảng phân bố xác suất: Theo từng giá trị

 Biến ngẫu nhiên liên tục

 X nhận giá trị liên tục: Biến ngẫu nhiên liên tục

 Ví dụ: Biến ngẫu nhiên lốc xoáy xảy ra ở một vị trí trong không gian hai chiều là biến liên tục

Biến ngẫu nhiên rời rạc/liên tục

Trang 18

 Phân bố hình học

 Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc

 X có phân bố hình học với tham số p là

 Các đặc trưng

 Phân bố Poison

 Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc

 X có phân bố Poison với tham số µ là

Một số phân bố xác suất thông dụng

Trang 19

Phân bố mũ

 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục dương

 X có phân bố mũ với tham số µ và hàm mật độ là

 Tính chất không nhớ “memoryless property”:

∀ x>0, t>0:

có nghĩa là kỳ vọng phía sau t vẫn là 1/ µ

 Nếu X1, X2, …, Xn là các biến ngẫu nhiên phân bố mũ độc lập thì min (X1, X2, …, Xn) một biến ngẫu nhiên phân bố mũ với tham số và xác suất để X i là nhỏ nhất i=1, 2, …, n.

Phân bố mũ

Trang 20

Phân bố Erlang

 Cho X là biến ngầu nhiên liên lục trong miền t>0

 X có phân bố Erlang-k (k=1,2, …) với kỳ vọng k/ µ nếu như X là tổng của k biến ngẫu nhiên độc lập

có cùng phân bố mũ với kỳ vọng 1/ µ

 Ký hiệu Ek( µ ) hoặc Ek.

 Hàm phân bố xác suất

 Hàm mật độ xác suất (đạo hàm của phân bố xác suất theo t)

 µ : tham số cỡ (kích thước), k: tham số hình dạng

Phân bố Erlang

Trang 21

Sơ đồ “pha” của biến ngẫu nhiên Erlang

 Hàm mật độ của phân bố k-Erlang với kỳ vọng 1 và phương sai k

Trang 22

Các đặc trưng

 Phân phối phù hợp “convenient” khi kết hợp hai phân phối Ek-1 và Ek với cùng tham số cỡ: Ek-1,k

 Một biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất E k-1,k ( µ ) nếu X với xác suất p (tương ứng, 1-p) tổng của k-1 (tương ứng k) biến ngẫu nhiên độc lập với cùng kỳ vọng 1/ µ Mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên này:

 với 0 ≤ p ≤ 1.

 Khi p chạy từ 0 tới 1 hệ số biến thiên của phân bố Erlang kết hợp chạy từ 1/k tới 1/(k-1)

 Đây là biến ngẫu nhiên tương đối phổ biến

Trang 23

Khái niệm

 Các phân bố trước đây là trường hợp đặc biệt của phân bố kiểu pha (phase-type distribution).

 Phân bố Coxi: Biến ngẫu nhiên X có phân bố Coxi bậc k nếu nó đi qua hầu hết k pha phân bố

mũ Độ dài kỳ vọng của pha n là µ n , n=1,2, …, k Nó bắt đầu từ pha 1, sau pha n nó kết thúc với xác suất 1-pn và nó đi tới pha tiếp theo với xác suất pn Rõ ràng pk=0 Với phân bố Cosi-2 thì hệ số biến thiên ≥ 0.5.

 Biến ngẫu nhiên X có phân bố Erlang kết hợp bậc k nếu nó với xác suất pn là tổng của n phân

bố mũ với cùng một kỳ vọng 1/ µ

Biến ngẫu nhiên phân bố kiểu pha

Trang 24

Phân bố Hyperexponential distribution

 X là biến ngẫu nhiên liên tục t>0

 X có phân bố siêu mũ với các xác suất p i (i=1,2, …, k) là biến ngẫu nhiên có phân bố mũ với kỳ vọng 1/ µ i

Trang 25

Định nghĩa các độ đo

 L: Số lượng trung bình khách hàng trong hệ thống,

 Lq: số trung bình khách hàng đợi để được phục vụ,

 W: thời gian trung bình trong hệ thống,

 Wq: thời gian trung bình trong hàng đợi đợi để được phục vụ,

 χ : tốc độ xuất hiện trung bình,

 µ : tốc độ phục vụ trung bình,

 1/ µ : thời gian phục vụ trung bình.

4 Độ đo hiệu năng cốt lõi

Trang 26

Độ đo bổ sung

 a (t) : số người xuất hiện tại hệ thống trong thời gian [0,

t],

 d (t) : số người rời hệ thống trong thời gian [0, t],

 N (t) : số người ở trong hệ thống tại thời điểm t Lưu ý

rằng N (t) = a (t) - d (t).

Độ đo bổ sung

Trang 27

Tích lũy và trung bình

 Tổng số tích lũy phút-người trong khoảng [0,t]

 Thời gian đợi trung bình trong khoảng [0,t]: l(t)/(a(t)=W (t) và số trung bình trong hệ thống là l(t)/t = L (t)

 (3.1)

 Lấy giới hạn khi t →∞ :

Các độ đo bổ sung

Trang 29

Khái niệm quá trình Markov

 Quá trình Markov: một QT ngẫu nhiên mà xác suất có điều kiện thuộc một trạng thái bất kỳ tại một thời điểm tương lai “khi cho trạng thái hiện tại và trạng thái quá khứ” bằng xác suất ở trạng thái đó trong tương lai khi cho “chỉ trạng

thái hiện tại”.

 lịch sử quá khứ của hệ thống không cung cấp thông tin bất kỳ mà cần thiết để

dự đoán trạng thái tương lai.

 trạng thái hệ thống thường được mô tả là số lượng khách hàng trong hàng

đợi, mặc dù ở một số hệ thống tiên tiến hơn: mô tả khác nhau các trạng thái

hệ thống sẽ cần thiết

5 Khung đối với hang đợi Markov

Trang 30

Đăăt vấn đề

 Phát triển môăt khung chung phân tích hàng đợi Markov

 Phân bố mũ là phân bố không nhớ

 Ví dụ, nếu thời gian DV pb mũ với trung bình 15 phút; khách hàng hiêăn tại đã được phục vụ 12 phút (thâăm chí 20 phút) không cho biết

gì về thời gian khách hàng trong dịch vụ: giá trị trung bình vẫn là 15 phút

 Quá trình xuất hiêăn và quá trình dịch vụ đều không nhớ

Khung hàng đợi Markov

Trang 31

Môăt số tính chất bổ sung phân bố mũ

 Quá trình xuất hiêăn Poison với tốc đôă xuất hiêăn χ

 Xác suất không xuất hiêăn trong thời đoạn ngắn ∆ t

o(( ∆ t) 2 ) là các số hạng bâăc ( ∆ t) 2 hoăăc nhỏ hơn.

 Với ∆ t nhỏ, ta có:

 Xác suất của hai hay nhiều sự kiêăn trong môăt thời gian đủ ngắn về cơ bản là 0 và có thể bỏ qua Tương

tự với quá trình phục vụ.

 Trong khoảng ∆ t nhỏ, xác suất không hoàn thành là 1- µ∆ t

H/đợi Markov: Tính chất phân bố mũ

Trang 32

 Giả thiết tốc đôă xuất hiêăn, tốc đôă dịch vụ

 Phụ thuôăc vào số lượng người trong hêă thống

 Thời gian

 Cụ thể

 χ n (t): (Poisson) tỷ lêă xuất hiêăn n người trong hệ thống tại thời điểm t

 μn(t): tỷ lêă dịch vụ với n người trong hệ thống tại thời điểm t

 Pi(t) là xác suất ở trạng thái I tại thời điểm t:

 (3.5)

 và

Phát triển các phương trình

Trang 33

 (3.5)

 Xác suất trong trạng thái 0 không có một người ở hệ thống trong một thời gian rất ngắn từ hiê ăn tại là tổng:

 xác suất mà hệ thống đang ở trạng thái 0 hiêăn tại và không có khách hàng xuất hiêăn

 Xác suất mà hêă thống hiêăn có môăt khách và người đó hoàn thành dịch vụ trong thời gian rất ngắn

 Xác suất ở trạng thái i với thời gian ngắn hiêăn tại là tổng:

 xác suất mà hệ thống hiêăn đang ở trạng thái i-1 và có 1 khách hàng xuất hiêăn trong môăt thời gian ngắn

 xác suất mà hệ thống hiêăn đang ở trạng thái i và không có khách xuất hiêăn hoặc hoàn tất dịch vụ trong khoảng

Trang 34

Biến đổi (3.5) và (3.6)

 Đưa P i (t) về bên trái và chia cho ∆ t

 Lấy giới hạn khi cho ∆ t → 0:

Trang 35

 ∀ trạng thái của môăt hàng đợi Markov

 Cung cấp các tỷ lêă về các xác suất thay đổi trạng thái như hàm theo thời gian

 Chưa đề câăp số lượng phục vụ theo thời gian

 Ngầm định giả định có khả năng vô hạn trạng thái

 Phương trình (3.8)

 Có thể chỉnh đơn giản khi có hữu hạn trạng thái

 Đại lượng hữu hạn = số cư dân được phục vụ ở hêă thống

 Trung tâm cuôăc gọi với hữu hạn các dòng

 Trung tâm đâău xe không cho phép xếp hàng

 Trung tâm chỉnh sửa thiết bị hàng không

Phương trình Chapman-Kolmogorov

Trang 36

 Mối quan tâm chính từ lý thuyết hàng đợi

 Ước tính dài hạn hiêău năng trung bình hêă thống

 Cần giả định: tỷ lêă xuất hiêăn và tỷ lêă phục vụ không phụ thuôăc thời gian: χ i (t)= χ i và μ i (t) = μ i : ∀ t.

 “hêă thống được giả định hoạt đôăng vô thời hạn thời gian”: tương đối hợp lý trong thực tế

 “hêă thống loại trừ viêăc “ngừng dịch vụ” vào cuối ngày”: khi đó tốc đôă xuất hiêăn giảm tới 0.

 Cho thêm P i (t)= P i và dP i (t)/dt=0.

 Viết lại (3.8) và (3.9) theo các giả định trên

 (3.9)

 (3.10)

 Giải (3.9) với P 1 theo P o , có

P/trình cân bằng trạng thái ổn định

Trang 37

 Chứng mình tổng quát hóa (xem Daskin)

Trang 38

 Kết hợp phương trình

 Tổng quát hóa (3.11)

 Với điều kiêăn (3.13) cho phép tính xác suất mọi trạng thái

 Tính toán các đôă đo cốt lõi

 và

Trong đó s là số lượng các phục vụ

Trang 39

Hình 3.9

 Hai phương trình (3.9), (3.10) trạng thái ổn định

 χi , µi là các tỷ lêă thông lượng chuyển trạng thái lên/xuống

 Tại trạng thái ổn định tỷ lêă ra khỏi vòng tròn = tỷ lêă vào như phương trình trên đây

Cân bằng trạng thái ổn định

Định dạng
Số trang	78
Dung lượng	3,94 MB