Trường tachyon trong lí thuyết dây

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn của tôi với đề tài: “Trường tachyon trong lí thuyết Dây” là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.. Tuy nh

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn và và lòng biết ơn chân thành đến GS.TSKH ĐÀO VỌNG ĐỨC – người đã tận tình chỉ dạy, cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng và là người trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo ở phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong khoa Vật lí trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các giáo sư, tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn các bạn học viên ở lớp cao học K15 – chuyên ngànhVLLT & VLT đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện cho tôi trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng để hoàn thành, nhưng luận văn của tôi khó tránh

khỏi những thiếu sót Mặt khác, đề tài: “Trường Tachyon trong lí thuyết Dây” là một đề tài mới, đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài cũng

thuộc lĩnh vực mới của vật lí lí thuyết nên kết quả luận văn đạt được có thể chưa triệt để Tôi rất mong nhận được ý kiến chỉ bảo, ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo, các bạn học viên và những người quan tâm đến đề tài này

Hà Nội, ngày 18 tháng 6 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Trọng Nghĩa

LỜI CAM ĐOAN

Tôi tên là Nguyễn Trọng Nghĩa, học viên cao học khóa 2011 – 2013 chuyên ngành VLLT & VLT – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn của

tôi với đề tài: “Trường tachyon trong lí thuyết Dây” là trung thực và không

trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự

việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Nếu có điều gì không trung thực trong luận văn của tôi, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội, ngày 18 tháng 6 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Trọng Nghĩa

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 7

NỘI DUNG 9

Chương 1 DÂY BOSON 9

1.1 Phương trình chuyển động của dây 9

1.2 Toạ độ dây và các dao động tử quỹ đạo 12

1.3 Đại số dây Virasoro 14

1.3.1 Lượng tử hóa dây boson, tensor xung – năng lượng trên lá thế 14

1.3.2 Đại số dây Virasoro 17

1.4 Phổ khối lượng các trạng thái kích thích dây 21

Chương 2 SIÊU DÂY 24

2.1 Siêu đối xứng dây 24

2.2 Siêu dao động tử quỹ đạo 26

2.2.1 Siêu dây mở 26

2.2.2 Siêu dây đóng 27

2.3 Siêu đại số dây 29

2.3.1 Lượng tử hóa Siêu dây 29

2.3.2 Siêu đại số Neveu – Schwarz và Ramond 31

2.4 Phổ khối lượng các trạng thái kích thích Siêu dây 36

Chương 3 CƠ CHẾ KHỬ TACHYON 40

3.1 Khử tachyon trong Siêu dây 40

3.2 Đối xứng nội tại dây và đại số dây với đối xứng nội tại dây 41

3.3 Khử tachyon trong dây boson 44

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lí thuyết Dây được đánh giá là một phương hướng nhiều triển vọng để

xây dựng các mô hình thống nhất các tương tác cơ bản – mạnh, yếu, điện từ

và hấp dẫn.Lí thuyết Dây gắn kết được những cách tiếp cận tưởng chừng như khác nhau trước đây trong Lí thuyết tương tác các hạt cơ bản, dẫn đến những ý tưởng rất mới mẻ, có tính cách mạng trong Vật lí lí thuyết và cả

trong vũ trụ học

Tuy nhiên, để xây dựng Lí thuyết Dây hoàn chỉnh còn phải giải quyết

nhiều khó khăn, một trong những vấn đề nổi bật đó là sự tồn tại của các trường tachyon ứng với các hạt có m2< 0 và do đó có vận tốc chuyển động lớn hơn c

Để giải quyết khó khăn này, tôi chọn đề tài: “Trường tachyon trong lí thuyết Dây” là đề tài luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài luận văn “Trường tachyon trong lí thuyết Dây” nhằm mục đích

tìm hiểu và nghiên cứu về các hạt tachyon trong Lí thuyết Dây, đặc biệt quan

tâm đến các cơ chế khác nhau nhằm loại trừ tachyon

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu và nghiên cứu về các hạt tachyon và cơ chế loại trừ tachyon trong lí thuyết Dây

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Có những giả thuyết đã được đề xuất nhằm loại trừ tachyon trong Lí

thuyết Dây, trong đó đáng chú ý là sử dụng toán tử chiếu GSO (Gliozzi –

Scherk – Olive) Tuy nhiên, hạn chế của toán tử chiếu GSO là chỉ có thể áp

dụng cho Siêu dây NS (Neveu – Schwarz) nên luận văn của tôi tập trung

nhiều đến cơ chế khử tachyon trong Dây boson

5 Những đóng góp mới của đề tài

Triển khai các tính toán chi tiết của một số phép biến đổi trong lí thuyết Dây

Đưa ra và thực hiện những phương pháp nhằm loại trừ tachyon trong lí thuyết Dây, đặc biệt là dây boson

6 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng các phương pháp:

- Lí thuyết trường lượng tử và hạt cơ bản

- Lí thuyết nhóm

- Đại số Virasoro và siêu đại số

- Lí thuyết Gauge cho phiếm hàm trường dây

NỘI DUNG

Chương 1 DÂY BOSON

1.1 Phương trình chuyển động của dây

Lí thuyết trường lượng tử tương ứng với quan niệm hạt là đối tượng không “kích thước – điểm”theo nghĩa toán học Để giúp tìm hiểu sâu hơn về khái niệm hạt dây, ta nhắc sơ qua về hạt điểm

Khi chuyển động trong không – thời gian từ vị trí 1 đến vị trí 2, hạt điểm vạch nên một đường gọi là đường thế (xem hình 1.1)

Vị trí của dây có thể được mô tả bởi hàm vector x ( ) phụ thuộc vào thông số nào đó dọc theo quỹ đạo, có thể hiểu là thời gian riêng của hạt, là chỉ số Lorentz khái quát trong không – thời gian D chiều, 0,1,2, ,D 1

Chuyển động của hạt điểm trong không – thời gian Minkowski với metric:

Tác dụng (1.1) là bất biến đối với phép biến đổi tổng quát:

có nghiệm tương ứng với đường thẳng trong không – thời gian Minkowski

Khi xem hạt là đối tượng có kích thước một chiều – dây, thì cách tiếp cận cũng tương tự.Khi chuyển động trong không – thời gian từ vị trí 1 đến vị trí 2, hạt dây sẽ quét nên một mặt gọi là lá thế (xem hình 1.2)

Vị trí dây trong không – thời gian được xác định bởi hàm X ( , )phụ thuộc vào hai thông số và , có thể hiểu như thời gian riêng của dây,

, có thể hiểu như độ dài xác định từng điểm trên dây, với các giá trị được chọn trong khoảng 0

Kết hợp lại thành vector hai chiều trên lá thế, ta viết:

Tác dụng (1.5) không những chỉ bất biến đối với phép biến đổi tổng quát mà còn bất biến đối với phép biến đổi Weyl định xứ metric:

Vì lúc này:

Như vậy, ở đây có ba đối xứng định xứ: Đối xứng (1.4) với hai thông

số và đối xứng Weyl (1.6) Do đó ta có thể chọn 3 thành phần độc lập của metric tensor h theo metric Minkowski hai chiều:

1.2 Tọa độ dây và các dao động tử quỹ đạo

Phương trình chuyển động của dây (1.8) là phương trình sóng một chiều với nghiệm tổng quát có thể viết dưới dạng:

Trong đó X mô tả các mode “chuyển động phải”, R X mô tả các mode L

“chuyển động trái” của dây

Cần phân biệt dây mở và dây đóng (xem hình 1.3)

Với dây mở ta đặt điều kiện biên:

in n n

trong đó, ta ký hiệu 0 p

Trong trường hợp dây đóng, từ (1.14) ta có:

1.3 Đại số dây Virasoro

1.3.1 Lượng tử hoá dây boson, tensor năng – xung lượng trên lá thế

Tiến hành lượng tử hoá dây, ta thừa nhận các hệ thức giao hoán đồng như sau:

1cos n cos n '

n

1sin n sin n ' (1.19)

Từ các hệ thức giao hoán chính tắc trên đây ta có thể tìm được các hệ thức giao hoán giữa các dao động tử quỹ đạo n như sau:

1.3.2 Đại số dây Virasoro

Từ tensor năng - xung lượng T ta lập các toán tử:

Viết (1.31), (1.32) dưới dạng tích normal, trong đó toán sử sinh đứng trước toán tử huỷ (tính từ trái), tức là:

Ta hãy tính giao hoán tử [Ln, Lm]

Trước hết nhận xét rằng vì giao hoán tử giữa hai dao động tử quỹ đạo chỉ là một số, cho nên với bất kỳ toán tử F nào ta đều có:

Trong trường hợp n + m = 0 , ở vế phải (1.37) sẽ xuất hiện thêm một số hạng gọi là dị thường, ký hiệu bởi A(n) Một cách tổng quát, ta có thể viết:

[Ln, Lm] = (n m)Lm n+ A(n) n+m,0 (1.38)

Số hạng dị thường A(n) có thể tính theo cách như sau:

Giả sử 0 là trạng thái nền - chân không thoả mãn điều kiện:

n 1

k 1

p1

n 1

v v,n 1 1 k , n k k,l 1

3Trong quá trình tính ta đã sử dụng tính chất (1.39), đồng nhất thức (1.35) và:

k 1

1

k n(n 1)(2n 1)6

Như vậy, ta tính được:

1p2c (1.45) Thay (1.44) và (1.45) vào (1.41), ta có:

12

Đại số tạo nên bởi các hệ thức giao hoán dạng (1.47), (1.48) được gọi là đại số Virasoro dị thường

1.4 Phổ khối lượng các trạng thái kích thích dây

Xét không gian Fock các trạng thái kích thích tạo nên do tác dụng các toán tử sinh n và %n , n > 0, lên trạng thái nền chân không 0 Chuẩn của các trạng thái này không phải tất cả đều > 0.Chẳng hạn, các trạng thái 0

và do đó không thể xem là các trạng thái vật lí Không gian các trạng thái vật

lí chỉ là một không gian con của toàn không gian Fock nói trên, thoả mãn một

số điều kiện nhất định Trước hết, trạng thái vật lí phải có chuẩn > 0.Một trạng thái vật lí cũng phải thoả mãn các phương trình suy ra từ phương trình chuyển động

Như sẽ trình bày ở các phần sau, các phương trình này có dạng:

đối với dây đóng

trong đó a0 là một thông số, được gọi là thông số Regge

Các phương trình (1.49) và (1.50) cho phép xác định được phổ khối lượng của các trạng thái kích thích

Trước hết xét trường hợp dây mở Ta có:

có ý nghĩa là toán tử bình phương khối lượng của dây

dùng hệ thức giao hoán (1.22) dễ dàng thấy rằng trạng thái kích thích:

là trạng thái riêng của toán tử M2

cùng với giá trị riêng

là trạng thái riêng của toán tử M2

ứng với giá trị riêng

i 1

n = q i

i 1

Từ (1.55) và (1.61) ta chú ý rằng các trạng thái nền không kích thích (p=0, q=0) có bình phương khối lượng thấp nhất, m2

=-2a0 trong trường hợp dây mở và m2

=-8a0 trong trường hợp dây đóng Như vậy khi a0>0 (chẳng hạn a0=1 với dây boson) thì các trạng thái này có m2<0 và các hạt tương ứng được gọi là tachyon Tìm một cơ chế để loại từ các techyon về mặt lí thuyết là một trong những vấn đề trọng tâm được nhiều người quan tâm

Chương 2 SIÊU DÂY

2.1 Siêu đối xứng dây

Lí thuyết Dây boson có những hạn chế, chẳng hạn sự tồn tại của các tachyon, số chiều không – thời gian ngoại phụ quá nhiều Ngoài ra, như đã thấy từ cấu trúc lí thuyết, dây boson không có khả năng mô tả các trạng thái

có spin bán nguyên Nhằm khắc phục các nhược điểm này, người ta đưa vào siêu đối xứng trên lá thế, thể hiện sự biến đổi qua lại giữa các toạ độ không – thời gian X ( , ) và các “đối tác” của chúng – các siêu toạ độ phản giao hoán ( , ) Đối với không – thời gian của dây đó là các vector, còn đối với

lá thế, đó là các spinor hai thành phần A( , ) , A = 1, 2 Ngoài ra, chúng là những đại lượng thực (Majorana):

A

Lúc này vị trí của dây trong không – thời gian được xác định bời cả

được mô tả bởi tác dụng dạng:

A A i X ( ) , A

trong đó là thông số spinor Majorana cực vi

Thật vậy, dưới tác dụng của phép biến đổi (2.8) các số hạng trọng (2.1) biến đổi như sau:

Thay (2.11) vào (2.10), bỏ qua số hạng dạng d2 F và chú ý đến tính chất (2.6), ta có:

Từ (2.9) và (2.12) suy ra ngay tính chất bất biến của tác dụng (2.1)

Ta hãy tìm phương trình chuyển động cho A Từ tác dụng (2.3) ta có:

2.2 Siêu dao động tử quỹ đạo

Cũng như dây boson, đối với Siêu dây mở ta đặt điều kiện biên, đối với Siêu dây đóng ta đặt điều kiện tuần hoàn

2.2.1 Siêu dây mở

Vì dấu tương đối giữa các thành phần 1 và 2chỉ là vấn đề quy ước nên sẽ không mất tính tổng quát nếu ta đặt điều kiện tại 0 là:

Khi đã buộc điều kiện biên (2.15) thì dấu tương đối giữa 1 và 2 tại lại trở nên có ý nghĩa Lúc này ta phân biệt hai trường hợp:

- Điều kiện biên Neveu – Schwarz (miền NS):

- Điều kiện biên Ramond (miền R):

Nghiệm của các phương trình (2.14) thoả mãn các điều kiện biên (2.15)

- (2.17) có biểu thức khai triển tổng quát như sau:

A( , ) A( , )

Do đó ta phân biệt bốn miền như sau:

2.3 Siêu đại số dây

2.3.1 Lượng tử hóa Siêu dây

Siêu tọa độ A , tuân theo hệ thức phản giao hoán chính tắc đồng như sau:

Tính không vết và tính bảo toàn của T( ) cũng thấy ngay từ phương trình chuyển động (2.13)

Ngoài ra, cũng dễ dàng chứng minh rằng:

được xem là vector năng – xung lượng trên siêu lá thế

2.3.2 Siêu đại số Neveu – Schwarz và Ramond

Từ tensor năng – xung lượng T( ) ta xây dựng các toán tử L tương tự ( )nnhư đã làm với X

Thay vào các biểu thức:

( ) 00

1T

2

( ) 01

1T

2suy từ (2.32) và tiếp theo là các biểu thức khai triển (2.18), (2.19) ta tính được:

,n s

,n k

s 1

1

2

(2.35)

Trên cơ sở kết quả (2.35) ta hãy định nghĩa toán tử Ln như sau:

2

là các ma trận Dirac trong không – thời gian D chiều của Siêu dây Chú ý rằng với thỏa mãn hệ thức , 2 thì d ,d0 0

và do đó hệ thức (2.29) cũng được áp dụng cho cả trường hợp n, m = 0

Ngoài các vi tử Ln thỏa mãn hệ thức giao hoán (gọi là các vi tử phân bậc chẵn) ta còn lập các vi tử thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán (gọi là các

vi tử phân bậc lẻ) từ các dòng J tương ứng với các phép biến đổi siêu đối xứng (2.8)

Giả sử trong phép biến đổi (2.8) ta xem A là thông số phụ thuộc

Sử dụng tính chất (2.5) – (2.7) ta biến đổi các biểu thức ở (2.39) như sau:

Siêu đại số (2.46) được gọi là siêu đại sô Neveu – Schwarz, siêu đại số (2.47) được gọi là siêu đại số Ramond

2.4 Phổ khối lượng các trạng thái kích thích Siêu dây

Các vi tử Ln, Gs tác dụng trong không gian Fock các trạng thái kích thích dạng:

tại miền NS và tương tự (thay d cho b) tại miền R

Các trạng thái (2.54) thỏa mãn các phương trình như sau:

s 2 2

n 1

n n 1

n 2

sb b , miÒn NS1

a

nd d , miÒn R

(2.61)

trong đó a = 2 trong trường hợp dây mở và a = 8 trong trường hợp dây đóng

Thay (2.61) vào các phương trình có L0 ở (2.55) – (2.60), ta có:

Các kết quả (2.64) – (2.70) chứng tỏ rằng các Siêu dây có miền R

không chứa tachyon, trong khi đó các Siêu dây mở NS và Siêu dây đóng NS –

NS đều chứa tachyon (trạng thái không kích thích) với m2

= - 1 và m2 = -4

Chương 3 CƠ CHẾ KHỬ TACHYON

3.1 Khử tachyon trong Siêu dây

Ta đã biết ở chương trước, theo (2.64) và (2.67) cho thấy Siêu dây mở

NS và Siêu dây đóng NS – NS đều chứa tachyon (trạng thái không kích thích) với m2 = -1 và m2 = -4

Gliozzi, Scherk và Olive đã đề xuất một cơ chế khử tachyon như sau: Đưa vào toán tử chẵn lẻ G định nghĩa bởi:

s s 1 s 2

và từ đây suy ra s s

1 s 2

Như vậy, với Siêu dây NS ta phân biệt hai loại trạng thái: trạng thái với

số chẵn dao động tử b, có G = +1, và trạng thái với số lẻ dao động tử b, có G

3.2 Đối xứng nội tại dây và đại số dây với đối xứng nội tại dây

Lí thuyết động lực của Dây được xây dựng trên nền tảng đại số Dây tương ứng, trong đó số chiều không – thời gian D thể hiện ở số hạng dị thường và có vai trò quan trọng trong toàn bộ cơ cấu của lí thuyết

Mục này giới thiệu về một mô hình Siêu dây với đối xứng nội tại Giả

sử ngoài không – thời gian D chiều, Dây còn vận động trong một không gian nội tại d chiều với nhóm đối xứng O (p,q), p + q = d Giả sử chuyển động của Dây trong không gian nội tại này được đặc trưng bởi tensor phản xứng

ab( , ),a,b 1,2, ,d cùng với các đối tác siêu đối xứng của chúng ab(r, ) Cũng giống như X ( , ) và ( , ), ab là các vô hướng và ab(r, ) là các spinor Majorana trên lá thế

Chuyển động của Siêu dây được mô tả bởi tác dụng:

Các phương trình (3.7) dẫn đến các biểu thức khai triển mode của ab

và ab tương tự như X và Chẳng hạn, với Siêu dây mở, ta có: