Phương trình chuyển động của các trường thành phần trong phiến hàm dây

Lý thuyết Dây được xem là một phương hướng nghiên cứu có nhiềutriển vọng trong việc xây dựng mô hình Đại thống nhất các tương tác cơbản.. Dây có thể ở vô số các trạng thái kích thích, mỗ

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Đào Vọng Đức, người đãtận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn này

Em xin cảm ơn các thầy cô giáo khoa Vật lý và khoa Sau đại học trường

Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho chúng

2LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kếtquả nghiên cứu đưa ra trong luận văn chưa từng được công bố trong bất

kỳ một công trình nào khác

NGUYỄN XUÂN HUY

1 Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết dây 6

1.1 Hạt điểm và hạt dây 6

1.2 Phương trình Dây và khai triển tọa độ Dây 7

1.3 Đại số Dây 10

1.4 Các trạng thái kích thích 13

1.5 Siêu dây và siêu tọa độ 16

2 Hình thức luận phiếm hàm Dây 20 2.1 Phiếm Hàm trường dây mở 20

2.1.1 Miền NS 20

2.1.2 Miền R 23

2.2 Phiếm hàm trường dây đóng 25

2.2.1 Miền NS - NS 25

2.2.2 Miền NS - R 27

2.2.3 Miền R - NS 30

2.2.4 Miền R - R 30

2.3 Tải BRST trong lý thuyết dây 32

2.3.1 Tải BRST cho dây boson 34

2.3.2 Tải BTST cho siêu dây mở 37

2.3.3 Tải BRST cho dây đóng 45

2.4 Tác dụng phiếm hàm dây boson 46

2.5 Tác dụng phiếm hàm siêu dây 50

2.5.1 Tác dụng phiếm hàm siêu dây NS 51

3

2.5.2 Tác dụng phiếm hàm siêu dây R 54

3 Các trạng thái chân không 57 3.1 Chân không của dây boson 57

3.2 Chân không của siêu dây mở 59

3.2.1 Chân không của siêu dây mở NS 59

3.2.2 Chân không của siêu dây mở R 60

3.3 Chân không của siêu dây đóng 62

3.3.1 Dây boson đóng 62

3.3.2 Siêu dây đóng NS - NS 62

3.3.3 Siêu dây đóng NS - R 63

3.3.4 Siêu dây đóng R - NS 63

3.3.5 Siêu dây đóng R - R 63

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết Dây được xem là một phương hướng nghiên cứu có nhiềutriển vọng trong việc xây dựng mô hình Đại thống nhất các tương tác cơbản Dây có thể ở vô số các trạng thái kích thích, mỗi trạng thái tươngứng với một trường thông thường Với ý nghĩa đó có thể diễn tả bằnghình thức luận phiếm hàm Dây Phiếm hàm Dây là tập hợp vô hạn cáctrường thông thường, mỗi trường ứng với một mode kích thích của Dây.Các trường thành phần này chính là các trường vẫn gặp trong lý thuyếttrường thông thường hiện nay Phương trình cho các trường thành phầnđược suy ra từ một phương trình chung cho phiếm hàm Dây, và từ đó cũngsuy ra các mối liên hệ giữa các trường thành phần Đó là cơ sở để nghiêncứu về tương tác giữa chúng, và do vậy có ý nghĩa thiết thực trong việcđánh giá bàn luận về các mô hình lý thuyết qua các hệ quả định tính vàđịnh lượng

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu phương trình cho các trường thành phần được suy ra từphương trình chung cho phiếm hàm Dây

3 Những vấn đề chính được nghiên cứu

Nghiên cứu hình thức luận phiếm hàm Dây và tính toán các phươngtrình chuyển động

4 Đối tượng nghiên cứu

Lập tác dụng Dây và suy ra phương trình cho phiếm hàm Dây

Các phương trình chuyển động và các phương trình tương quan về cáctrường thành phần

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu siêu đối xứng

Hình thức luận đại số Dây

Phương pháp tính

Khi xem như một điểm thì khi chuyển động trong không - thời gian từ

vị trí 1 đến vị trí 2, hạt vẽ ra một đường gọi là đường thế



xµ τ



Khi xem như một dây thì khi chuyển động trong không - thời gian từ

vị trí 1 đến vị trí 2, hạt quét nên một mặt gọi là lá thế



Xµ τ, σ



Trong đó:

τ : có thể xem như thời gian riêng của Dây, −∞ < τ < +∞

σ :có thể xem như độ dài xác định vị trí từng điểm trên dây,0 ≤ σ ≤ π

Ta viết dưới dạng vector hai chiều trên lá thế như:

λα = τ, σ
, λ0 = τ, λ1 = σ

Lúc này chuyển động của hạt dây trong không - thời gian được mô tả

6

bởi tác dụng:

S = 12π

Z

d2ληαβ∂αXµ.∂βXµ (1.1)

= 12π

Z

dτ dσ ∂τµ∂τ − ∂σX0µ.∂σXµ
(1.2)

ηαη là metric MinKowski trên lá thế:

η00 = 1, η11 = −1, η01 = η10 = 0

Xuất phát từ phương trình Euler - Lagrange:



(1.7)

= 12π

ασµλ∂σXρ + ∂γXσ∂ασσµρ (1.10)

= 12π ηαδηµρ∂σXρ+ ∂γXλσασδµρ (1.11)

XRµmô tả các mode "chuyển động phải"

XLµmô tả các mode "chuyển động trái"

Đối với dây mở ta đặt điều kiện biên là:

X0µ ≡ ∂σXµ = 0 tại σ = 0, π (1.18)

Lúc này ta có biểu thức khai triển:

xµ như tọa độ của khối tâm dây

pµ như xung lương của khối tâm dây

αµn như các dao động tử quỹ đạo

Yêu cầu Xµ phải thực nên xµ và pµ phải thực và:

αµ+n = αµ−n

Đối với dây đóng ta đặt điều kiện tuần hoàn:

Xµ τ, σ
= Xµ

τ, σ + π
(1.22)Lúc này ta có biểu thức khai triển:

αµn : dao động tử quỹ đạo ướng với "chuyển động phải."

Với: P0 ≡ 1

π

Z π 0

dσT00 là véc tơ năng - xung lượng trên lá thế

Một cách tổng quá ta có:

Ln, Lm = n − m
Ln+m+ A n
.σn+m,0 (1.45)Trong đó A n
được gọi là số hạng dị thường và tính được là:

Để khắc phục nhược điểm này người ta đã xét đến siêu Dây Để mô tảsiêu Dây, ngoài tọa độ xµ τ, σ
người ta đưa thêm vào tọa độ spinor trên

lá thế ΨµA τ, σ
, A = 1, 2 Tương tự đối với siêu Dây ta có siêu Đại số baogồm các vi tử giao hoán Ln và các vi tử phản giao hoán Gr:



Ln, Gs = 1

Miền R: Siêu đại số Ramond

φ n1 n2···np


(1.67)

• Đối với dây đóng:

n p ˜φγ+1

n 1 · · · ˜φγ

+ q

φ n1 n2···np,m1m2···mq


(1.73)Suy ra:

Lý thuyết dây Boson có những hạn chế, chẳng hạn sự tồn tại các tachyon,

số chiều không - thời gian ngoại phụ quá nhiều Ngoài ra, như đã thấy cấutrúc lý thuyết, dây boson không có khả năng mô tả các trạng thái có spinbán nguyên Nhằm khắc phục các nhược điểm này, người ta đưa vào siêuđối xứng trên lá thế, thể hiện qua sự biến đổi qua lại giữa các tọa độ không

- thời gian Xµ τ, σ
với các đối tác của chúng - các siêu tọa độ phản giaohoán ψµ τ, σ
Đối với không - thời gian của dây đó là các vector, còn đốivới lá thế là các spinor hai thành phần ψAµ τ, σ
, A = 1, 2.Ngoài ra, chúng

là những đại lượng thực Majorana
:

(ψAµ)+ = ψµ+
A = ψµA (1.75)

Lúc này vị trí của dây trong không - thời gian được xác định bởi cả

Xµ τ, σ
và ψµ τ, σ
, và dây được gọi là siêu dây

Chuyển động của siêu dây được mô tả bởi tác dụng dạng:

S = S x

+ S ψ

(1.76)Với:

S x

= 12π

0ρα
BA∂αψµB (1.79)

δL

δ ∂αψAµ
=

i2π

¯

= − i2πψµB ρ

0

= − i2π ρ

0ρα
BAψµB (1.82)

Thay kết quả vào phương trình Euler - Lagrange

Khi đã buộc điều kiện trên thì dấu tương đối giữaψ1µ và ψ2µ tại σ = 0

trở nên có ý nghĩa Lúc này ta phân biệt làm hai trường hợp:

1 Điều kiện biên Neveu - Schwars miền NS
:

n∈Z−0

dµnein τ +σ

(1.92)

Chương 2

Hình thức luận phiếm hàm Dây.

Trong chương 1, số lượng tử hóa dây mới chỉ ở mức độ biến các tọa độ

Xµ, ψµ, · · · thành các toán tử tuân theo các quy tắc giao hoán nhất định

Do đó vẫn chưa có khả năng mô tả các quá trình sinh và hủy dây, để cóthể mô tả quá trình chuyển hóa giữa các dây cần phải xây dựng lý thuyếttrường dây lượng tử Để chuyển từ lượng tử hóa dây đơn lẻ sang lý thuyếttrường dây lượng tử, ta chuyển từ hàm sóng mô tả trạng thái của dây sangphiếm hàm trường dây

Viết tường minh cho một số trường thành phần ứng với các mode kíchthích thấp, ta có:

o, n ≥ 0 (2.7)

i, λ ≥ 5

Như vậy, ψ x
là tachyon vớim2 = −1, Aµ x
không khối lượng,Cµ x

có m2 = 1, · · ·

Một cách tổng quát, trường thành phầnφn1 ···n r ,λ 1 ···λ s

µ 1 ···µ r ,γ 1 ···γ s x
thỏa mãn phươngtrình Klein - Gardon với:

Ta có thể khử tachyon thông qua toán tử chiếu GSO, bằng cách đặt

G = −1 lên trạng thái vật lý, và do đó biểu thức khai triển 2.2
chỉ cótrường thành phần số lẻ s Viết lại 2.2
thành:

λ1 · · · bµ

+ 2p+1



#Ψ

Từ đây suy ra:

Phương trình Aµ 2
= 0 cùng với điều kiện 2.19
cho phép đoánnhận Aµ x
là trường gauge với điều kiện Lorentz gauge 2.19
và do đócác phương trình 2.5
, 2.5
được gọi là điều kiện gauge của dây

LnΨ = 0 , n ≥ 1 GkΨ = 0 , k > o (2.24)

cho nên chỉ cần viết 2.24
cho n = k =1.

Xuất phát từ 2.23
viết phương trình cho các trườngψ x
, ξµ x
, βµ x

√

2γ

ν∂νξµ x
− iξµ x

.αµ−1++

 + 2
ξµ x
= 0 (2.31)

 + 2
βµ x
= 0 (2.32)Như vậy, trường ψ x
không khối lượng, trường ξµ x
và βµ x
có

m2 = 2

Xét sang các phương trình 2.24
với biểu thức tường minh của L1:

L1 = −1

2X

k∈Z

αν−kαν,k+1 + kdν−kdν,k+1
(2.33)phương trình L1Ψ = 0 cho:

λ 1 · · · bσ

− 2p+1

γ 2q+1|0i

(2.36)

Ở đây số dao động tử b và ˜b đều là lẻ.

Phiếm hàm Φ thỏa mãn các phương trình:



L0 − 12

GλΦ = 0, ˜GλΦ = 0, λ > 0 (2.39)Các phương trình này ta quy về:

˜bσ

− 1 2

Với 2.44
, phương trình 2.37
cho:

˜bν

− 1 2



|0i = 0

(2.45)

Từ đây suy ra:

tµν x
= 0 (2.46)Phương trình 2.37
với L˜0 cũng cho cùng kết quả như vậy.

+

∞

X

1 2

˜bτ

− 1 2

bσ−1 2

˜bτ

− 1 2

λ 1 · · · bσ2+p+1

λ 2p+1 α ˜ν

+ 1 m1 ··· ˜ αν

+ s ms

˜bτ1+

γ 1 · · · ˜bτ

+ q

γ q |0i

(2.50)

Chú ý rằng phiếm hàm Ψ mang một chỉ số spinor không - thời gian,

và do đó các trường thành phần cũng đều mang thêm chỉ số spinor ngoàicác chỉ số Lorentz đã viết tường minh

Phiếm hàm Ψ thỏa mãn các phương trình:



L0 − 12

trong ký hiệu:

φ,

1

2 ;, ,σ;, x
≡ φ,

n

−iφσ x
bσ

− 1 2

Phương trình L˜0φ = 0 cũng cho công thức kết quả như vậy.

Xét sang các điều kiện gauge, ta có:

−iφσ x
bσ

− 1 2

λ1 · · · bσ

+ 2p+1

γ2p+1|0i

(2.64)Phiến hàmΦ thỏa mãn các phương trình:

Φ =

n

−iφσ x
bσ

− 1 2

n 1 ···n r ,k 1 ···k p ;m 1 ···m s ,l 1 ···l q

µ 1 ···µ r ,σ 1 ···σ p ;ν 1 ···ν s ,τ ···τ q x

n 1 · · · αµ+r

n rdσ

+ 1

k 1 · · · dσ

+ p

l q |0i (2.70)Chú ý rằng ϕ mang hai chỉ số spinor không - thời gian, và do đó cáctrường thành phần cũng đều mang thêm hai chỉ số spinor ngoài các chỉ

số Lorentz đã viết tường minh

Phiếm hàm Φ thỏa mãn các phương trình:

L0ϕ = 0 , L˜0ϕ = 0 (2.71)

và các điều kiện gauge:

Lnϕ = 0, ˜Lnϕ = 0, n > 0 (2.72)

Gkϕ = 0, ˜Gkϕ = 0, k > 0 (2.73)Các điều kiện này quy về:

ϕ = 0 (2.76)

và từ đây suy ra rằng trong biểu thức khai triển 31
chỉ xuất hiện cáctrường thành phần với các chỉ số thỏa mãn điều kiện

n1 + · · · n2
+ k1 + · · · + kq
= m1 + · · · + ms
+ l1 + · · · lq

Trường thành phần cấp thấp nhất trong 2.70
ứng với r = s = p =

q = 0
là trường vô hướng, ta ký hiệu bởi ϕ x
:

ϕX τ, σ
, φ τ, σ
 = φ x
+ · · · |0i (2.77)Phương trình 2.71
cho:

Các điều kiện gauge 2.74
, 2.75
cho các hệ thức giữa các trường cấpcao hơn

Trong nhóm đối xứng gauge xét vi tử Tn thỏa mãn:

[Tn, Tm] = ifnmkTk (2.79)với fnmk : hằng số cấu trúc, phản đối xứng theo các chỉ số n, m, k

Người ta xây dựng các cặp biến số vong cn và phản vong bn tương ứngthỏa mãn hệ thức phản giao hoán:

{cn, bm} = δnm (2.80)

{cn, cm} = {bn, bm} = 0 (2.81)Bây giờ ta lập một toán tử Q:

Q = X

n

Tncn − i

2X

fnmk{cncmbk, Tlcl}

= −i2X

n,m,k,l

fnmkTlcncm{bk, cl}

= −i2X

n,m,k

fnmkTkcncm

= −i2X

n,l,k

flnkTkclcn

≡ i2X

n,l,k

fnlkTkclcn − i

2X

n,l,p,q

flpq{Tncn, clcpcq}

= −i2X

n,l,p,q

flpqTnclcp{cn, bp}

= −i2X

n,l,p

flpnTnclcp

= −i2X

k,l,p

flpkTkclcn

= −i2X

n,l,k

flnkTkclcp

≡ i2X

n,m,k,l,p,q

fnmkflpq({cnbp} cm − cn{cm, bp})

= 12X

n,m,k,l,p,q

fmpkfknqcncmcpcqbq (2.85)

(fmpkfknqcncmcpcq + fpnkfkmqcmcpcn+ fmnkfkpqcpcncm)

= 1

3X

n,m,k,l,p,q

(fmpkfknq + fpnkfkmq + fnmkfkpq) cncmcp

Như vậy Q2 = 0 và trong lý thuyết Dây cũng gọi toán tử Q là tải BRST

2.3.1 Tải BRST cho dây boson

Trước hết, nếu bỏ qua số hạng dị thường, tức là nếu:

[Ln, Lm] = (n − m) Ln+m (2.88)thì toán tử:

Q ≡ X

n∈Z

LnC−n− 1

2X

n∈Z

n − m
: c−nc−mbn+m : −a0c0 (2.92)

a0 : được gọi là thông số Regge.

Nhận xét ngay rằng Q+ = Q Biểu thức ref2.91
còn có thể viết dướidạng:

Q = X

n∈Z

Lnc−n + 1

2X

n∈Z

: L(c)n c−n : −a0c0 (2.93)trong đó L c

n2



nc−ncn (2.109)Với dây boson, ta có a = b = −12D, và do đó:

∞

X

k,l=1

Vlnkc−lbk + Wknl b−lck − Wnlkclbk

2.3.2 Tải BTST cho siêu dây mở

Tải BTST cho siêu dây NS

Với siêu dây NS ta có siêu đại số phân bậc:

[Ln, Lm] = n − m
Ln+m + A L

n
δn−m (2.111)

n
, A F

λ
= A G

B

.δAB

Chú ý các tính chất đối xứng sau đây của các hằng số cấu trúc:

VABC = − AB
VC

UAB,C = A, B
UBA,C (2.126)

SAB,C = A
B
A, B
SBA,C (2.127)trong đó:

Ta hãy dùng ký hiệu chung gA cho dao động tử vong và siêu vong, hA

cho dao động tử phản vong và phản siêu vong, với quy ước:

gn = cn, gλ = γλ, hn = bn, hλ = ηλ (2.137)Lúc này các hệ thức phản giao hoán có thể viết gộp lại thành:

với điều kiện hermintian:

gA+ = g−A , h+A = A
h−A (2.139)Quy tắc giao hoán giữa gA, hA với các vi tử FB thành:

[gA, FB]

− B
A,B
= [hA, FB]

− B
A,B
= 0 (2.140)Tìm toán tử Q ở dưới dạng

Q =X

n∈Z

Lnc−n+ X

λ∈+ 1 2

Gλγ−λ− 1

2X

4f B
−5ρ B
B2 + 1 + 8a0

.gAgA

(2.150)

Từ biểu thức trên đây của Q và từ các hệ thức giao hoán giữa các daođộng từ ta tính được:



bµm+λc−m+



λ − m2

ADg−AhB + D
WA

BDh−AgB − A, B
WB

DAgAhB

(2.156)

42 Tải BRST cho siêu dây R

Với siêu dây R siêu đại số phân bậc cũng có dạng giống như 2.111
2.113
, nhưng các chỉ số lẻ bây giờ nhận các giá trị nguyên, do đó cả vi

-tử G0 và siêu đại số viết dưới dạng triển khai cho các số A, B, C > 0 sẽnhư sau:

VCAD γBD − WBAD γCD + A, C
WD

BCγAD = 0 (2.167)

VBEA τCE + C
VA

ECτBE − VBCE τEA (2.168)

4f B
−5ρ B
B2 + 8a0

.g−BgB

(2.184)

dµn+λc−n+



λ − n2

ADg−AhB + D
WA

BDh−AgB − A, B
WB

DAgAhB+

2.3.3 Tải BRST cho dây đóng

Với dây đóng thì tải BRST là tổng của hai tải - tải viết cho các modechuyển động phải QR và tải viết cho các mode chuyển động trái QL:

Trường dây boson được mô tả bởi các tác dụng bất biến BRST dạng:

S = −

Z

dĐxΦ+[X, c, b] QΦ [X, c, b] (2.200)Tính bất biến của S đối với phép biến đổi:

δΦ [X, c, b] = Q ∧ [X, c, b] (2.201)

ta được:

Ta viết tác dụng 2.200
khai triển cho các mode kích thích thấp nhấtlà:

Q [X, c, b] = {Φ [X] + · · · } + b0{c−1χ [X] + · · · }

= φ x
− iAµ x
αµ

−1 + · · · + b0c−1ρ x
+ · · ·  |0i

(2.212)

Ta sẽ sử dụng |0−i và do đó khai triển 69.8 - Với biểu thức 58.6 củaQ,

ta tính các số hạng xuất hiện ở QΦ [X, c, b] như sau:

Nhận xét rằng ở vế phải 2.216
trong tổng đầu chỉ có đóng góp của

số hạng với n = 1, trong tổng sau chỉ có đóng góp của các số hạng với

n = 1, m = −1 và n = −1, m = 1, và chú ý rằng b0c0|0i = |0i, ta có:

Qc0b−1ρ x
|0i = L−1c1−2c−1c1b0
c0b−1ρ x
|0i = − L−1c0+2c−1
ρ x
|0i

(2.218)

Tiếp theo, ta có:

L−1ρ x
|0i = −1

2X

La-ta có:

Aµ− ∂µ ∂νAν
= 0 (2.226)hoặc là viết:

Điều kiện này có tác dụng buộc các trường thành phần đứng với thừa

số c0 trong biểu thức khai triển 2.212
triệt tiêu Quả vậy, do b0|0i =

Trong phần này ta đi tìm hiểu về hai siêu dây cơ bản NS và R

2.5.1 Tác dụng phiếm hàm siêu dây NS

Trường siêu dây NS được mô tả bởi tác dụng:

Biểu thức khai triển phiếm hàm ΦN S[X, ψ, c, b, γ, β] viết tường minhcho các mode kích thích thấp nhất có dạng:

QN S =

nh

−iAµ x
bµ

− 1 2

Bây giờ ta tính tác dụng 2.231
với biểu thức khai triển 2.232
của

QN S Trước hết tính [Q, c0b0] Dùng 2.141
, ta có:

{Q, c0} = −1

2X

λ (β−λγλ − γ−λβλ) − 1

2

(2.235)Thay các kết quả này vào đồng nhất thức:

Tác dụng toán tử [Q, c0b0] lên phiếm hàm 2.232
, ta có chú ý rằng

b0|0i = 0, b0c0|0i = |0i
:



Aµbµ

− 1 2

+ L0f γ−1

2 + ˜f γ−1

2

+ 2Bγ−1

2 · · ·



|0i

(2.238)Tiếp theo, dùng biểu thức tường minh của L0:

|0i = 1

2Aµ x
.bµ

− 1 2

− f γ−1

2 − ˜f−1

2 + · · ·

+ · · ·

Aνbν1 2

+ f γ−1

2 + ˜f β1

2 + · · ·

i

h





Aµbµ1 2

+ f γ−1

2 + ˜f β−1

2 + · · ·

i++ 2

h

Dνbν1 2

2.5.2 Tác dụng phiếm hàm siêu dây R

Trường siêu dây R được mô tả bởi tác dụng:

Biểu thức khai triển của ΦR[X, φ, c, b, γ, β] viết tường minh cho cácmode kích thích thấp nhất có dạng:

χ

x
+ · · ·



|0i (2.247)

Bây giờ ta tính tác dụng 2.245
với biểu thức khai triển 2.247
của

ΦR Trước hết tính {Q, c0β0} Dùng 2.141
ta có:

{Q, c0} = −1

2X

r,n∈Z

[br+sγ−rγ−s, β0]

= G0 + 1

2X

γ02β0|0i ≡ 1 − γ0β0
γ0|0i = 0 (2.252)