Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 34

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPTBảng A Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề.. Khảo sát và vẽ đồ thị C.. Từ một điểm bất kỳ trên đờng thẳng x=2 ta có thể kẻ đợc bao nhiêu tiếp tu

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT

Bảng A

(Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề).

Bài1: (4 điểm)

Cho hàm số f(x)=x3- 6x2+9x-1 (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

2 Từ một điểm bất kỳ trên đờng thẳng x=2 ta có thể kẻ

đợc bao nhiêu tiếp tuyến đến (C)

(Đại học ngoại thơng khối A năm 2000)

Bài2: (4 điểm)

1 Tính I= dx

2 Cho f(x) = 2x + m + log2mx2 - 2(m – 2)x+ 2m-1

Tìm m để f(x) có tập xác định là R.

Bài3: (4 điểm)

Giải phơng trình: ln(sinx+1) = esinx-1.

Bài4: (2 điểm)

Giải hệ phơng trình:

Bài5: (4 điểm)

Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a Lấy M

trong đoạn AD' , N trong đoạn BD với AM=DN=x, (0<x<a ).

1 Chứng minh với x= thì MN ngắn nhất

2 Khi MN ngắn nhất chứng minh: MN là đoạn vuông góc

chung của AD' và DB.

Bài6: (2 điểm)

Cho x,y,z Chứng minh:

Đáp án Đề thi Học sinh giỏi lớp 12 THPT

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao

đề)

ài

m

Bài1

(4điể

m)

1 (2điể

m)

Tập xác định: Chiều biến thiên: y'=3x2-12x+9

y'=0 x=1, x=3 Hàm số đạt cực đại tại x=1, y=3 Hàm số đạt cực tiểu tại x=3, y=-1 Tính lồi lõm và điểm uốn

y'' =6x-12

Hàm số lồi ( Hàm số lõm (2,+ )

Điểm uốn x=2, y=1 limy=+ ; limy=-x->+ x->-Bảng biến thiên

Đồ thị: x=0 =>y=-1 y=0 =>x3-6x2+9x-1=0 Lấy thêm điểm phụ: x=3 =>y=3 x=0 =>y=-1

Vẽ đồ thị: Học sinh vẽ chính xác đẹp

0,5

0,5

0,5

0,5

x - 1 3 +

y' + 0 -

y'' 3 +

- -1

2 (2điể

m)

Xét A(2,a) trên đờng x=2 Tiếp tuyến tại A có

ph-ơng trình là:

y=(3x02-12x0+9)(x-x0)+x03-6x02+9x0-1 Tiếp tuyến này qua A khi và chỉ khi a=(3x02-12x0+9)(2-x0)+x03-6x02+9x0-1

 2x03-12x02+24x0-17+a=0 (1)

Số nghiệm của phơng trình (1) chính là số tiếp tuyến qua A

Xét g(x)= -2x3+12x2-24x+17

g'(x)=-6(x-2)2

 g(x) luôn nghịch biến và có tập giá trị là (- , + ) do đó phơng trình (1) luôn có một nghiệm duy nhất

Vậy từ một điểm bất kỳ trên x=2 luôn kẻ đợc đúng một tiếp tuyến đến (1)

0,5

0,5

0,5

0,5

Bài 2

(4điể

m)

1 (2điể

m)

= dx - dx+ dx - dx

= +

0,5

0,5

0,5 0,5 2

(2điể

m)

Ta chỉ cần mx2-2(m-2)x+2m-1>0 R

Khi

 =>m >1

Vậy m>1 thì f(x) có tập xác định R

0,5 0,5

0,5

0,5

Bµi 3

(4®iÓ

m)

§iÒu kiÖn sinx -1, x - (k Z)

§Æt ln(sinx+1)=y => sinx+1=ey

ta cã hÖ

LÊy (1) trõ (2) ta cã ph¬ng tr×nh

esinx – ey = y-sinx

NÕu sinx > y th× esinx > ey Ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm

NÕu sinx < y th× esinx < ey Ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi sinx=y thay vµo (2) ta cã: esinx=sinx+1 (3)

XÐt f(x)= ex-x-1 víi x -1

f'(x)= ex – 1=0  x=1 VËy ph¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm sinx=0 =>x=k

(k Z)

0,5

0,5

0,5

0,5 0,5

0,5

0,5 0,5

Bµi 4

(2®iÓ

m)

NÕu (x,y,z) lµ mét nghiÖm cña hÖ gäi x=

min(x,y,z) th× x y,x z (4)

 z 1+ =x =>z x VËy z=x

x y => =>1+ 1+

 z y (5)

Tõ (4) vµ (5) ta cã x=y=z nªn x=1+ =>

x=y=z=

0,5

0,5

0,5

0,5

(4®iÓ

m)

1 (2®iÓ

m)

Dùng MM' AD; NN ' AD

DNN' vu«ng c©n nªn AM'=MM'

Ta cã AM2= x2=2MM' 2 =>MM'=AM'=

V× N ' DN c©n => N 'D=N'N=

=> c©n MM'A = c©n NN'D

=>AM'=DN'=>AN'=DM' M'N'= AD - 2AN'= x M'N'=a - 2(a- )= x - a

MM'N t¹i M' nªn MN2

=M'M 2 +M'N2= +(M'N' 2 +N'N2)= +(x -a)2 +

=3x2 -2ax +a2

§Æt f(x)=3x2 -2ax +a2 xÐt trªn

f'(x)= 6x- 2a =0 <=> x=

VËy f(x) nhá nhÊt khi x=

MN2=3 - 2a +a2

0,5

0,5

0,5

= - +a2 = => MN= 0,5

2 (2điể

m)

Xét MM'D: MD2=MM' 2 +M'D2

và MN2= DN2=x2=

=>MN2+DN2=

Ta lại có MD2=MN2+DN2=

Vậy MDN tại N =>MN DB Xét AN'N ta có AN2=AN' 2 +N'N2= + =

AM=x= MN= nên AM2+MN2= do đó

AN2=AM2+MN2 => AMN tại M

MN AD Vậy MN là đờng vuông góc chung

0,5

0,5

0,5 0,5

Bài6

(2

điểm

)

Đặt sinx=a; siny=b; sinz=c thì a,b,c

Ta có

Đặt u= ; v= ; do a b c 1 thì u v 1 ta chứng minh:

ta có:

Dấu = khi u= ; v= hay x= ; y= ; z=

0,5

0,5

0,5

0,5