Tính giá trị của biểu thức một cách hợp lí.. a Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601.. Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau.. Tính số học sinh mỗi lớp biết
Trang 1Đề thi học sinh giỏi huyện Môn: Toán 6
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề)
.
Đề số 21.3
Câu 1: (đ) a Tính giá trị của biểu thức một cách hợp lí.
A = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + 9 + 10 - 11 - 12 + - 299 - 300 + 301 + 302
b Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + + 499, B = 4100
Chứng minh rằng A <
3
B
c Rút gọn B = 2 99
3
1
3
1 3
Câu 2: (2,5đ) a) Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601.
b) Chứng tỏ rằng 21 4
n n
+ + là phân số tối giản.
c) Tìm cặp số nguyên (x; y) biết: xy - 2x + 5y - 12 = 0
Câu 3: (1,5đ) Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau Lớp 6A có 1 bạn thu
đợc 26 kg còn lại mỗi bạn thu đợc 11kg Lớp 6B có 1 bạn thu đợc 25 kg còn lại mỗi bạn thu
đợc 10kg Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu đợc trong khoảng 200kg đến 300kg
Câu 4: (2đ) Cho ∠AOB và tia phân giác của nó Trên nửa mặt phẳng có chứa tia OB với bờ
là đờng thẳng OA ta vẽ tia Oy sao cho ∠AOy > ∠AOB Chứng tỏ rằng:
a Tia OB nằm giữa 2 tia Ox, Oy
b ∠xOy =
2
BOy AOy+ ∠
∠
Câu 5a: (2 điểm) 1) Chứng minh rằng: 281 + 255 10
2) Cho 100 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Cứ qua 2 điểm ta vẽ một
đờng thẳng Có tất cả bao nhiêu đờng thẳng
Câu 5b: (2 điểm) 1) Chứng minh rằng tổng sau:
P = 1 + 3 + 32 + 33 + + 361 + 362 không là số chính phơng
2) Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ tự từ A đến B là A1, A2, A3, A4, A2004 Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm A; A1; A2; ; A2004; B Tính số tam giác đợc tạo thành
Trang 2Đáp án đề 3
I Phần chung (8đ).
Câu 1: (2đ)
a) A = 1 + (2 - 3 - 4 + 5) + (6 - 7 - 8 + 9) + + (298 - 299 - 300 + 301) + 302
A = 1 + 302
A = 303 (0,5đ) b) Ta có: 4A = 4 + 42 + 43 + + 4100 (0,25đ) B = 4100
=> 4A = 4100 - 1 < B
=> 3A < B => A <
3
B
(0,75đ)
c) 3B = 1 +
3
1 + + 98
3
1 => 3B - B = 1 - 99
3
1 => B =
− 99
3
1 1 2
1
(0,75đ) Câu 2: (2,5đ)
a) (0,75đ) Vì 601 là số lẻ nên 1 trong 2 số nguyên tố phải có 1 số chẵn mà số chẵn là số nguyên tố chỉ có thể bằng 2 Vậy số kia là 601 - 2 = 599
b) Gọi d = ƯC (21n + 4; 14n +3)
=> 2(21n + 4) - 3(14n + 3) d (0,25đ)
=> 1 d => d = 1 (0,25đ)
Vậy (21n + 4 : 14n + 3) = 1 nên 21 4
14 3
+ + là phân số tối giản.(0,25đ).
c) xy - 2x + 5y - 12 = 0
x(y - 2) + 5(y - 2) + 2 = 0
Vì x, y ∈ Z => x + 5; y - 2 ∈ Ư(2) = {±1; ±2}
=> (x; y) = (-6; 0); (-4; 4); (-7; 1); (-3; 3) (0,5đ)
Câu 3: (1,5đ)
Gọi số giấy mỗi lớp thu đợc là x (kg) thì
(x - 26) 11 và (x - 25) 10 (0,25đ)
Do đó (x - 15) ∈ BC (10; 11) và 200 300 (0,5đ)
=> x - 15 = 220 => x = 235 (0,25đ)
Số HS lớp 6A là (235 - 26) : 11 + 1 = 20 HS (0,25đ)
Số HS lớp 6B là (235 - 25) : 10 + 1 = 22 HS (0,25đ)
Câu 4(2đ) Vẽ hình đúng đợc( 0,25đ)
a) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA
Trang 3Ta có tia Ox là phân giác của góc AOB
=> ∠AOx < ∠AOB mà ∠AOB < ∠AOy
=>∠ AOx < ∠AOB < ∠AOy
=> OB nằm giữa 2 tia Ox và Oy (0,75đ)
b) Theo a có Ox nằm giữa 2 tia OA và Oy (1đ)
=> ∠xOy = ∠xOB + ∠Boy
∠xOy = ∠Aoy - ∠Aox
2 ∠xOy = ∠Aoy + ∠Boy
=> ∠xOy = ∠Aoy + ∠Boy
2
II Phần riêng.(2đ)
Câu 5a.(2đ)
1 CMR: 281 + 255 10
Có 281 - (24)20 2 = (16)20 2 Có chữ số tận cùng là 2 (0,25đ)
255 = (24)13 23 = (16)13 8 Có chữ số tận cùng là 8 (0,25đ)
=> 281 + 255 có chữ số tận cùng = 0 => 281 + 255 10 (0,5đ)
2 Chọn một điểm Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại, ta vẽ đợc 99 đ-ờng thẳng (0,5đ)
- Làm nh vậy với 100 điểm ta đợc 99.100 đờng thẳng.( 0,25đ)
- Nếu nh vậy mỗi đờng thẳng đợc tính 2 lần Nên số đờng thẳng là: 99.100 : 2 = 4950 đờng thẳng (0,25đ)
Câu 5b (2đ)
1 P = (1 + 3 + 3 2 + 3 3 ) + (3 4 + 3 5 + 3 6 + 3 7 ) + + (3 56 + 3 57 + 3 58 + 3 59 ) + 3 60 + 3 61 + 3 62
= (40 + 34 40 + + 356 40) + 360 + 361 + 362 (0,25đ)
- Các số hạng trong ngoặc đều có tận cùng là 0
- Số 360 = (32)30 = 930 => chữ số tận cùng là 1
- Số 361 = 3.360 => có chữ số tận cùng là 3
- Số 362 = 9.360 => có chữ số tận cùng là 9 (0,5đ)
Vậy tổng P có chữ số tận cùng là 3 => P không là số chính phơng (0,25đ)
2 (1đ)
Trên đoạn AB có các điểm A; A1; A2; A3; ; A2004; B do đó tổng số điểm trên AB là
2006 điểm suy ra có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó
- Mỗi đoạn thẳng (VD MA) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng còn lại và các đoạn thẳng tơng ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác (0,5đ)
O
A
x B
y
Trang 4- Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005 - 2006 = 4022030 tam giác (lu ý khi kết hợp
MA với MA1 hay MA1 với MA ta đợc 2 tam giác nhng thực ra chỉ là 1)
=> Số tam giác thực có là 4022030 : 2 = 2011015 (0,5đ)