ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2

ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2 ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2 ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2 ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2 ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2 ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2 ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2 ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2 ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2 ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2 ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2 ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2 ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2 ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2 ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2 ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2 ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2

Trang 1

PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

NEO

ĐỀ SỐ 1.

ĐỀ LUYỆN ĐẦU NĂM HSG CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2016-2017 Môn: Toán - Lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1

1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x(x+4)(x+6)(x+10) +128

2 Cho a b 2 b c 2c a 2 a b  2c2b c  2a2c a  2b2.

Chứng minh a = b = c.

3 Chứng minh : a 5 - a chia hết cho 30 với aZ Từ đó suy ra a 5 và a có chữ số tận cùng giống nhau.

Câu 2

1 Cho các số a,b c thoả mãn điều kiện : 2 2 2

0 14

a b c

  





 Tính a4 b4 c4

2 Cho các số a, b, c thoả mãn các hệ thức: a 3 - 3a 2 +5a -17= 0, b 3 -3b 2 +5b+11= 0 Tính a + b

3 Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng: 23



c a c

b c b

a

Câu 3

1 Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2a2  a 3b2 b

Chứng minh rằng: a b và 3a 3b 1 là các số chính phương.

2 Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 6x + 5y + 18 = 2xy

Câu 4 Cho ABC các đường cao BH và CK cắt nhau tại E Qua B kẻ đường thẳng Bx vuông góc với AB Qua C kẻ đường thẳng Cy vuông góc với AC Hai đường thẳng Bx và

Cy cắt nhau tại D.

1 Chứng minh tứ giác BDCE là hình bình hành.

2 Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh M cũng là trung điểm của ED.

3 ABC phải thỏa mãn điều kiện gì thì D, M, A thẳng hàng.

Câu 5

Trang 2

Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2016, người ta làm như sau lấy ra hai số bất

kì và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không? Tại sao?

NEO

ĐỀ SỐ 2.

Câu 1

1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 7 + x 2 + 1

2 Cho (x + 3y) 3 - 6(x + 3y) 2 +12(x + 3y) = -19

Tính giá trị của biểu thức A = x + 3y

Câu 2

1 Giải phương trình : (x 2 +3x +2)( x 2 +7x+12) – 24 = 0

2 Chứng minh: a25b2 (3a b ) 3 ab 5

3 Cho số tự nhiên  9 2009

a 2 , b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của

b, d là tổng các chữ số của c Tính d.

Câu 3

1 Cho 3 s th c a, b c khác không tho + mãn a+b+c =2012 v ố thực a, b c khác không thoả+ mãn a+b+c =2012 và ực a, b c khác không thoả+ mãn a+b+c =2012 và ả+ mãn a+b+c =2012 và à 1 1 1 1

2012

a b c  

Ch ng minh r ng trong 3 s a , b, c có ít nh t m t s b ng 2012 ứng minh rằng trong 3 số a , b, c có ít nhất một số bằng 2012 ằng trong 3 số a , b, c có ít nhất một số bằng 2012 ố thực a, b c khác không thoả+ mãn a+b+c =2012 và ất một số bằng 2012 ột số bằng 2012 ố thực a, b c khác không thoả+ mãn a+b+c =2012 và ằng trong 3 số a , b, c có ít nhất một số bằng 2012

2 Cho ba số x, y, z thỏa mãn x    y z 3 Tìm giá trị lớn nhất của B  xy  yz  zx.

3 Tìm số tự nhiên a và b thỏa mãn: a – b = b a .

Câu 4

1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, M là điểm tùy ý thuộc cạnh BC Trên các cạnh AB, AC thứ tự lấy các điểm F và E sao cho ME//AB, MF// AC Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AM, Gọi P và Q thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ F và E xuống cạnh BC

a) Chứng minh ba điểm E, O ,F thẳng hàng

b) Khi M di chuyển trên cạnh BC thì FP + EQ có độ dài không đổi.

c) Tìm vị trí điểm M trên BC để FE//BC

2 ChoABC, Cx là phân giác ngoài của góc C.Trên Cx lấy M( khác C)

Trang 3

Chứng minh rằng : MA + MB > CA + CB

Câu 5Giải phương trình : x 2 +

2

( 1)

x

Hết

NEO

ĐỀ SỐ 3.

Câu 1(4 điểm)

1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (a+1) 4 + a 2 ( a+ 1) 2 + 2a(a+1) +1

2 Cho các số nguyên a b c, , thoả mãn: (a b )3(b c )3(c a )3 210 Tính giá

trị của biểu thức A = (a - b) (b - c) (c - a) và H  a b  b c  c a .

1 Giải phương trình: (6x8)(6x6)(6x7)2 72

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P(x 2015)2 (x2016)2

3 Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x 2 - xy - y 2 + 3x + 3y – 9=0

Câu 3 (4 điểm)

1 Cho 3 số p, p + k, p + 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh k chia hết cho 6.

2 Cho đa thức f(x) = x2  x 12015x2  x 12016- 2 Chứng minh đa thức f(x) chia hết cho x 2 – x.

Câu 4 (6 điểm)

1 Cho hình chữ nhật ABCD có ADB 60 0 Qua điểm A kẻ đường thẳng song song với BD, đường thẳng này cắt tia phân giác của góc ADB tại M Gọi N và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M xuống các đường thẳng AD và AB.

a) Chứng minh tứ giác AMBD là hình thang cân.

b) Gọi giao điểm của NK với BD là E Chứng minh ba điểm M, E, C thẳng hàng.

Trang 4

2 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, H là điểm nằm trong tam giác Gọi K, P, Q thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H xuống các cạnh BC,CA, AB Chứng minh

BK CP AQ = 2 2 2

CK AP BQ Từ đó tìm vị trí của điểm H để 2 2 2

BK CP AQ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho các số dương x y z, , thỏa mãn x y z   3

2

x x y yz z  .

Hết

NEO

ĐỀ SỐ 4.

Câu 1

1 Phân tích thành nhân tử: a8 + a 4 +1

2 Chứng minh rằng với n  N*thì 3 2



n

n là hợp số.

Câu 2

1 Cho c¸c sè a, b , c kh¸c 0 tho¶ m·n

 

TÝnh g¸ trÞ cña biÓu thøc :A x 2008y2008z2008

2 Chøng minh r»ng 1 2 +2 2 + 3 2 + +n 2 = ( 1)(2 1)

6

n n n

3 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2x y z x

  +2y x z y

  +2z x y z

  =3

4

Câu 3

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A x 2  2y2  2xy 2x 4y 2016

2 Cho đa thức P(x) = x 2 + ax + b với a, b là các số nguyên Biết rằng đa thức x 4 + 6x 2 + 25 và đa thức 3x 4 + 4x 2 + 28x + 5 cùng chia hết cho P(x) Chứng minh 2020 chia hết cho P(-3)

Trang 5

3 Giải phương trình: 2 1 2 1 2 1 2 1 1

x  x x  x x  x x  x 

Câu 4

1 Cho ABC đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a

a) Tính số đo các góc ACM

b) Chøng minh AM  AB c) Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a CMR MNP đều.

2 Cho góc nhọn xOy và điểm A trong góc đó Tìm trên Ox điểm B và trên Oy điểm C sao cho chu vi ABC là nhỏ nhất.

Câu 5

1 Cho a, b, c là số tự nhiên không nhỏ hơn 1 CMR: 2 2 2

1 a 1 b 1 c 1 abc

2 Tìm giá trị lớn nhất của M = 3 22 6 10

2 3

x x

NEO

ĐỀ SỐ 5.

Câu 1

1 Phân tích thành nhân tử:

a) (x 2 – x +2) 2 + (x-2) 2 b) 6x 5 +15x 4 + 20x 3 +15x 2 + 6x +1

2 Cho M = a 5 – 5a 3 +4a với aZ Chứng minh M120

3 Cho a, b, c thoả mãn: a b c

c

 

= b c a

a

 

= c a b

b

 

Tính giá trị M = (1 +b

a)(1 +c

b)(1 + a

c ) Câu 2

1 Tìm các số x, y biết 4x 2 + 4y – 4xy +5y 2 + 1 = 0

2 Tìm giá trị lớn nhất của P = ( 10) 2

x

x 

3 Tìm dư trong phép chia x 100 cho (x – 1) 2

Câu 3

Trang 6

1.Tìm các số ab sao cho a b ab

 là số nguyên tố

2 Tìm a, b để M = x 4 - 6x 3 +ax 2 +bx + 1 là bình phương của một đa thức khác.

3 Gi¶i ph¬ng tr×nh :

18

1 42 13

1 30

11

1 20

9

1

2 2



x

Câu 4

Cho xOy  900 Trên Ox lấy về hai phía của O hai đoạn thẳng OA = 4cm; OB = 2cm Gọi M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn AB MA, MB cắt nhau với Oy ở C và D Gọi E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BD.

a) Chøng minh MF + ME = 1

2(AC+BD) b) Đường thẳng CF cắt Ox tại P Chứng minh P là một điểm cố định khi M di chuyển trên đường trung trực của AB.

Câu 5

1 Cho a, b, c > 0 Chøng minh 2a2 2 2b2 2 2c2 2 a b c

b c c a a b b c c a a b    

2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: y = 2

4 3 1

x x



NEO

ĐỀ SỐ 6.

Câu 1(4,5 điểm)

Trang 7

1. Rút gọn biểu thức P =

8 14 7

4 4

2 3











a a

a

a a a

Với a 1 ;a 2 ;a 4.

2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x4  7x3  17x2  20x 14

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2010x 26802







Câu 2(4,5 điểm)

1 Cho x, y lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1 Chøng minh

1 x 1  y 1 xy

2 Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a2 b2

ab

 là một số nguyên Tính giá trị của biểu thức a2 b2

ab



3 Tìm các số nguyên tố x, y, z thỏa mãn x y   1 z

Ta thấy nếu x lẻ => VT chẵn => z chẵn ko phải số nguyên tố

Vậy x chỉ là số chẵn mà nguyên tố => x= 2

Trang 8

Với y=2 => z= 5 thỏa đk đề bài

Nếu y>2 => y lẻ (vì y nguyên tố)

=> y =2k +1

=> 2^(2k+1) +1 = 2.4^k + 1 = 2.(3p+1) + 1 = 3m

Như vậy khi x=2 và y nguyên tố > 2 thì VT luôn chia hết cho 3

=>z chia hết cho 3 không thỏa đk

Vậy x=y=2; z= 5 là duy nhất

Câu 3 (4 điểm)

1 Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x - 3 dư 2, f(x) chia cho x + 4 dư 9 Còn f(x) chia cho x 2 + x – 12 thì được thương x 2 + 3 và còn dư.

2 Giải phương trình: x 3 – 7x 2 + 12x – 6 = 0

Câu 4 (6 điểm)

Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP và

BMLK Gọi C là giao điểm của PM và AN, đường thẳng BL cắt MK và AN thứ tự tại D

và O

1 Chứng minh OM = CD.

2 Tìm vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để MCD 45 0

3 Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB, chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng

Trang 9

OM luôn thuộc một đường thẳng cố định

Câu 5 (1 điểm)

A0

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2 2

    

  (với x 0, y 0   ) Hết

NEO

ĐỀ SỐ 7.

Câu 1: (4 điểm)

1 Cho phân thức:

5 5 2

1

1 1

3 3

2 2

3 2



























x x

x B

a) Rút gọn B b) Tìm giá trị lớn nhất của B.

2 Cho a, c, b là 3 số hữu tỷ khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0 Chứng minh

2

     

Từ đó suy ra 12 12 12

a b c là bình phương của một số hữu tỷ.

M=1/a^2+1/b^2+1/c^2 = (a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)/a^2b^2c^2

Bình phương 2 vế a+b+c=0

=> a^2+b^2+c^2 = -2(ab+bc+ca)

=> (a^2 +b^2 +c^2)^2 =4 [a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2abc(a+b+c)]

=> (a^2 +b^2 +c^2)^2/4 = a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2

=> M = [(a^2 +b^2 +c^2)/2abc]^2

Vì a,b,c là các số hữu tỷ

=> M là bình phương của số hữu tỷ

Câu 2: (5điểm)

1 Giải phương trình:

82

54 84

132 86

214











x

b) 2 4 2 2 1 2 0









 x y x y

Trang 10

2 Tìm các số x, y biết: x 2 + 2y 2 + 3xy – x – y + 3 = 0

Ta có:

x^2+2y^2+3xy-x-y+3=0

=>x^2+2xy+y^2+y^2+xy-(x+y)=-3

=>(x+y)^2+y(x+y)-(x+y)=-3

=>(x+y)(x+2y-1)=-3

Nên x+y, x+2y-1 là ước của -3 và x+y, x+2y-1 khác dấu

Nếu x+y=-3, x+2y-1=1 =>x+2y-x-y=2+3=5

=> y=5

=>x=-8

Nếu x+y=-1, x+2y-1=3 => y=5, x=-6

Vậy (y,x) là (5,-8);(5,-6)

Câu 3: (4điểm)Chứng minh rằng :

1 1

1      



c b

bc

b a

ab

a

biết abc=1

do abc = 1 nên tồn tại x, y, z sao cho: a = x/y; b = y/z, c = z/x

P = (x/y) /(x/z+x/y+1) + (y/z) /(y/x+y/z+1) + (z/x) /(z/y+z/x+1)

P = xz /(xy+xz+yz) + xy/(yz+xy+xz) + yz/(xz+yz+xy)

P = (xz+xy+yz) / (xy+yz+xz) = 1

cách khác:

P = a/(ab+a+1) + b/(bc+b+1) + c/(ac+c+1)

P = a/(ab+a+1) + ab/(abc+ab+a) + abc/(aabc+abc+ab)

P = a/(ab+a+1) + ab/(1+ab+a) + 1/(a+1+ab) = (a+ab+1)/(ab+a+1) = 1

b)

c

a a

b b

c a

c c

b

a







2

Trang 11

1 Cho hình vuông ABCD Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF

a) Chứng minhEDF vuông cân

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD Gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng.

2 Cho tam giác ABC vuông cân tại A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên

AB, AC sao cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:

a) DE có độ dài nhỏ nhất b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

Trang 12

Câu 5: (1điểm)

Với a,b,c dương thỏa mãn a+b+c = 3.Chứng minh rằng: a 3 +b 3 +c 3 ≥ 3

PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG ĐỀ LUYỆN ĐẦU NĂM HSG CẤP TỈNH

Trang 13

NEO

ĐỀ SỐ 8.

NĂM HỌC 2016-2017 Mụn: Toỏn - Lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phỳt

Cõu 1

1 Rỳt gọn: A = (1- 2

4

1 )(1- 2

4

3 ) (1- 2

4

199 )

2 Cho x 2 – x – 3 = 0 Tớnh giỏ trị của biểu thức M = x 4 - 2x 3 + 3x 2 - 2x + 2

3 Xỏc định a, b sao cho f(x) = ax 4 +bx 3 +1 chia hết cho g(x) = (x-1) 2

Cỏch 1 Thực hiện phộp chia ax 4 + bx 3 + 1 cho x 2 – 2x + 1, ta được

ax 4 + bx 3 + + 1 | x 2 – 2x + 1

ax 4 – 2ax 3 + ax 2 ax 2 + (2a+b)x + 3a + 2b

(2a+b)x 3 – ax 2

(2a+b)x 3 – 2(2a+b)x 2 + (2a+b)x

(3a+2b)x 2 – (2a+b)x + 1

(3a+2b)x 2 – 2(3a+2b)x + 3a + 2b

(4a + 3b)x + 1 – 3a – 2b

Như vọ̃y phần dư là (4a + 3b)x + 1 – 3a – 2b Muụ́n ax 4 + bx 3 + 1 chia hờ́t cho (x-1) 2 thì điờ̀u kiện cần và đủ là 4a + 3b = 0 và 1 – 3a – 2b = 0 Từ đú suy ra a = 3, b = -4

Cỏch 2 Để P(x) = ax 4 + bx 3 + 1 chia hờ́t cho (x-1) 2 thì trước hờ́t ta phải cú P(1) = 0, tức là a + b +

1 = 0 Suy ra b = – 1 – a Từ đú

P(x) = a(x 4 -x 3 ) – x 3 – 1 = (x-1)(ax 3 – x 2 – x – 1)

Để P(x) chia hờ́t cho (x-1) 2 thì ta phải cú Q(x) = ax 3 – x 2 – x – 1 chia hờ́t cho x – 1 Điờ̀u này tương đương với Q(1) = 0, tức là a = 3 Từ đú b = -4

Cõu 2

1 Cho 3 số thực a, b c khác không thoả mãn a+b+c ≠ 0 và 1 1 1 1

a b c  a b c  Chứng minh rằng trong 3 số a , b c luôn có hai số đối nhau Từ đó suy ra Với mọi số

nguyên n le thì 1 1 1 1

a b c a b c

Trang 14

1 1 1 1 1 1 1 1

0

ab c a b c

a b

ab c a b c

a b b c c a







 



VËy trong 3 sè a , b c lu«n cã hai sè đối nhau.

2 Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = 2 2

Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = 2 1 2 2

x y xy

a có: 1/(x² + y²) + 1/2xy ≥ 4/(x + y)² ≥ 4 (Do x + y ≤ 1)

Câu 3

1 Giải phương trình nghiệm nguyên x 2 y 2 - x 2 - 8y 2 = 2xy

Trang 15

2 Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn 3 2 3

2

a b



là một số nguyên Tính giá trị

của biểu thức a3 2b3

a b



Câu 4 Cho tam giác ABC (AC>AB), M là trung điểm của BC Đường thẳng đi qua điểm

B song song với AC cắt AM kéo dài tại E.

1 Chứng minh AC = BE và AB = EC.

2 Trên tía đối của tía BA lấy điểm I sao cho AB = BI, Trên tía đối của tía CA lấy điểm J sao cho AC = JC Chứng minh ba điểm I,E, J thẳng hàng.

3 Lấy điểm H thuộc đoạn AC Sao cho AB=HC, đường thẳng HM cắt BE tại K tính số đo góc BAK biết góc BAC bằng 86 0

Câu 5 Cho a , b , c là các số thực dương thoả mãn abc = 1 Chứng minh

2

a bc  b ca  c ab 

Trang 16

NEO

ĐỀ SỐ 9.

Câu 1:

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x4  2011x2  2010x 2011

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 y2  1 – 52 x2 – 4y2 – 5 0 

c) Tìm các hằng số a và b sao cho x3axb chia cho x 1 dư 7; chia cho x 2dư

Vì f(x) chia x + 1 thì dư 7 nên f(x) - 7 chia hết cho x + 1; suy ra f(-1) - 7 = 0; suy ra -1 - a + b - 7 = 0, hay a - b = -8 (1)

Vì f(x) chia cho x 2 dư 4 nên f(x) 4 chia hết cho x 2; suy ra f(2) 4 = 0; suy ra 8 + 2a + b 4 = 0, hay 2a + b =

Giải hệ gồm (1) và (2) được kết quả a = -4 và b = 4.

Câu 2:

a) Tính giá trị biểu thức:

A= x2 y2 5 2x 4y (x y 1 ) 2 2xy











b) Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất: B x2 2x2 2011

x

 

 với x > 0.

Câu 3: Chứng minh rằng

a)

2000 2011

11 2011 2000

2011

11 2011

3 3







b) Nếu m n; là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m2 m 5n2 n thì :

m n và 5m 5n 1 đều là số chính phương.

c) Cho các số dương x, y có tổng không quá 1 Chứng minh 2 2

4

x xy y xy 

Câu 4

Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng a, H là trực tâm của tam giác, đường cao AD M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC , gọi I là trung điểm của đoạn AM ID cắt EF tại K.

1 Tính AD theo a.

2 Chứng minh tứ giác IEDF là hình thoi.

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	631 KB