TRƯỜNG THCS BẠCH LIÊUĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG VÒNG 2Năm học 2018 2019Môn: Toán 8Thời gian làm bài 120 phútCâu 1. (4,5 điểm) Cho biểu thức: a, Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. b, Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên c, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với
Trang 1TRƯỜNG THCS BẠCH LIÊU HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG TRƯỜNG VÒNG 2
NĂM HỌC: 2018 - 2019 Môn thi: Toán 8
Câu 1
(4,5 điểm)
a, Đkxđ: x∀ , x 2≠ , x 3≠ , x 1
4
Kết quả rút gọn: A 3x 2
4x 1
+
= +
1,5
b, Ta có: A 3x 2
4x 1
+
= + ⇒ 3 4x 1( ) 5
4.A
4x 1
+ +
=
+ ⇒ 4.A 3 5
4x 1
= +
+ ⇒ 4.A∈¢ thì 4x 1+ ∈Ư(5) ⇒ x ∈ { } 0;1 thì 4.A ∈ ¢
Với x = 0 thì A = 2 (t/m)
Với x = 1 thì A =1 (t/m)
Vậy với x = 0; x = 1 thì A∈¢
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
c, Ta có:
2
16x 8
M A
3x 2
+
=
+ ⇒
2
16x 8 M
4x 1
+
= +
⇒ 4 4x 1( ) (16x2 16x 4)
M
4x 1
+ + − +
=
+ ⇒ ( )2
4x 2
M 4
4x 1
−
= +
+
Do x 0> ⇒ 4x 1 0+ > và ( )2
4x 2− ≥ ∀0 x
⇒ ( )2
4x 2
4x 1
−
+ Dấu “=” khi và chỉ khi
1 x 2
= (t/m)
Vậy GTNN của M 4= khi x 1
2
=
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 2
(4,0điểm
)
a, Ta có PT: 6x2 + − x 40 0 =
⇔ ( 2x 5 3x 8 − ) ( + = ) 0 ⇔ 2x 5 0
3x 8 0
− =
+ =
⇔
5 x 2 8 x 3
=
= −
Vậy nghệm của PT là: 5 8
= −
1,25
0,25
b, Ta có PT: x 2018− + −x 2020 =2 ⇔ x 2018− + 2020 x− =2
Do: x 2018− + 2020 x− ≥ −x 2018 2020 x+ − =2
Dấu “=” xảy ra ⇔ (x 2018 2020 x− ) ( − ) ≥0 ⇔ 2018 x 2020≤ ≤
Vậy nghiệm của PT là 2018 x 2020≤ ≤
0,5 0,5 0,5
Trang 2E
D
M
C B
A
c, Ta có PT: 5 1 2 23 2
x 8+ = x 5x 24 x 3−
− − − + đkxđ: x∀ , x 8≠ , x≠ −3
⇔ 5 x 3( + +) x2 −5x 24 23 2 x 8− = − ( − )
⇔ x2 +2x 48 0− = ⇔ (x 6 x 8− ) ( + =) 0 ⇔ x 6 (t/m dkxd)
x 8 (t/m dkxd)
=
= −
Vậy nghiệm của PT là: x 6= và x= −8
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 3
(4,0điểm
)
a, Ta có: A 3 = n3 + 15 n = 3 n3 − 3 n + 18 n = 3 ( n − 1 ) ( n n + + 1 ) 18 n
Do 3( 1) ( 1 18 )
18 18
∀ ∈
⇒ A 18M
0,75 1,0 0,25
b, ĐK: a≠0;b≠0
*
2
2 3
1
a
b +b = ⇒ b3−3a b2 = ⇒5 b6−6a b2 4 +9a b4 2 =25 (1)
*
2
2 3
1
b
a +a = ⇒ a3−3ab2 =10 ⇒ a6−6a b4 2 +9a b2 4 =100 (2) Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được:
a6+3a b4 2+3a b2 4+b6 =125 ⇒ 2 2 3 3
(a +b ) =5 Vậy M = 5
0,75 0,75 0,5
Câu 4
(6,5 điểm)
0,5
a, - Chứng minh ∆EBD ∆ECA (g.g)
⇒ EB ED
EC = EA ⇒ EA.EB = ED.EC
- Chứng minh ∆EAD ∆ECB (g.c.g)
⇒ ·EAD ECB= ·
0,5
0,5 0,75 0,25
b, Từ ·BMC 120= 0 ⇒ ·AMB 60= 0 ⇒ ·ABM 30= 0
- Xét ∆EBD vuông tại D có ·EBD 30= 0 ⇒ ED 1EB
2
= ⇒ ED 1
EB = 2
- Lý luận cho
EAD ECB
= ÷ ÷= =
ECB
S =144 cm
0,5 0,75 0,75
Trang 3c, Chứng minh PQ là đường trung bình của ∆BHD
⇒ PQ // BD
Mặt khác: BD ⊥ CD (giả thiết)
Suy ra: PQ ⊥ DC ⇒ Q là trực tâm của ∆ DPC
Suy ra CQ là đường cao thứ ba của ∆DPC
Hay CQ ⊥ PD
0,5 0,75 0,75
Câu 5
(1,0điểm
)
Đặt A a b2 b c2 c a2
ab c bc a ca b
+ + + và
1 1 1 B
a b c
= + + Xét hiệu: A B a b2 1 b c2 1 c a2 1
− = − ÷ + − ÷ + − ÷
( ) ( )
( 2) ( ( ) ( 2) ) ( ( ) ( 2) )
Do vai trò a, b, c trong (*) có vai trò bình đẳng, nên ta giả sử a b c 0≥ ≥ >
Khi đó: (a c c b− ) ( − ≤) 0; (c b b a− ) ( − ≥) 0; và c3 ≤b3
⇒ abc c+ ≤3 abc b+ 3 ⇒ ( ) ( )
( 2) ( ( ) ( 2) )
≤
( 2) ( ( ) ( 2) ) ( ( ) ( 2) )
A B
( ) ( ) ( ) ( )
( 2) ( ( ) ( 2) )
( )
( ) ( ( ) ( ) )
2
0
ab c c bc a a
− − ≤ và (b a a c− ) ( − ≤) 0)
⇒ A B≤ hay a b2 b c2 c a2 1 1 1
+ + + + + ≤ + +
0,25
0,25
0,25
0,25
Những chú ý khi chấm thi:
1 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải Bài làm của học sinh
phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới cho điểm tối đa
2 Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất
điểm chi tiết
3 Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống
nhất trong cả tổ chấm Điểm thống nhất toàn bài là tổng số điểm toàn bài đã chấm,
không làm tròn.
Hết