Không gian vectơ thực và không gian con

Không gian vectơ thực: phép cộng vectơ; phép nhân vô hướng. Các tính chất. Không gian con. Bốn không gian con chủ yếu của một ma trận A:không gian cột C(A), không gian nghiệm N(A), không gian hàng C(AT), không gian nghiệm trái N(AT)

$ 4 KHÔNG GIAN VECTƠ

VÀ KHÔNG GIAN CON

_

4.1 ¡ KHÔNG GIAN VECTƠ

ĐỊNH NGHĨA 4.1.1 Một không gian vectơ V trên ! là

một tập hợp không rỗng có hai phép toán:

* Phép cộng vectơ : ∀ u, v ∈ V → u + v ∈ V Phép

cộng thỏa mãn các điều kiện V1 đến V4

V1 v + u = u + v ∀ v, u ∈ V (luật giao hoán)

V2. v +(u + w)= (v + u)+ w ∀ v, u, w ∈ V (luật kết hợp)

V3 ∃ 0 ∈ V : v + 0 = v ∀v ∈V

V4. Đối với mỗi v ∈ V ∃ (-v) ∈ V sao cho v + (-v) = 0

* Phép nhân với vô hướng: ∀ u ∈ V, c ∈ !→ cu ∈ V

Phép nhân thỏa mãn các điều kiện V5 đến V8

V5. 1v = v ∀ v ∈V

V6. (ab)v = a(bv) ∀ a, b ∈R và ∀v ∈V (luật kết hợp)

V7.a(v + u)=av+au ∀a∈R, ∀v,u∈V (luật phân phối phải)

V8.(a + b)v = av + bv ∀a, b∈R,∀v ∈V (luật phân phối

trái)

CHÚ Ý: Gọi 0 là vectơ-không, gọi -v là vectơ đối của v

VD4.1.1 Cho V = {(x, 1) | x ∈ !} với phép cộng và phép nhân với vô hướng quen thuộc

Chứng minh V không phải là

không gian vectơ

VD4.1.2 Cho !2 = V = {(x, y) | x,y ∈ !} với phép cộng và phép nhân với vô hướng

Chứng minh: V là một không gian vectơ

VD4.1.3 F(U) = f | f :U → ! { } l

Phép cộng: (f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀x∈U, f và g ∈ F(U)

Phép nhân : (af )(x) = af(x) ∀x∈U, a ∈R, f∈ F(U)

Khi đó F(U) là một không gian vectơ

TÍNH CHẤT Đối với không gian vectơ V

1) Vectơ-không là duy nhất

2) Với mọi vectơ u, vectơ đối của u là duy nhất 3) Nếu u + w = v + w, thì u = v (luật giản ước) Nếu u + w = v, thì u = v - w (luật chuyển vế) 4) 0u = 0 và x0 = 0

5) Nếu xu = 0 thì hoặc x = 0 hoặc u = 0

6) (-x)u = x(-u) = -(xu) Đặc biệt (-1)u = -u

4.2 ¡ KHÔNG GIAN VECTƠ CON

Mặt phẳng P2

Mặt phẳng P1

ĐỊNH NGHĨA 4.2.1 Cho không gian vectơ thực V Nếu

(i) cv ∈ W ∀v ∈W và ∀ c ∈ ! (ii) v + u ∈ W ∀ v và u ∈ W

thì W được gọi là một không gian (vectơ) con của V

VD4.2.1 Cho P 1 = {(x, y, 0)| x, y ∈ ! } ⊂ !3 Chứng minh là P 1 là một không gian con của !3

VD4.2.2 Cho P 2 = {(x, y, 1)| x, y ∈ ! } ⊂ !3 Chứng minh là P 2 không là một không gian con của !3

VD4.2.3 W := { ( x1, x2, x3, x4) ∈ !4 | x3 = x1 + x2 , x1 = x4 }

có phải là một không gian con của không gian vectơ !4?

4.3 BỐN KHONG GIAN CON

LIÊN QUAN ĐẾN MỘT MA TRẬN

ĐỊNH NGHĨA 4.3.1 Cho A là ma trận m×n, có các vectơ

cột c j (j = 1, , n) Khi đó không gian cột của A là

C(A) ={ b : b = Ax }

= { b : b = x1c1 + x2c2 + ⋅⋅⋅ + x n c n | x j ∈R }

3 4

0 1

0

C(A) là một mặt phẳng trong R3 với cặp vectơ chỉ

phương là c1 = (1, 4, 2) và c2 = (0, 3, 3)

ĐỊNH NGHĨA 4.3.2 Không gian nghiệm của A là

N(A) là một đường thẳng trong

R2 đi qua gốc toạ độ

Định lý 4.2.2 Nếu A là ma trận m×n, thì N(A) là một

không gian con của Rn

Chứng minh

∀ v và u ∈N(A), với mọi vô hướng a và b, thì

A(av + bu) = aAv + bAu = a0+b0 = 0, nên av + bu cũng thuộc N(A) Do đó N(A) là một không

gian con J

ĐỊNH NGHĨA 4.2.3 C(AT) là không gian hàng của A,

N(AT) là không gian nghiệm bên trái của A .

VD4.3.3 Hãy mô tả không gian hàng và không gian nghiệm trái của các ma trận:

Định lý 4.2.3 Nếu A là ma trận m×n, thì C(AT) là một không gian con của Rn và N(AT) là một không gian con của Rm

NHỮNG Ý CHÍNH

1 Không gian vectơ thực

2 Không gian con

3 Bốn không gian con chủ yếu của một ma trận A: