Định lý điểm bất động của ánh xạ co rút và các tính chất tôpô trên không gian meetric nón

Định lý về điểm bất động của ánh xạ co rút trên không gian metric nón.. Các tính chất tôpô của không gian metric nón.. lời nói đầuKhái niệm không gian mêtric nón được Hoang Long - Guang

Mục lục

Mục lục 1

Mở đầu 2

Chương 1 Định lý về điểm bất động của ánh xạ co rút trên không gian metric nón 4

1.1 Không gian metric nón 4

1.2 Định lý về điểm bất động của ánh xạ co rút 10

Chương 2 Các tính chất tôpô của không gian metric nón 20

2.1 Một số tính chất tôpô 20

2.2 Tính compăc trong không gian metric nón 28

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo 36

lời nói đầu

Khái niệm không gian mêtric nón được Hoang Long - Guang và ZhangXian đưa ra năm 2007 bằng cách thay tập số thực trong định nghĩa mêtricbởi một nón định hướng trong không gian định chuẩn Tác giả cũng đãxây dựng các khái niệm về hội tụ của dãy, tính đầy đủ của không gian,

định lý điểm bất động đối với ánh xạ co và thu được những kết quả sâusắc trên lớp không gian này Người ta đã thấy được một số ứng dụng củalớp không gian mêtric nón trong giải tích phi tuyến, tối ưu vectơ Hiệnnay nghiên cứu cấu trúc của không gian mêtric nón đang thu hút sự quantâm của một số nhà toán học trong và ngoài nước Các vấn đề về tôpôtrong không gian mêtric nón đã được nghiên cứu ở mức độ khởi đầu.Các vấn đề về tôpô trong không gian metric nón được Sh Rezapour,

M Derafshpour, R Hamlbarani và các nhà toán học khác nghiên cứu, mởrộng theo nhiều hướng khác nhau và bước đầu thu được nhiều thành tựu.Trên cơ sở các bài báo "Cone metric spaces and fixed point theo-rems of contractive mappings" và "A review on topological properties

of cone metric space", dưới sự hướng dẫn của NGƯT.PGS.TS Trần Văn

Ân, chúng tôi đã tiếp cận đề tài nghiên cứu "Định lý điểm bất độngcủa ánh xạ co rút và các tính chất tôpô trên không gian mêtricnón"

Mục đích của luận văn này là trình bày các tính chất các tính chấtcủa không gian mêtric nón, định lý điểm bất động của ánh xạ co rút, cáctính chất tôpô trên không gian mêtric nón, tính compăc trong không gianmêtric nón

Ngoài phần Mục lục, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung luậnvăn được trình bày trong hai chương

Chương 1 Định lý về điểm bất động của ánh xạ corút trên khônggian mêtric nón.

Chương 2 Các tính chất tôpô của không gian mêtric nón

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn tận tình và nghiêm khắc của NGƯT.PGS.TS Trần Văn Ân Tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy Nhân dịp này, tácgiả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban Chủnhiệm Khoa Toán Tác giả xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong KhoaToán, đặc biệt trong Tổ Giải tích đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tácgiả trong suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồngnghiệp, bạn bè, các bạn trong lớp Cao học 17 - Giải tích đã cộng tác, giúp

đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng gópcủa các thầy, cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

chương 1

Định lý về điểm bất động của ánh xạ co rút

trên không gian mêtric nón

1.1 Không gian mêtric nón

K (K = R, C) Tập con P của E được gọi là một nón trong E nếu thỏamãn các điều kiện sau:

thuộc P Chúng ta quy ước x < y nếu x ≤ y, x 6= y và ký hiệu x  y

nếuy − x thuộc intP với intP là phần trong của P

E

1) P được gọi là chuẩn tắc nếu tồn tại K > 0 sao cho với mọi x, y

thuộc E, từ 0 ≤ x ≤ y kéo theo kxk ≤ Kkyk Số dương K nhỏ nhất thỏamãn điều kiện trên được gọi là hằng số chuẩn tắc của P

2)P được gọi là chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên trongE

đều hội tụ (một cách tương đương là mọi dãy giảm và bị chặn dưới trong

E đều hội tụ)

3) P được gọi là nón minihedral nếu sup{x, y}tồn tại với mọi x, y ∈

suppremum

Định lý sau nêu lên mối quan hệ giữa nón chuẩn tắc và nón chính quy.1.1.4 Định lý ([4]) Mọi nón chính quy là chuẩn tắc

Khi đó, với mỗin ≥ 1 ta chọn được tn, sn thuộc P sao cho tn − sn thuộc

Ví dụ sau cho thấy mệnh đề ngược lại của định lý trên nói chungkhông đúng

1.1.5 Ví dụ Xét E = C[0,1] với chuẩn "max" và nón P = {f ∈ E :

f ≥ 0} Khi đó P là nón chuẩn tắc Thật vậy, giả sử f, g thuộc E và

0 ≤ f ≤ g Khi đó0 ≤ f (x) ≤ g(x), với mọi xthuộc [0, 1], suy ra

Suy ra dãy{fn}giảm và bị chặn dưới Tuy nhiên dãy này không hội

Trong phần tiếp theo, ta luôn xét E là không gian Banach, P là mộtnón trongE vớiintP 6= ∅ và "≤" là quan hệ thứ tự trênE xác định bởiP

i)0 ≤ d(x, y) với mọix, y thuộc X; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;ii)d(x, y) = d(y, x) với mọix, y thuộc X;

iii)d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọix, y, z thuộc X

Khi đó (X, d)được gọi là không gian metric nón

Không gian metric nón là sự tổng quát của không gian mêtric Ví dụsau chứng tỏ lớp không gian mêtric nón là sự mở rộng thực sự của lớpkhông gian mêtric

trong đó α là số thực dương cho trướ Khi đó, dễ dàng kiểm tra được

(X, d)là không gian mêtric nón

Sau đây chúng ta trình bày các vấn đề về sự hội tụ của dãy trongkhông gian mêtric nón

1.1.8 Định nghĩa Cho (X, d) là một không gian mêtric nón, {xn}

là một dãy trongX và x ∈ X Dãy {xn}được gọi là hội tụ tớix nếu vớimọi c ∈ E và 0  c, tồn tại số tự nhiên N sao cho

d(xn, x)  c, với mọi n > N

Khi đó x được gọi là giới hạn của dãy {xn} và ta ký hiệu lim

n→∞xn = x

hoặc xn→ x (n→∞)

nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Giả sử {xn} là một dãy trong

X Khi đó {xn}hội tụ tới x khi và chỉ khi d(xn, x) → 0 (n→∞)

Chứng minh Giả sử {xn} hội tụ đến x Với mọi số thực ε > 0 chọn

c ∈ E sao cho 0  c và Kkck < ε Khi đó từ xn → x (n→∞) suy ratồn tại số tự nhiên N sao cho d(xn, x)  c, với mọi n > N Vì nón P

chuẩn tắc với hằng số K nên kd(xn, x)k ≤ Kkck < ε, với mọi n > N.Vậy d(xn, x) → 0(n→∞)

Ngược lại, giả sử d(xn, x) → 0 (n→∞) Ta có, với mọic ∈ E, 0  c

tồn tại δ > 0 sao cho kxk < δ kéo theo c − x thuộc intP (do intP là tậpmở) Với số δ này, tồn tại số tự nhiên N sao cho

kd(xn, n)k < δ, với mọi n > N

Suy ra c − d(xn, x) thuộc intP Điều này nghĩa là d(xn, x)  c với mọi

1.1.10 Mệnh đề ([3]) Cho (X, d) là một không gian mêtric nón, P

là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Giả sử {xn} là một dãytrong X Nếu {xn} hội tụ tới cả x và y thì x = y

Chứng minh Lấy bất kỳc ∈ E, 0  c Khi đó tồn tại số tự nhiên N

sao cho d(xn, x)  cvà d(xn, y)  c, với mọin > N Từ đó ta có

d(x, y) ≤ d(xn, x) + d(xn, y)  2c

Do đó ta có kd(x, y)k ≤ 2Kkck Vì c tùy ý ta có d(x, y) = 0 Do đó ta có

Mệnh đề sau nói lên tính liên tục của ánh xạ mêtric nón

nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và{xn}, {yn}là các dãy trongX.Nếu xn → x (n→∞) và yn → y (n→∞) thì d(xn, yn) → d(x, y) (n→∞).Chứng minh Với mỗiε > 0, chọnc ∈ Esao cho0  cvàkck < 4K+2ε

Từ xn → x và yn → y, tồn tại số tự nhiên N sao cho

d(xn, x)  c và d(yn, y)  c, với mọi n > N

với mọin > N Bất đẳng thức trên chứng tỏ d(xn, yn)→d(x, y) 

Bây giờ ta trình bày định nghĩa khái niệm dãy Cauchy trong khônggian mêtric nón

1.1.12 Định nghĩa Cho(X, d)là không gian mêtric nón Dãy{xn}

trong X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi c ∈ E, 0  c, tồn tại số tựnhiên N sao cho

d(xm, xn)  c, với mọi m, n > N

nón chuẩn tắc và{xn}là một dãy trong X Khi đó {xn}là dãy Cauchykhi và chỉ khi d(xn, xm) → 0 (m, n→∞)

Chứng minh Giả sử{xn}là dãy Cauchy trong X Gọi K là hằng sốchuẩn tắc của P Với mọi ε > 0, chọn c ∈ E sao cho 0  c và Kkck < ε.Khi đó từ{xn}là dãy Cauchy, tồn tại số tự nhiênN sao chod(xn, xm)  c,với mọin, m > N Vì nón P là chuẩn tắc với hằng số K nên

kd(xn, xm)k ≤ Kkck < ε, với mọi m, n > N

Vậy d(xn, xm) → 0 trong E

Ngược lại, giả sử

d(xn, xm) → 0 (m, n→∞)

Ta có với mọi c ∈ E, 0  c, tồn tại δ > 0 sao cho nếu kxk < δ thì c − x

thuộc intP Vớiδ > 0xác định như trên, do d(xn, xm) → 0khim, n → ∞

nên tồn tại N sao cho

kd(xn, xm)k < δ, với mọi n, m > N

Suy ra c − d(xn, xm) thuộc intP Ta nhận được d(xn, xm)  c với mọi

{xn} là một dãy trong X Nếu {xn} hội tụ trong (X, d) thì nó là dãyCauchy

Chứng minh Giả sử {xn} hội tụ tới x ∈ X Khi đó, với mọi 0  c

thuộc E, tồn tại số tự nhiên N sao cho

với bất kỳ dãy{xn}trongX, tồn tại dãy con{xni}của {xn}sao cho{xni}

dãy

1.2 Định lý về điểm bất động của ánh xạ co rút

Trong mục này, chúng ta trình bày một số định lý về điểm bất độngcủa ánh xạ co rút

xạ co rút thỏa mãn điều kiện

d(Tx, Ty) ≤ kd(x, y), với mọi x, y ∈ X

với k ∈ [0, 1) là hằng số Khi đó, có duy nhất một điểm bất động trong

X và với mọi x ∈ X, dãy lặp {Tn

x} hội tụ về điểm bất động đó

Bây giờ, giả sửy∗ là một điểm bất động khác củaT thì

d(x∗, y∗) = d(T x∗, T y∗) ≤ kd(x∗, y∗)

Do đó kd(x∗, y∗)k = 0 và x∗ = y∗ Vậy điểm bất động của T là duy

đủ,P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Vớic ∈ E sao cho0  c

và x0 ∈ X, đặt B(x0, c) = {x ∈ X|d(x0, x) ≤ c} Giả sử T : X−→X là

ánh xạ co rút thỏa mãn điều kiện

d(Tx, Ty) ≤ kd(x, y), với mọi x, y ∈ B(x0, c),

trong đó k ∈ [0, 1) là hằng số và d(Tx0, x0) ≤ (1 − k)c Khi đó, T có duynhất một điểm bất động trong B(x0, c)

B(x0, c)với mọix ∈ B(x0, c)

Giả sử {xn} là một dãy Cauchy trong B(x0, c) Khi đó {xn} cũng là

1.2.3 Hệ quả 2 ([3]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón đầy đủ,

thỏa mãn với số nguyên dương n nào đó,

d(Txn, Tyn) ≤ kd(x, y), với mọi x, y ∈ X,

ta suy ra T có duy nhất điểm bất động trongX

1.2.4 Định lý ([3]) Cho (X, d) là một không gian mêtric nón

thỏa mãn điều kiện

d(Tx, Ty) < d(x, y), với mọi x, y ∈ X, x 6= y

x1 = Tx0, x2 = Tx1 = Tx20, , xn+1 = Txn = Txn+10 ,

Nếu với số n nào đó, xn+1 = xn thì xn là điểm bất động của T, chứng

xn+1 6= xn.Đặtdn = d(xn, xn+1), khi đó

dn+1 = d(xn+1, xn+2) = d(Txn, Txn+1) < d(xn, xn+1) = dn

Do đó dn là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 Vì P là chính quy nên tồntại d∗ ∈ E sao cho dn → d∗(n→∞) Từ tính compact dãy của X, có dãycon {xni}của {xn}và x∗ ∈ X sao cho xni → x∗(n→∞) Ta có

Đó là mâu thuẫn, vì thế Tx ∗ = x∗ Vậyx∗ là điểm bất động củaT

Bây giờ, giả sử y∗ là một điểm bất động khác của T và y∗ 6= x∗ Từcách xác định T ta có

d(x∗, y∗) = d(Tx ∗, Ty ∗) < d(x∗, y∗)

Đó là mâu thuẫn Vậyx∗ = y∗ hay điểm bất động của T là duy nhất 

1.2.5 Định lý ([3]) Cho(X, d)là không gian metric nón đầy đủ, P

¸nh x¹ tháa m·n ®iÒu kiÖn co rót

d(Tx, Ty) ≤ k(d(Tx, x) + d(Ty, y)), víi mäi x, y ∈ X,

1.2.6 Định lý ([3]) Cho(X, d)là không gian mêtric nón đầy đủ, P

xạ thỏa mãn điều kiện

Ta có

kd(xn, xm)k ≤ h

m

1 − hKkd(x1, x0)k.

Suy ra d(xm, xn) → 0 (m, n→∞) Do đó {xn} là dãy Cauchy Vì X đầy

đủ nên tồn tại x∗ ∈ X sao cho xn → x∗ (n→∞) Từ

d(Tx∗, x∗) ≤ d(Txn, Tx∗) + (Txn, x∗),

≤ k(d(Tx∗, xn) + d(Txn, x∗)) + d(xn+1, x∗),

≤ k(d(Tx∗, x∗) + d(xn, x∗) + d(xn+1, x∗)) + d(xn+1, x∗),d(Tx∗, x∗) ≤ 1

Do đó kd(Tx∗, x∗)k = 0 Suy ra Tx∗ = x∗ Vì thế x∗ là điểm bất động của

T Bây giờ, giả sử y∗ là điểm bất động khác củaT, ta có

d(x∗, y∗) = d(Tx∗, Ty∗) ≤ k(d(Tx∗, y∗) + d(Ty∗, x∗)) = 2kd(x∗, y∗)

Do đó d(x∗, y∗) = 0 suy ra x∗ = y∗ Vì thế điểm bất động của T là duy

1.2.7 Mệnh đề ([10]) Cho P là một nón trong E và {xn}, {yn} làhai dãy trong E Nếuxn → x, yn → y khi n → ∞ và xn ≤ yn với mọi n

thì x ≤ y

Chứng minh Từxn ≤ ynta cóyn− xn ∈ P VìP đóng và(yn− xn) →

1.2.8 Mệnh đề ([10]) Giả sử(X, d)là không gian mêtric nón và A

là tập con compăc dãy của (X, d) Khi đó, tồn tại x0, y0 ∈ A sao cho

δ(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A} = d(x0, y0)

đủ ánh xạT : X−→ X được gọi là co rút đường kính nếuδ(T A) < δ(A),trong đó Alà tập con đóng, bị chặn bất kỳ trongX với giả thiết rằng

δ(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}

tồn tại và δ(A) > 0

Mét ®iÒu râ rµng r»ng mçi ¸nh x¹ co rót ®­êng kÝnh lµ ¸nh x¹ co rót.B»ng c¸ch thay ¸nh x¹ co rót trong §Þnh lý 1.2.4 bëi ¸nh x¹ co rót ®­êngkÝnh ta ®­îc kÕt qu¶ sau.

Chøng minh §Æt

F = {A ⊂ X : A lµ tËp con kh¸c rçng, comp¾c d·y cña X vµ lµ T -bÊt biÕn}

Ta nãi r»ng A lµ T-bÊt biÕn nÕu T (A) ⊂ A V× X lµ comp¨c d·y vµ

chương 2các tính chất tôpô

của không gian metric nón

2.1 Một số tính chất tôpô

hay phức) Ta nói rằng tôpô τ trên X là tương thích với cấu trúc đại sốtrênX nếu các phép toán đại số trongX đều liên tục theo tôpô đó, nghĩalà

a) Với mọi x1, x2 ∈ X và V là lân cận bất kỳ của x1 + x2, tồn tại cáclân cận V1 của x1 và V2 của x2 sao cho V1 + V2 ⊂ V

b) Với bất kỳx ∈ X,bất kỳ α ∈ Φvà lân cận bất kỳ V của αx, tồn tại

số r > 0và lân cận W của x sao cho βW ⊂ V với mọi β ∈ Φ thỏa mãn

|β − α| < r

không gian tôpô tuyến tính (hay không gian vectơ tôpô) nếu trên đó đãcho một tôpô τ tương thích với cấu trúc đại số trên X sao cho mỗi điểmcủa X là một tập con đóng

2.1.3 Định nghĩa Cho(X, d) là không gian mêtric nón vàB ⊆ X

cho N (b, p) ⊆ B, với

N (b, p) := {y ∈ X : d(y, b)  p}

2) Phần tửx ∈ X được gọi là điểm giới hạn củaB nếu với bất kỳ

0  e, N (x, e) ∩ (B\{x}) 6= ∅

Tập conB ⊆ X được gọi là tập đóng nếu mọi điểm giới hạn củaB đềuthuộc B.

điểm trong của A

4) Tập con B ⊆ X được gọi là bị chặn nếu tồn tại 0  c và x0 ∈ X

sao cho d(b, x0)  cvới mọib ∈ B

đều có phủ con hữu hạn

Trong phần tiếp theo, ta luôn giả thiếtE là không gian vectơ tôpô, P

là một nón trongEvới intP 6= ∅và "≤" là quan hệ thứ tự trênE xác địnhbởi P

2.1.4 Mệnh đề ([7]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón, a, b, c ∈

i) Nếu a  b và b  c thì a  c

ii) αintP ⊆ intP

iii) Nếu a ≤ bvà b  c thì a  c

iv) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP, tồn tại 0 < γ < 1 sao cho kγxk < δ

intP + intP = [

x∈ intP

x +intP

cũng là tập mở trong E Mặt khác, intP + intP ⊆ P Từ đó suy raintP +intP ⊆ intP Sử dụng kết quả này vào chứng minh bổ đề ta có a  bvà

b  c suy ra b − a ∈ intP vàc − b ∈ intP, do đó

c − a = (c − b) + (b − a) ∈ intP + intP ⊆ intP

hay a  c

αintP ⊆ intP

iii) Vìx +intP là tập mở nênintP + P = S

x∈P

x +intP cũng là tập mở,

do đóintP + P ⊆ intP Từa ≤ bvàb  c ta có b − a ∈ P vàc − b ∈ intP

Điều này kéo theoc − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊆ intP

iv) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP, chọn một số tự nhiên n > 1 sao cho

δ

nkxk < 1 Đặt γ = δ

nkxk ta có 0 < γ < 1và kγxk = δ

n < 1 Vậy iv) đượcchứng minh

δ > 0 sao cho c1 + B(δ, 0) ⊆ intP, với B(δ, 0) là lân cận chuẩn của 0

trong E với bán kính δ TừB(δ, 0) là tập hút, ta có thể lấym > 1 sao cho

c2 ∈ mB(δ, 0) Vì thế ta có −c2 ∈ mB(δ, 0) và mc1 − c2 ∈ mintP ⊆ intP

(theo ii)

Đặtd = mc1 ta có c1  d và mc1 − c2 ∈ intP ⇒ c2  mc1 = d Vậy

d = mc1 thỏa mãn tính chất được đòi hỏi

vi) Trong chứng minh v), đặte = 1

2.1.5 Mệnh đề ([7]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón vàA làtập con khác rỗng của X Khi đó

i) Mọi dãy hội tụ trong X là bị chặn

ii) Nếu x ∈ X là điểm giới hạn của Athì tồn tại dãy {xn}n≥1 trong

A sao cho xn → x khi n → ∞

iii) Với mọi 0  evà x ∈ X, N (x, e) là tập mở

v) Với mỗi 0  c và x ∈ X, tập B(x, c) := {y ∈ X : d(x, y) ≤ c} làtập đóng

Chứng minh i) Giả sử {xn}n≥1 là một dãy hội tụ trong X và 0  c,khi đó có số tự nhiênN sao chod(xn, x)  c với mọin > N Theo Mệnh

đề 2.1.4 tồn tại 0  e1 sao chod(xi, x)  e1 với i = 1, 2, , N Lại theoMệnh đề 2.1.4 phần (v), tồn tại 0  e sao choe1  e và c  e Từ đó ta

cód(xn, x)  e với mọin ≥ 1 Vì thế dãy{xn}n≥1 là dãy bị chặn

ii) Với0  cvà0  echo trước, vìx ∈ X là điểm giới hạn củaAnên

n, mọi n ≥ 1 Theo Mệnh đề 2.1.4, tồn tại số tự nhiên

N > 1 sao cho e  N c Do đó d(xn, x)  c với mỗi n ≥ N Vậy dãy

{xn}n≥1 hội tụ tới x

iii) Giả sử 0  e và x ∈ X cho trước Với bất kỳ y ∈ N (x, e) ta sẽchứng minhy là điểm trong củaN (x, e) Vì y ∈ N (x, e) nên d(x, y)  e

Đặt c = e − d(x, y) ta có 0  c Ta sẽ chỉ ra N (y, c) ⊆ N (x, e) Thậtvậy, nếu z ∈ N (y, c) thì d(z, y)  c = e − d(x, y) Do đó ta có d(x, z) ≤d(x, y) + d(y, z)  e Do đó z ∈ N (x, e) Như vậy y là điểm trong của