Tom tat kien thuc toan THPT

Tổng hợp lý thuyết trong chương trình THPT gồm: Lượng giác, đạo hàm, tích phân, phương pháp tọa độ trong không gian, phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, số phức,...Phương pháp giải một số dạng toán cụ thể trong chương trình 12

1 Bất đẳng thức Cauchy

• a, b ≥ 0 thì a b 2 ab+ ≥ , dấu “=” xảy ra  a = b

•a ,a , ,a1 2 n ≥0 thì n

a +a + + a ≥n a a a , dấu “=” xảy ra  a1= = an

2 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

6 Hệ phương trình hai ẩn

• Hệ phương trình đối xứng loại 1 đối với x, y

+ Định nghĩa: Mỗi phương trình trong hệ không đổi khi thay x bởi y và y bởi x + Cách giải: + Đặt  =PS= +x yxy , đưa hệ đã cho về hệ ẩn S, P

+ Giải hệ tìm S, P thì x, y là nghiệm pt X2 – SX + P = 0

Chú ý: Hệ có nghiệm (x,y)  S2 – 4P ≥ 0

• Hệ phương trình đối xứng loại 2 đối với x, y

+ Định nghĩa: Là hệ mà khi thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình

này của hệ trở thành phương trình kia và ngược lại

+ Cách giải: Biến đổi hệ bằng cách trừ hai vế của 2 pt và cộng hai vế của 2 pt

• Hệ phương trình đẳng cấp:

Cách giải: + Xét riêng trường hợp x = 0 có thỏa hệ phương trình

+ Với x ≠ 0, đặt y = tx, thế vào hệ, chia vế các phương trình, giải tìm k, từ đó suy ra x, y

7 Phương trình – bất phương trình chứa căn thức và GTTĐ

9 Các công thức lũy thừa và logarit

Cho a, b > 0 ; α,β tùy ý Khi đó:

+ a aα β =aα+β

+ a a

a

α α−β

β =+ ( )aα β =aαβ

=

 

 ÷

 + Nếu a > 1 thì

aα >aβ ⇔ α > β+ Nếu 0 < a < 1 thì aα >aβ ⇔ α < β

+ log aa( )α = α+ loga(b1b2) = logab1 + logab2

2

blog log b log b

log b log b (β ≠ 0)

1log b log b

n

=

a c

log b

log blog a = hay logac.logcb = logab+ logab =

b

1 log a (b ≠ 1)+ Logarit thập phân:lgb = logb = log10b+ Logarit tự nhiên: lnb = logeb

Hàm số đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi 0 < a < 1

Tính chất

+ ax > 0 ∀x∈R+ Với a > 1 thì

an >am ⇔ >n m m,n( ∈¡ )

+ Với 0 < a < 1 thì

an >am ⇔ <n m m,n( ∈¡ )

+ Với a > 1 thì log b log ca > a ⇔ > >b c 0+ Với 0 < a < 1 thì

log b log ca > a ⇔ < <0 b c

Đồ thị Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (0;1) + Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1;0)

11 Phương trình – bất phương trình mũ và logarit

12.1 Phương pháp logarit hóa

• af x ( ) =bg x ( )  f x( ) f x( )

log a =log b  f x( ) ( )=g x log ba

• af x ( ) >bg x ( )  log af x( ) >log bf x( )  f x log a g x log b( ) > ( )

(Có thể lấy logarit theo cơ số a hoặc b, chú ý so sánh giá trị của a, b với 1)

Dạng 4: Sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một

phương trình với ẩn phụ đó nhưng các hệ số vẫn còn chứa x,khi đó thường ta được một phương trình bậc hai theo ẩn phụmới (hoặc theo ẩn x) có biệt số ∆ là một số chính phương

12.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Dạng 1: Chuyển phương trình về dạng f(x) = k (4)

• Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) (tính đạo hàm f’(x)), giả sử f(x)đồng biến

• Tìm giá trị x0 sao cho f(x0) = k

• Với x = x0  f(x) = f(x0) = k => x = x0 là nghiệm của pt (4)

• Với x > x0  f(x) > f(x0) = k => phương trình (4) vô nghiệm

• Với x < x0  f(x) < f(x0) = k => phương trình (4) vô nghiệm

Chú ý: Có thể chuyển phương trình về dạng f(x) = g(x) trong đó hàm

y = f(x) đồng biến thì hàm y = g(x) nghịch biến hoặc là hàm hằng

Dạng 2: Chuyển phương trình về dạng f(u) = f(v) (5)

• Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x)

• Khi đó (5)  u = v

Dạng 3: : Chuyển bất phương trình về dạng f(x) > k (6)

• Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x), giả sử f(x) nghịch biến

• Tìm giá trị x0 sao cho f(x0) = k

• Với x = x0  f(x) = f(x0) = k => bất phương trình (6) vô nghiệm

• Với x > x0  f(x) < f(x0) = k => bất phương trình (6) vô nghiệm

• Với x < x0  f(x) > f(x0) = k => x > x0 là nghiệm bpt (6)

Dạng 4: Chuyển bất phương trình về dạng f(u) < f(v) (7)

• Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x), giả sử hàm số đồng biến

• Khi đó (7)  u < v

Chú ý: Ngoài các phương pháp trên ta có thể biến đổi phương trình về

dạng tích, hoặc sử dụng phương pháp đánh giá để giải

13 Một số phương pháp giải phương trình – bất phương trình logarit 13.1 Phương pháp đặt ẩn phụ

Dạng 3: Sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một

phương trình với ẩn phụ đó nhưng các hệ số vẫn còn chứa x, khi

đó thường ta được một phương trình bậc hai theo ẩn phụ mới(hoặc theo ẩn x) có biệt số ∆ là một số chính phương

13.2 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Xem mục 12.3

(cosx)′ = – sinx (cosu)′ = – sinx.u’

sin u

= −( )e ' ex = x ( )e ' e u'u = u( )a ' a lnax = x ( )a ' a lna.u'u = u

1 log x '

xlna

u' log u '

ulna

=

15 Tính đơn điệu – cực trị – gtln – gtnn – tiệm cận của hàm số y = f(x) 15.1. Tính đơn điệu: Hàm số (C) y = f(x) xác định trên D

• Hàm số tăng (đồng biến) trên D  y’≥0 ; ∀ ∈x D

• Hàm số giảm (nghịch biến) trên D  y '≤0 ; x D∀ ∈

• Chú ý : dấu ‘=’ chỉ xảy ra tại hữu hạn một vài điểm

15.2. Cực Trị: Cho hàm số (C): y = f(x)

• Hàm số có cực trị  y’ có nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua nghiệm đó

• Hàm số không có cực trị  y’ không có nghiệm hoặc y’ không đổi dấu

• Lập bảng biến thiên của hàm số trên D Từ đó xác định GTLN – GTNN

• Đặc biệt: Khi D = [a;b] và hàm số liên tục trên D ta có thể làm như sau:

+ Bước 1: Tìm y’ Giải y’ = 0 và chọn các nghiệm x1 ; x2 ; ;xi thuộc [a;b]+ Bước 2: Tính f(x1) ; f(x2) ; ; f(xi) ; f(a) ; f(b)

+ Bước 3: Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN (GTNN)

15.4. Tiệm Cận: Cho đường cong (C): y = f(x)

• Nếu ( )

( )o

o

x x

x x

lim f x lim f x

0 x

lim f x ylim f x y

• Tìm giới hạn và tiệm cận (nếu có)

• Lập bảng biến thiên, kết luận các khoảng đơn điệu, cực trị

cx d

−

=+

• Hsố đồng biến trên từng khoảng xác định  y' 0 x D> ∀ ∈  ad cb 0− >

• Hsố nghịch biến trên từng khoảng xác định  y' 0 x D< ∀ ∈  ad cb 0− <

+ Sắp xếp khoảng K vào bảng biến thiên để đảm bảo các yêu cầu của bài toán

• Cách 2: Phương trình y’ = 0 không cho nghiệm tốt , khi đó

+ Hàm số đồng biến trên K  y' 0 x K≥ ∀ ∈  h m( ) ( )≥g x ∀ ∈x K (1)+ Hàm số nghịch biến trên K  y' 0 x K≤ ∀ ∈  h m( ) ( )≤g x ∀ ∈x K (2)+ Lập bảng biến thiên cho hàm y g x= ( )(hàm này không chứa tham số m)+ (1)  h m( ) ≥max g x( ) ∀ ∈x K

– Lập bảng biến thiên xét dấu y’

– Sắp xếp khoảng K vào bảng biến thiên để đảm bảo các yêu cầu củabài toán

– Sử dụng kết quả trong mục 5 (so sánh nghiệm phương trình bậc hai

• Lập bảng biến thiên xét dấu y’ trong từng trường hợp

• Sắp xếp khoảng K vào bảng biến thiên để đảm bảo các yêu cầu của bài toán

• Chú ý: Nên xem xét vận dụng Cách 2 trong mục 17.3

17.5.Tìm tham số m để hàm số y = f x,m =( ) ax + b

cx + d đơn điệu trên khoảng K

• Tính ( )2

ad cby'

cx d

−

=+

• Hàm số đồng biến trên K 

ad cb 0

Kc

• Hàm số có cực đại, cực tiểu (hay có 2 cực trị)

 phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt  a 0

cực trị thỏa mãn hệ thức (I) nào đó

• Tìm điều kiện của m để hàm số có cực trị ( xem mục 17.7) (1)

• Biến đổi hệ thức (I) đã cho và thường vận dụng định lý Viet để tìm m

• Kết hợp với điều kiện (1) để đưa ra kết quả

17.11.Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm

( ≠ )

y = ax + bx + cx + d a 0

• Thực hiện phép chia y cho y’ và viết lại hs dưới dạng y u x y' x= ( ) ( )+Ax B+

• Gọi M(x1, y1), N(x2, y2) là hai điểm cực trị Khi đó 1 1

17.12.Tìm tham số m để y = f x,m = ax + bx + cx + d a 0 có hai cực( ) 3 2 ( ≠ )

trị nằm về hai phía đối với trục tung

• Tính y' 3ax= 2+2bx c+

• Hàm số có hai cực trị nằm về hai phía trục tung

 phương trình y’ = 0 có hai nghiệm trái dấu  P < 0

• Cách 2: Phương trình y’ = 0 không cho nghiệm tốt, khi đó

+ Hoặc ycbt  đồ thị tham số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

 phương trình f(x, m) = 0 có 3 nghiêm pb (xem mục 17.26)

+ Hoặc tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1, x2 (∆ >y' 0), sau đó:

- Viết phương trình đường thẳng d: y = Ax + B qua hai điểm cực trị

(xem mục 17.11),

- Tính được y1 = Ax1 + B, y2 = Ax2 + B

- Ycbt  y1.y2 < 0 (có vận dụng Viet)

17.14.Tìm tham số m để y = f x,m = ax + bx + cx + d a 0 có hai cực( ) 3 2 ( ≠ )

trị nằm về hai phía đối với đường thẳng d: Ax + By + C = 0 cho trước

• Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có cực trị (xem mục 17.7)

• Thực hiện tương tự dạng toán trong mục 17.13, tìm được tọa độ hai

điểm cực trị M(x1, y1), N(x2, y2)

• M, N nằm về 2 phía của đthẳng d  (Ax1 + By1 + C) (Ax2 + By2 + C) < 0

• Kết hợp với điều kiện (1) để đưa ra kết quả

17.15.Tìm tham số m để y = f x,m = ax + bx + cx + d a 0 có hai cực( ) 3 2 ( ≠ )

trị đối xứng nhau qua đường thẳng d: Ax + By + C = 0 cho trước

• Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có cực trị (xem mục 17.7) (1)

• Thực hiện tương tự dạng toán trong mục 17.13, tìm được tọa độ hai

• Kết hợp với điều kiện (1) để đưa ra kết quả

• Chú ý: Vận dụng định lý Viet để tính các hệ thức liên hệ giữa x1, x2

17.16.Tìm tham số m để y = f x,m = ax + bx + cx + d a 0 có hai điểm( ) 3 2 ( ≠ )

cực trị cách đều đường thẳng d: Ax + By + C = 0 cho trước

• Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có cực trị (xem mục 17.7)

• Thực hiện tương tự dạng toán trong mục 17.13, tìm được tọa độ hai

điểm cực trị M(x1, y1), N(x2, y2)

• Cách 1: M, N cách đều đường thẳng d  MN / /d

• Kết hợp với điều kiện (1) để đưa ra kết quả

17.17.Tìm tham số m để y = f x,m = ax + bx + cx + d a 0 có hai điểm( ) 3 2 ( ≠ )

cực trị A, B sao cho AB ngắn nhất, AB = k, OA = 2 OB,…

• Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có cực trị (xem mục 17.7)

• Thực hiện tương tự dạng toán trong mục 17.13, tìm được tọa độ hai

điểm cực trị A(x1, y1), B(x2, y2)

• Vận dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm, khai triển yêu cầu bàitoán, vận dụng định lý Viet, giải tìm m

• Kết hợp với điều kiện (1) để đưa ra kết quả

17.18.Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: Ax + By + C = 0 sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai cực trị của hàm số

+ Khi đó MA MB MA ' MB A 'B+ = + ≥ Do đó MA + MB nhỏ nhất

 M là giao điểm của đường thẳng A’B và đường thẳng d

17.19.Tìm tham số m để y = f x,m = ax + bx + cx + d a 0 có hai cực( ) 3 2 ( ≠ )

trị A, B sao cho AB tạo với đường thẳng d: Ax + By + C = 0 một góc α

• Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có cực trị (xem mục 17.7) (1)

• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm cực trị

• Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có 3 cực trị (xem mục 17.8) (1)

•Tìm tọa độ các điểm cực trị A(0, c), B, C của đồ thị hàm số, khi đóABC

∆ cân tại A

• ABC∆ vuông cân  AB.AC 0uuur uuur=

của ĐTHS => giao điểm I(x0, y0)

• Chia đa thức, viết lại hàm số y p q

• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm

17.22.Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = f(x)

• Dạng 1: Biết tọa độ tiếp điểm M(x0, y0)

+ PTTT với (C) tại điểm M(x0 ; y0) ∈ (C) là: y = f’(x0)(x – x0) + y0 (1)+ Tính y’, từ đó suy ra y’(x0)

+ Ráp vào phương trình tiếp tuyến (1)

• Dạng 2: Biết hoành độ tiếp điểm x0

+ PTTT với (C) tại điểm M(x0 ; y0) ∈ (C) là: y = f’(x0)(x – x0) + y0 (1)+ Tính y’, từ đó suy ra y’(x0)

+ Tính y0 = f(x0)+ Ráp vào phương trình tiếp tuyến (1)

• Dạng 3: Biết tung độ tiếp điểm y0

+ PTTT với (C) tại điểm M(x0 ; y0) ∈ (C) là: y = f’(x0)(x – x0) + y0 (1)+ Giải phương trình y0 = f(x0), tìm x0

+ Tính y’, từ đó suy ra y’(x0)+ Ráp vào phương trình tiếp tuyến (1)

• Dạng 4: Tại giao điểm của (C) với đường (C’): y = g(x)

+ PTTT với (C) tại điểm M(x0 ; y0) ∈ (C) là: y = f’(x0)(x – x0) + y0 (1)+ Giải phương trình f(x0) = g(x0), tìm x0, y0 = f(x0)

+ Tính y’, từ đó suy ra y’(x0)+ Ráp vào phương trình tiếp tuyến (1)

• Dạng 5: Biết hệ số góc k của tiếp tuyến

+ Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0, y0) là: y = f’(x0)(x – x0) + y0

+ Tính y’, giải phương trình f’(x0) = k tìm x0, y0 = f(x0)+ PTTT với (C) là: y = k(x – x0) + y0

+ Chú ý:

− Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y ax b= + thì y ' x( )0 =a

− Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y ax b= + thì ( )0

1

y ' x

a

= −

• Dạng 6: Tiếp tuyến đi qua điểm M1(x1; y1)

+ Gọi d: y = k(x – x1) + y1 (1) là đường thẳng qua M1(x1, y1) có hệ số góc k+ Điều kiện để d tiếp xúc (C) là: ( ) ( )

f x = k x - x + y

*f' x = k







+ Giải (*) tìm k, thay k vào (1) để có phương trình tiếp tuyến

+ Chú ý: Số tiếp tuyến đi qua M1(x1; y1) phụ thuộc vào số nghiệm k tìm được

17.23.Tìm điểm M sao cho từ M kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị (C): y = f(x)

• Gọi M(x0, y0), pt đường thẳng d qua M có hệ số góc k: y k x x= ( − 0)+y0

• d là tiếp tuyến của (C)  hệ ( ) ( ) ( )

• Thay (2) vào (1), ta được f x( ) =f ' x x x( ) ( − 0) +y0 ( )3

• Từ M kẻ được n tiếp tuyến đến (C)  pt (3) có n nghiệm phân biệt

17.24.Tìm điểm M sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C): y = f(x)

và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

• Gọi M(x0, y0), pt đường thẳng d qua M có hsgóc k: y k x x= ( − 0)+y0

• d là tiếp tuyến của (C)  hệ ( ) ( ) ( )

• Thay (2) vào (1), ta được f x( ) =f ' x x x( ) ( − 0)+y0 ( )3

• Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C)  pt (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

• Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau  f ' x f ' x( ) ( )1 2 = −1

17.25.Sự tương giao của các đồ thị: Cho (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)

• Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f(x) = g(x)

• Căn cứ vào số nghiệm của ptrình kết luận số giao điểm của (C) và (C’)

17.26.Tương giao của đồ thị (C): y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) và trục Ox 3 2

00

• Cách 3: (sử dụng cực trị của (C))

+ Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có cực trị (xem mục 15.7) + Thực hiện tương tự dạng toán trong mục 15.13, tìm được tọa độ hai

điểm cực trị M(x1, y1), N(x2, y2)

(C) không có cực trị

+ (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt  y y1 2 <0+ (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt  y y1 2 =0+ (C) cắt Ox tại 1 điểm phân biệt  y y1 2>0





17.27.Tìm m để đồ thị (C): y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) cắt đường thẳng 3 2 d: y = Ax + B tại ba điểm phân biệt thỏa mãn hệ thức (*)

• Tìm m để (C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt (xem mục 17.26) (1)

• Vận dụng định lý Viet khai triển hệ thức (*) giải tìm m

• Kết hợp với điều kiện (1) để đưa ra kết quả

17.28.Tương giao của đồ thị (C): y = ax + bx + c và trục Ox 4 2

17.29.Tìm m để đt d: y = px + q cắt đồ thị (C): y = ax + b

cx + d tại hai điểm phân biệt

M, N sao cho MN = k, MN ngắn nhất, ΔOMN vuông tại O, S ΔOMN =k,…

• Đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt

 pt (1) có hai nghiệm phân biệt khác d

c

− 

0d

• Gọi M x ,px( 1 1+q , N x , px) ( 2 2+q) là 2 giao điểm

• Tính độ dài MN = a 'm2+b'm c'+ , OMuuuur=(a ,b ,ON a ,b1 1) uuur( 2 2)

17.31.Biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = 0 bằng đồ thị (C): y = f(x)

• Biến đổi ptrình F(x, m) = 0 về dạng: f(x) = g(m) (*)

• Phương trình (*) là pthđgđ của (C) và đthẳng (d) : y = g(m) (d ⊥ Oy) =>Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của (C) và (d)

• Dựa vào đồ thị (C) kết luận số nghiệm của phương trình

17.32.Vẽ đồ thị của hàm số có dấu giá trị tuyệt đối từ đồ thị (C): y = f(x)

• Dạng 1: Đồ thị (C1): y = |f(x)| gồm phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành

và đối xứng phần đồ thị (C) phía dưới trục hoành qua trục hoành

• Dạng 2: Đồ thị (C2): y = f(|x|) gồm phần đồ thị (C) ở phía bên phải trụctung và đối xứng phần đồ thị (C) bên phải trục tung qua trục tung

17.33.Tìm các điểm cố định của họ đường cong (C m ): y = f(x, m)

• Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của (Cm), ta có y0 =f x ,m( 0 ) ∀m (1)

• Giải các hệ phương trình trên tìm x0, y0

17.34.Chứng minh I(x 0 , y 0 ) là tâm đối xứng của đồ thị (C): y = f(x)

• Công thức dời hệ trục Oxy sang hệ trục IXY: 0

• Viết lại phương trình (C) trong hệ trục IXY: Y = F(X)

• Chứng minh hàm số Y = F(X) lẻ => (C) nhận I(x0, y0) làm tâm đối xứng

17.35.Tìm các điểm có tọa độ nguyên trên đồ thị (C): y = ax + b