Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 giáo án, bài giảng

Vậy có Cjtam giác e _ Qua một cạnh hợp với một đỉnh không kề cạnh đó của đa giác lập được một tam giác chỉ có một cạnh là cạnh của tam giác nên có nn—4 tam giác chỉ có một cạnh là cạnh

Trang 1

TRƯỜNG THPT THỦ KHOA NGHĨA

CHÂU ĐÓC - AN GIANG

TOM TAT KIEN THUC

TOAN LOP 11

Tô Vĩnh Hoài

Trang 2

CONG THUC LUQNG GIAC

1; Giá trị các Hàm sô lượng giác của góc đặc biệt

° cos(—a) = cosa ° sin(—a) = — sina

° tan(—a) = — tana ° cot(—a) = — cotga b; Géc bunhau a va t-a

° cos(%-a) = — cosa ° sin(t-a) = sina

° tan(M-a) = — tana ° cot(m-a) = — cota

Trang 3

* cos(— +a) = — sina ° sin( +a) = cosa

° tan(~ +a) = —cota T1 ° cot +a) =—tana TL

f; Téng quat

° tan (a+km) = tana ° cot(at+tkm) = cota

4; Công thức cộng

a; sin(atb) = sinacosb + cosasinb

bị cos(a+b) = cosacosb + sinasinb

b; sin2a = 2sina.cosa (Sina.cosa = „sn24)

Cc; cos3a = 4cos*a —3cosa d; sin3a =3sina— Asin? a

6; Công thức hạ bậc

1+cos2a 1-cos2a 1-cos2a

â; cos°a=———— ; b;sina=————; ¢; tan’a = ————_

7; Công thức biến đổi tích thành tổng

a; coa.cosb 3 [ cos(a—b) + cos(a + b) ]

b; sina.sinb 5 costa —b)—- cos(a + b) ]

Trang 4

c; sina.cosb = 2 [sin(a —b) + sim(a + b) ]

8; Công thức biến đổi tổng thành tích

10; Hệ thức lượng trong tam giác

b”+c”-a”

2bc

ar? a@ =b’ +c’ —2be.cosA ° cosA =

b; Dinh liHamsé Sin 4 =? = © Jor

snA sinB sinC

§1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Trang 5

d) y=sin f(x); y=cosf (x) xdc định khi f(x) xác định

e) y=tan ƒ(x) xác định khi /ƒ@)#Š+im (keZ)

f) y=cot f(x) xdcdinhkhi f(x) # kn (keZ)

a) Ap dung các tính chât của bât đăng thức và với V+x ta có :

—l<sinx <l; —-l<cosx <1; O<sin?x <1; 0<cos*x <1

Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y=2sin x—3

Vxe R ta có: —1 < sinx <1 &@ -2 < 2sin x < 2 ©—5 < 2sin x—3 < —1

h) cot f(x) #cota =

Trang 6

Vậy GTLN của hàm số bằng — 5 ; GTNN của hàm số bằng - 1

b) Tìm giá trị lớn nhât, nhỏ nhat cua ham s6 y=asinx+bcosx+c

Vxe R ta có: —\a? +bŸ < asinx+bcosx < \a?+b?

ca t+b* < asinx+bcosx+c<c+ Ja +b

Vậy GTLN của hàm số bằng eta’ +b" ;

GTNN cua ham sé bing c—,/a?+b?

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIAC

1; Phương trình lượng giác cơ bản

a; Phương trình sizx = 7m

® - Điều kiện có nghiệm: |m| <1

® Tìmgóc asao cho sina =m (spar: a=sin 1 m)

Tadugc sinx = sina và áp dụng :

e Trường hợp đặc biệt sinu = 0 @u=kn

sinu =1e9 =" +k2n h sinu = 1 eu=—* +k2n

®_ Nếu không phải là giá trị đặc biệt có thể sử dụng

snu=m & [vs —5 sarin

e Tim gdcasaocho cosa = m (spur: a=cos 'm)

TOM TAT KIEN THUCTOAN 11

Trang 7

Tađược cosx=cosa va ap dung

e Trườnghợpđặcbiệt cosu =0 ust tin

e Néu m khong phai la gid tri dic biét cé thể sử dụng

u = arccosm +k27t cosu=m & ( với 0< arccosm Sr )

u=—arccosm +k2n

® —cosŒ = cos(t—Œ) ; sinœ = co 5 —Œ } —sinœ = co 5 +a

c; Phuong trinh tanx =m (x # 24k)

e Tim gdcasao cho tana = m (spar : a=tan™' m)

e Tadugc tanx = tana vaapdung tanu = tan © #= v + k7

Hay u=v+k1809 néu trong pt có cho độ

e Đặc biệt tan = 0 © w=Ät ; tang =‡| ©w=+ 7 + ÂN

tanu=m © u=arctanmt+kn [ + < arctanm< x

¢ Tađược cotx=cota vadpdung cotu=cotv Su=v+kn

Trang 8

Hay u=v+k180° nếu trong pt có cho độ

e Dac biét cotgu=0 ua" +kn ; cotgu=theru=4" thn

¢ Néum khong phai la gid tri dic biệt có thể sử dụng

cotu=m €u=arccotm+kn (Với 0< arecotzn<®)

® = cota =cot(-a); tana = co 5 —Œ } —tana = oo(§ + «|

e; Chú ý : Không viết công thức nghiệm dạng

4 agcot”x+acot"~!x + +a, _,cotx+a,= 0

b; Phương pháp Dat t = sinx (hay cosx ; tanx ; cotx) v6i t = sinx hay t = cosx phai c6 diéu kién | t| < 1 ta dugc phuong trình

aot” + at" 1+ +.4,_\t+ a„=0

giải lấy nghiệm t thích hợp và áp dụng phương trình co bản

Chú ý: cos2x=2cos”x—l=l-2sin?x;

sin? x=l—cos”x; cos”x= I—sin? x

ce; Ví dụ Giải phương trình

€ị; cos2x — 3cosx—4 = 0 @ 2cosx—3cosx—5 = 0 (1)

Đặt £= cosx ( điều kiện |¿| < 1 ) ta được (1) @ 2—3t—5 =0

©¡/=-—l hay I=3 (loai)

Với t= -ltacó cosx=-Í @ x=n+k20

2; fan x— tan "x— 3tanx + 3 = 0

Đặt = /anx ta được f—f—3f+ 3 = 0

3; Phương trình bậc nhất đối với sinx ; cosx

a; Dạng phương trình : zsix + bcosx = c

Trang 9

b; Điều kién c6 nghiém: a? +b? >c?

4; Phương trình đắng cap doi véi sin , cosx

a; Dang phuong trinh

agsin"x + a,sin"~'x.cosx + + a,cos"x=0 (1)

b; Cach giai

* Khicosx= 0 (taxét a,)

của phương trình

sin” x+eos?x = 1 )

* Khi cosx #() chia cả 2 về của pt cho cos” x ta được pt

agtan"x + atan"~'x + +a,=0

Trang 10

® Vớipt

asin? x+bsinxcosx+ccos” x+d =0 ta thay d=a(sin? x+cos” x)

ce; Vidu Giai phuong trinh

3sin’x + (3 3 )sinxcosx — V3cos’x = 0 (1)

e Khicosx=0 (1) © sinx = 0 (V6li vi sin’ x+cos’x =1 )

¢ Khicosx #0 Tacé (1) 3tan’x+(3- 43 )tanx — 43 =0 5; Phương trình lượng giác khác

Để giải một phương trình lượng giác chưa phải là dạng quen thuộc ta có thể kết hợp nhiều dạng khác nhau , có thể phân tích phương trình đã cho thành tích các thừa số , hoặc áp dụng tính chất bất đăng thức đưa về hệ phương trình để giải

Giả sử đê hoán thành một hành động (H) ta có thê thực hiện qua các

trường hợp A hoặc B hoặc C (mỗi trường hợp đều hoàn thành công việc)

Nếu A có m cách ; B có n cách ; C có p cách thì (H) có m +n +p cách |

b; QUI TÁC NHÂN

Giả sử để hoàn thành một hành động (H) ta can thực hiện qua các bước A;B;C liên tiếp nhau

Nếu A có m cách ; B có n cách ; C có p cách thì (H) có m n p .cách 2; Giai thừa cho neNÑ

Trang 11

a; Hoan vi : Cho A có n- phan tử , mỗi cách sắp thứ tự n- phần tr cua A gọi là một hoán vị

a; Chinh hợp : Cho tập A có n phần tử mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phan tử

của A (keRÑ; 0< k<n) gọi là một chỉnh hợp chập k của n

6; Cách phân biệt tổ hợp và chính hợp : Chỉnh hợp đi hỏi thứ tự còn

tô hợp không cân thứ tự tức là khi thay đôi thứ tự các phân tử mà kêt quả thay đôi thì là chỉnh hợp còn kêt quả không thay đối thì là tổ hợp

b; Số tổ hợp chập kcủan: C! =

Vậy có Củ =

Trang 12

NHI THUC NIUTON 1; Khai triển nhị thức Niuton

(a+b)" =Coa" +Cla™'b+C2a"?b? + + Cn ab"! +C"b"

Số hạng tổng quát thứ k + 1 của khai trién: T,,, = Cka"*b*

2; Tam giác Pascan (Giá trịcủa C*) Cachlap A + |

Cc

Muốn tìm C‡ ta tìm số ở dòng n cột k Ví dụ C‡=l5 (dòng 6; cột4)

chữ sô :

a ; Chia hết cho 5 Gọi số cần tìm là ABCDE

A có 6 cách chọn ; B có 7 cách chọn ; C có 7 cách chọn; D có 7 cách chọn ; E có 2 cách chọn Vậy có : 6.7.7.7.2 = 4116 sô

b; Đôi một khác nhau chia hết cho 2 Gọi số cần tìm là ABCDE

Trang 13

b; Lập được bao nhiêu tam giác

e _ Qua một cạnh hợp với một đỉnh không kề cạnh đó của đa giác lập

được một tam giác chỉ có một cạnh là cạnh của tam giác nên có n(n—4) tam giác chỉ có một cạnh là cạnh của tam giác

e Vậy có CÌ—n—-n(n-4) = Cỷ —nˆ+3n tam giác không chứa

cạnh nào của tam giác

x?

a; Tim số hạng chính giữa của khai triển ˆ

b; Tìm sô hạng không chứa x của khai triên „

Giải Số hạng tổng quát thứ k + 1 của khai triển

Tea = Cx)” 1š] =2! Chx” *

10 4; Trong khai triển * + 2]

2

Trang 14

a; Số hang chính giữa cua khai trién 14 7, =2°C},x° = 8064x°

C}? +aC}+a?C? + +a""!C?"!+a"C? = (I+a)”

b; Từ khai triển của

(I+x)”” = C, +C},x+C?,x? + + C? "ly?! + C?n y2"

Cho x =- l ta được C? —C, ,x+C? x”— —Cÿ""'y?""!+ C7"x” =0

a) Gieo n con súc sắc thì |o| =6"

b) Gieo n đồng tiền thì |O| = 2"

c) Lấy k viên bi trong thùng có n viên thì |O| =

d) Thùng 1 có m viên, thùng 2 có n viên Lấy k viên ở thùng 1 và h

viên ở thùng 2 thì |O| = Cyc)

Tô Y Hoà TOM TAT KIEN THUCTOAN 11 Ĩ > 14

Trang 15

2 Một biến cố A liên quan tới phép thử T là ©„ c © Biến cố A xảy

ra khi và chỉ khi kết quả của T thộc ©.„ Mỗi phần tử của ©, gọi là kết

3 Hai biên cô A, B gọi là xung khắc nêu A, B không đông thời xảy ra

4 Hai biến có A, B gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia

6 Ai,A, A, là các biến cố đôi một xung khắc th?

P(A,UA;U UA, ) =P(Ai)+P(A;)+ +P(A,)

7 A là biến có đối của biến cố A thì P(A)=1- P(A)

5 Xác suất của A là P(A) = [2a] | ( |x| là số phần tử của tap X )

8 A,,A,, 4, là các biến có độc lập thì

PÍA 4; A,) =P(A)P(A;) P(A,)

9 X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {› ¬

1/- Định nghĩa : Cho dãy sé (Un) nếu với Vne ÑÏta có :

a; Un < Un+1 thi day số (uy) 1a day số tăng

b; uạ >un¿ 1 thi day số (uạ) là dăy số giảm

c; Mét day sé tăng (hay giảm) gọi là day so don diéu

2/- Cách xét tính đơn điệu của dăy sô

Phương pháp : Để xét tính đơn điệu của dăy số ta có thề áp dụng tính

chất bất đăng thức đề Suy ra trực tiếp Hoặc xét hiệu M =uạ„¡ —un

a, NéuUns1—Un > 0, VøeRÑÏ thi (u,) la day sé tang

Trang 16

b, Nếu un;¡ -uạ < 0, VøeNÑÏ thi (u,) 1a day sé gidm

c, Ngoai 2 trường hợp trên thi (uy) là dăy số không tăng, không giảm

Cach1: VneN tacd 1 <n<n+1 en <(n+1)

& +l<(n+1 +1 © 3; un < uạ„¡ nên (uạ) là dãy số tăng

-[ (nt) Sen4) +7 [nể =5a+7] © [art )? -5(n+)+7 |(0?-5n+7)

Vì n-5n+7 >0 VøeÑÏ và 4—-2n >0 khi n<2;4-2n<0khi

n>2 Vậy (uạ) là dăy số không tăng , không giảm

C3 u, =(-1)"n Ta có u¡= -l; uạ=2; uạ= -3

Vậy (u,) là dăy sô không tăng, không giảm

H/- Tính bi chặn của dăy sô

1/- Định nghĩa

Cho day số (uạ) nếu với VneÑ” ta có:

a; JM saocho u, <M thi day số (uạ) bị chặn trên

b; dmsaocho u, 2m _ thi day $6 (Un) bi chặn dưới

c; Day số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy số bị chặn

Tô Y Hoà TOM TAT KIEN THUCTOAN 11 1 z ](

Trang 17

(u,) là một cấp số cộng nếu VneNÑ ,3d sao cho Hi = + d

d: công sai ; w là số hạng tổng quát thứ n

Cách 1: Chứng minh uạ;¡ —-uạ = d dlà 1 số không đổi Vøe Ñ”

Cách 2: Chứng minh unạ_¡ +un¿¡ = 2u, Vïe N’,n>1

1/- Cho (uạ) với uạ= 1-3n Ching minh rang (u,) 1a cap so cộng

Tacó ua¿¡—uạ =l—3(n+1)—(1—-3n) = -3 VueNÏ

Vậy (uạ) là cấp số cộng có công sai d=~3 "

2; Chứng minh răng 3 sô đương a; b; c lập thành câp sô cộng khi và

chỉ khi

ne Ene Ten lập thành cấp số cộng Ta có

Trang 18

boot tt 1 2

Toxle Verda’ Jardb ~ Jasob’ Jove Ja+ve

2(Va+Ve)(Va+vb) + (Va+Ve)(Vb+ve) = 2(Va+vb)(vb + Ve)

a+2Vab +2Vbe +2Vea +c =2Vab +2Vbc +2Vca +2b

phương trình ân số u¡ và d

Vídụ 1/- Xác định u¡ và d cua cap sô cộng biệt T

u, —u, tu, = TÔ

2/- Gitta 2 số a ; b hãy đặt thêm k số nữa đề được cấp số cộng

Ta có cấp số cộng có k + 2 số hạng nên uị =a; uy ;a =b

Ap dung u, + (n—-1)dta lần lượt tinh được các số cần tìm

Trang 19

3 nghiệm phân biệt lập thành câp sô cộng

Gia sử phương tính (I) có 3 nghiệm x¡; x¿; x: lập thành câp sô cộng

=> x; + X3 = 2x) Theo dinh li Viet tacd xj +x2+x3= _° =3

số cộng

Đặt t=x” (>0) ta được a +bt+c = 0 (2)

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt phương trình (2) có 2

nghiệm phân biệt tị ; tạ thoả 0< tị <t; Khi đó (1) có 4 nghiệm phân

Trang 20

CAP SO NHAN

1/- Dinh nghia

Day sé (u,) được gọi là cấp số nhân nếu 3 q sao cho

ua¿i=u„q VøeN*.q được gọi là công bội của cấp số nhân

Nếu u¡ =0thì CSN 0;0;0;0; q tuỳ ý

Nêu q =OthiCSN u;;0;0;0;

Nêu q=1thì CSN u¡;u¡;u¡;

2/- Tính chất

a; Số hạng tổng quát uạ = u¡.q"”

c; Téng n sé hang dau tién

Trang 21

2 2 2

J, ~—“—+_—”—=^ œb(b~e)+b(b~a)=(b—a)(b~

Vấn đề2_ Xác định cấp số nhân

Phương pháp

2 , o£ VÀ QIA ae , nay

Dé xac dinh | cap so nhan tir diéu kién da cho ap dung S, = u, 4 ; q-

va Un = u.q"~' lap hệ phương tính ấn số là u¡ và q

Tim q va 4p dung u, = uj.q"~ | tim dugce cac số còn lại

GIGI HAN CUA DAY SO

1/- Dinh nghia

a; limu,=0@ Vn,

ý kế từ một số hang nao đó trở đi

b; limu, =Le R & lim(u,-L)=0

c; limu, = to @& Vu, 1é6n hon mot số dương cho trước kể từ một số

hạng nào đó trở đi

u,| nhỏ hơn một số dương cho trước nhỏ tùy n

Trang 22

hạng nào đó trở đi

2/- Tính chất

a; lim(u, tv, ) = limu, + limv, b; lim(u, v, ) = limu, limy,

c; lim(k„, ) = k.limu, d;im “2=, (my x0) v„ limw,

e; Nếu limw„ =elR=: limlf„ =ŸÏL, lim.Íu„ =VÝL (nếu L>0)

Hc TOM TAT KIEN THUCTOAN 11 fl

Trang 23

Vấn đề2 Tìm giới hạn

1/- Tìm giới hạn bằng cách trong tử số và mẫu số đặt luỹ thừa bậc cao

nhất làm thừa số chung đơn giản thừa số chung hay chia cả tử và mẫu

cho luỹ thừa bậc cao nhất của n và áp dụng

Hc TOM TAT KIEN THUCTOAN 11 fl

Trang 24

4) lim = flimu tim u20 |

9/- Hàm số y=f(x) liên tục trong (a;b) và f(a).fb) < 0 thì

phương tính f(x) = 0 có nghiệm trong (a ; b)

10/ Giới hạn một bên

b Giới hạn vô cực (trong giới hạn một bên)

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	11,42 MB