SKKN tìm chữ số tận cùng

Cơ sở khoa học - Giải bài toán tìm chữ số tận cùng rèn cho học sinh đợc phơng pháp t duy phân tích tổng hợp và có đợc sự linh hoạt về t duy giải toán khác nhau nh chứng minh chia hết, ch

A – Phần mở đầu Phần mở đầu I- Lý do chon đề tài

1 Cơ sở khoa học

- Giải bài toán tìm chữ số tận cùng rèn cho học sinh đợc phơng pháp t duy phân tích tổng hợp và có đợc sự linh hoạt về t duy giải toán khác nhau nh chứng minh chia hết, chứng minh một số là số chính phơng… Học sinh có trí Học sinh có trí tởng tợng cao phát huy tích cực chủ động trong t duy, có tính sáng tạo trong khi giải toán

- Qua giảng dạy và tìm hiểu về dạng toán tìm chữ số tận cùng là dạng bài toán khó, bất quy tắc và khi giải bài tập có các dạng toán khác nhau Khi làm bài học sinh phải linh hoạt và biết phân biệt dạng để đa về bài toán quen thuộc để thực hiện bài giải đơn giản hơn

- Khi giáo viên đợc nghiên cứu sâu về các dạng toán Cụ thể là bài toán tìm chữ số tận cùng, sẽ nâng cao t duy và năng lực chuyên môn Để từ đó truyền đạt cho các em những bài toán đợc dễ hiểu hơn

2 Cơ sở thực tiễn:

- Khi học sinh cha đợc phân dạng về các bài toán tìm chữ số tận cùng thì các em thờng lúng túng, hay tìm mò hoặc khó tìm ra các lời giải nhanh và

đúng Các em rất ngại với những bài toán có số mũ lớn và số mũ là tham số

- Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi về dạng toán tìm chữ số tận cùng, tôi đã phân rõ các phơng pháp giải bài toán khác nhau để các em nắm đợc cách phân dạng Toán; từ đó các em đa ra các cách làm cho phù hợp với mỗi bài để có cách giải nhanh nhất

- Với những giáo viên cha đợc nghiên cứu về dạng Toán tìm chữ số tận cùng, nếu nắm đợc các phơng pháp tìm chữ số tận cùng thì sẽ nâng cao đợc năng lực t duy và năng lực chuyên môn

II Mục đích nghiên cứu:

- Nghiên cứu về bài toán tôi đa ra đợc các phơng pháp giải bài tập khác nhau để các em giải bài tập cụ thể một cách dễ ràng hơn Khi đó học sinh sẽ

có đợc phơng pháp phân tích t duy tổng hợp toán học, nâng cao năng lực giải toán và có nghị lực vợt khó để giải bài toán

- Khi nghiên cứu về dạng toán tìm chữ số tận cùng để tôi nâng cao năng lực chuyên môn và làm t liệu dạy học sinh giỏi

III Phơng pháp nghiên cứu:

* Phơng pháp tìm hiểu tài liệu:

* Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi, tôi nhận thấy học sinh còn lúng túng trong cách tìm chữ số tận cùng Từ đó tôi đã tìm hiểu các tài liệu để phân

dạng cho học sinh các cách làm dễ hơn Mỗi dạng tôi đa ra cơ sở lý thuyết và một số bài tập cụ thể để các em nắm chắc hơn các dạng toán và các cách làm

đối với những dạng Toán đó

B phần nội dung:

Phần I: Phơng pháp tìm chữ số tận cùng hoặc một số cuối

cùng của một số tự nhiên.

Phơng pháp 1: Dùng cấu tạo số:

I Cơ sở lý thuyết:

Xem số tự nhiên: A = nk với n, k N

1 Muốn tìm chữ số tận cùng của A chỉ cần biểu diễn A dới dạng:

A = 10a + b = ab  b là chữ số cuối cùng của A

Ta viết:

A = nk = (10q + r)k = 10t + rk với rN; 0r9

2

Chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số rk

- Nếu A = 100a + bc = abc thì bclà hai chữ số cuối cùng của A

- Nếu A = 1000a + bcd = abcd thì bcd là ba chữ số cuối cùng của A

… Học sinh có trí… Học sinh có trí… Học sinh có trí… Học sinh có trí… Học sinh có trí… Học sinh có trí… Học sinh có trí

- Nếu A = 10 m a m + a m 1 a0 = a m a a1 0 thì a m 1 a0 là m chữ số cuối cùng của A.

2 Vận dụng nghị thức Newtơn:

(a + b)n = c n0 a + c a n b

n

1

1  +… Học sinh có trí n n

n n

n







II Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A = 99 9

Giải:

Xem số M = 9k; k N

- Nếu k chẵn  k = 2m ta có:

M = 92m = 81m = (80 + 1)m

=(10q + 1)m = 10 t + 1 (với m, q, t N) Vậy: M có chữ số cuối cùng là 1 nếu k chẵn

- Nếu k lẻ  k = 2m + 1 ta có:

M = 92m+1 = 92m.9 = (10t + 1).9

= 10q + 9 (với m, t, q  N) Vậy: M có chữ số cuối cùng là 9 nếu k lẻ, ta có 99 là một số lẻ

Do đó: A = 99 9 có chữ số cuối cùng là 9

Bài 2: Tìm chữ số cuối cùng của số: B = 23 4

Giải:

B = 23 4 = 2 81 = (25)16.2 = 3216.2

= (30 + 2)16 2 = 10q + 217

= 10q + (25)3.22 = 10q + (10q + 2)3 22

= 10t + 25 = 10t + 2 Vậy B có chữ số cuối cùng là 2

Bài 3: Tìm hai chữ số cuối cùng của số: C = 2 999

Giải:

Ta có : 210 + 1 = 1024 + 1 = 1025 : 25 suy ra 210 – 1  25

Ta lại có 21000 – 1 = ( 220)50 – 1  220 – 1 suy ra 21000 - 125

Do đó 21000 chữ số tận cùng là 26 ; 51 ; 76 nhng 21000  4

suy ra 21000 tận cùng là 76  2999 tận cùng là 38 hoặc 88 vì 2999

 4

 2999 tận cùng là 88

Vậy C = 2999 có hai chữ số tận cùng là 88

Bài4: Tìm hai chữ số tận cùng của số: D=3 999

Giải

Ta có: 92m tận cùng là 1 ; 92m + 1 tận cùng là 9

Ta hãy tìm số d của phép chia 95 + 1 cho 100

Ta có : 95 + 1 = 10( 94 – 93 + 92 – 9 +1 )

Số : 94 + 92 +1 tận cùng là 3

93 + 9 tận cùng là 8

suy ra ( 94 – 93 + 92 – 9 +1) tận cùng là 5  94 – 93 + 92 – 9 +1 = 10q + 5

 95 + 1 =100q + 50  910 – 1 = ( 95 +1 )( 95 – 1 ) = 100t

Ta lại có :31000 – 1 = 9500 – 1 = (910)50 – 1 suy ra 31000 – 1  100

 31000 tận cùng là 01 Mặt khác 31000  3

Suy ra chữ số hàng trăm của 31000 phải là 2 ( để 201 chia hết cho 3 )

 31000 chữ số tận cùng là 201

Do đó 3999 tận cùng là 67

Bài 5 : Tìm hai chữ số tận cùng của số A = 9 99

Giải

A = 99 9

= ( 10 – 1)9 9

có dạng: ( 10 – 1)n với n = 99 ta lại có

A = C0

n 10n - C1

n 10n-1 + … Học sinh có trí… Học sinh có trí+ Cn 1

n 10 - Cn

n

Suy ra A có hai chữ số cuối cùng

Với a = Cn 1

n 10 - Cn

n = 10n – 1 Số n = 99 tận cùng là 9 Suy ra 10n tận cùng là 90  a = 10n – 1 tận cùng là 89

Vậy số A = 99 9

có hai chữ số cuối cùng là 89

Bài 6: Tìm hai chữ số tận cùng của số: B = 9 999

Giải

4

B = 99 99

= (10-1) với m = 99 9

m

m m

m m

m

c0 10  1 10  1    1 10 

 B có hai chữ số cuối cùng với số:

B = c  1 10  c m  10m 1

n

m

m

Số m = 99 9

tận cùng là 9 Suy ra: Số b tận cùng là 89

Vậy: Số B = 99 99

có 2 chữ số tận cùng là 89

Phơng pháp 2: Nhận xét về lũy thừa.

I Cơ sở lý thuyết: Nhận xét về lũy thừa.

- an là một lũy thừa

Các trờng hợp đặc biệt:

1 Các số có dạng:

+ (a0)n tận cùng bằng 0

+(a1)n; (a5)n; (a6)n tận cùng lần lợt là 1; 5; 6

+ (a3)4 ; (b7)n; (b9)n tận cùng bằng 1

+ (a2)4; (a4)4; (a8)4 tận cùng bằng 6

2 Các số 3 20 , 81 5 , 7 4 , 51 2 , 99 2 tận cùng 01

264, 65, 184, 242, 684, 742 có 2 chữ số tận cùng là 76

125n, 25n, 52 tận cùng là 25

3 Các số có dạng:

(a01)n; (a25)n, (a76)n có 2 chữ số tận cùng lần lợt là: 01, 25, 76

II Bài tập:

Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A = 99 9

Giải

Ta có: 92m tận cùng là 1

92m+1 tận cùng là 9

Suy ra: 99 tận cùng là 9, (9 là số lẻ.)

VËy A = 99 9 tËn cïng lµ 9.

Bµi 2: T×m ch÷ sè tËn cïng cña: C = 6 2002 , D = 2 2001

Gi¶i:

Ta cã: 61 tËn cïng lµ 6

62 tËn cïng lµ 6

63 tËn cïng lµ 6 VËy 6n tËn cïng lµ 6 suy ra 62002 tËn cïng lµ 6

Ta cã 24 = 16 tËn cïng lµ 6

Suy ra 22002 = (24)500.22 = (a6).4 = k4 víi a,k N  22002 tËn cïng lµ 4

Bµi 3: T×m ch÷ sè cuèi cïng cña sè: M = 7 1999 ; G = 18 177

Gi¶i

*Ta cã 74 = 2401 tËn cïng lµ 1

M = 71999 = (74) = (n1).343

= c3  tËn cïng lµ 3

VËy M = 71999 tËn cïng lµ 3

*Ta cã 184=n6 tËn cïng lµ 6

Suy ra: G = 18177 = (184)44 181 = t6.18 = k8

VËy G = 18177 tËn cïng lµ 8

Bµi 4: T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña sè: C = 2 999 , D = 3 999

Gi¶i:

* Ta cã: 220 cã 2 ch÷ sè tËn cïng lµ 76

Suy ra: C = 2999 = (220)49 .219 = ( y76).n88 = q88 (víi y,n,q N)

VËy C = 2999 cã 2 ch÷ sè tËn cïng lµ 88

* Ta cã: 3D = 31000 = (320)50 = (k01)50 = z01

Nªn 3D tËn cïng lµ 01 , mµ 3.3999  3  Ch÷ sè hµng tr¨m cña 31000 lµ 2

 31000 tËn cïng lµ 201

VËy 3999 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 67

Bµi 5 : T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña sè

a, M = 78966

b, N = 247561

c, 

Gi¶i

6

a, Ta cã 7 4 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 01

Suy ra M = 78966 = (74)2241.72 = (a01)2241.49 = c01.49 = n49

(víi a,c,n N)

Suy ra M = 78966 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 49

b,Ta cã 24 2 tËn cïng lµ 76

Suy ra N = 247561 = (242)3765.24 = (m76)3765.24 = k76.24 = n24

(víi m,k,n N)

VËy N = 247561 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 24

c, ta cã 81 5 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 01

Nªn Q = 816251 = (815)1250.81 = (k01 )1250.81 = t01.81 = m81

(víi k, t, m N )

VËy Q = 816251 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 81

Bµi 6: T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña sè

a, Z = 26854 b, C = 68194

Gi¶i

a, Ta cã 264 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 76

 Z = 26854 = (264)213.262 = (n76)213.676 = k76.676 = c76

( Víi n, k, c N )

VËy Z = 26854 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 76

b, Ta cã 684 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 76

Suy ra C = 68194 = (684)48.682 = (n76)48.4624 = k76.4624 = t24

( Víi n, k, t N )

VËy C = 68194 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 24

Bµi 7: T×m ba ch÷ sè tËn cïng cña sè T = 5 946

Gi¶i

Ta cã 53 cã ba ch÷ sè tËn cïng lµ 125

Suy ra T = 5946 = (53)315 5 = (n125 )315.5 = m125.5 = t625

( Víi n, m, t N )

VËy T = 5946 cã ba ch÷ sè tËn cïng lµ 125

Bµi 8: T×m 4 ch÷ sè tËn cïng cña sè: P = 5 1994

Gi¶i

Ta cã: 54 = 0625 tËn cïng lµ 0625

55 tận cùng là 3125

56 tận cùng là 5625

57 tận cùng 8125

58 tận cùng là 0625

59 tận cùng là 3125

510 tận cùng là 5625

511 tận cùng là 8125

512 tận cùng là 0625

… Học sinh có trí… Học sinh có trí… Học sinh có trí… Học sinh có trí… Học sinh có trí… Học sinh có trí Chu kỳ lặp là 4

Suy ra: 54m tận cùng là 0625

54m+1 tận cùng là 3125

54m+2 tận cùng là 5625

54m+3 tận cùng là 8125

Mà 1994 có dạng 4m+2 Do đó M = 51994 có 4 chữ số tận cùng là 5625

Phơng pháp 3: Dùng đồng d

I Cơ sở lý thuyết:

1 Định nghĩa: Cho số nguyên m>0, hai số nguyên a và b chia cho m

có cùng số d ta nói a đồng d với 6 theo mô đun m và viết a  b (mod m)

2 Định lý: Ba mệnh đề sau tơng đơng với nhau:

a a đồng d với b theo mô đun m

b a – b chia hết cho m

c có một số nguyên t sao cho a = b+m.t

3 Tính chất:

1 a a (mod m)

2 a b (mod m); b c (mod m) Suy ra: a c (mod m)

3  (mod )

) (mod

m b

a

m d

c



 suy ra: (mod(,mod) )

m d b a

m bd ac







Hệ quả: a+c b (mod m)  a b c(mod m)

ab (mod m)  a  m b n(mod m)

4 Nếu a  b (mod m); k ƯC (a,b), (k,m) = 1 thì (mod m)

k

b k

a



5  (mod )

0 ,

m b

a

k Z k





 suy ra ka  kb (mod m)

8

6 d ƯC (a,b,m) thì: ab (mod m) suy ra

d

b d

a

 (mod

d

m

)

7 Nếu ab (mod m1) và a b (mod m2) suy ra a b (mod m)

m = BCNN (m1, m2)

Hệ quả: (m1, m2, … Học sinh có trí, mn) =1 và ng tố từng đôi

Suy ra: ab (mod m1), a  b (mod m2) … Học sinh có trí… Học sinh có trí a  b (mod mn)

a  b (mod m1 m2… Học sinh có trí Mn)

II Bài tập

1 Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của 6 195 và 2 1000

Giải:

Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên N có nghĩa là phải tìm số d trong phép chia số N cho 10, tức là tìm số tự nhiên nhỏ hơn 10 đồng d với N theo mod 10

* Ta có: 62 = 36  6 mod 10 suy ra 6n 6 mod 10

Với N là số tự nhiên khác o

Suy ra: 6195+ 6 (mod 10) Vậy chữ số tận cùng của 6195 là 6

* Ta có: 21000 = 24 250 = (2n)250

Vì 2n  16 6 (mod 10)

Suy ra: (2n)250  16250  6250  6 (mod 10)

Do đó: 21000  6250  6 (mod 10)

Nghĩa là chữ số tận cùng của 21000 là 6

Vậy ta vận dụng đồng d vào tìm chữ số tận cùng có nghĩa là tìm chữ số tận cùng của số N với:

Một chữ số tận cùng là N  a (mod 10) suy ra tận cùng là a < 10 Hai chữ số tận cùng là N  b (mod 100) suy ra tận cùng là b:b <100

Ba chữ số tận cùng là N  c (mod 1000) suy ra tận cùng là c:c <1000

… Học sinh có trí… Học sinh có trí… Học sinh có trí… Học sinh có trí… Học sinh có trí… Học sinh có trí… Học sinh có trí

m chữ số tận cùng là N  K (mod 10… Học sinh có trí0) suy ra tận cùng là K:K

<10… Học sinh có trí0

Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của

a D = 2999

b G = 3999

Giải:

Ta cã: 220 = 1048576  1 (mod 25)

Suy ra: (220)50  150 (mod 25)

21000  1 (mod 25)

21000 chia cho 25 d 1

21000 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 1; 26; 51; 76 nhng 21000

4 suy ra hai ch÷ sè tËn cïng cña nã lµ 88

b Ta cã: 34  19 (mod 100) suy ra 38  192  6 (mod 100)

310  61.9  49 (mod 100) suy ra 3100  492  1 (mod 100)

Suy ra: 31000  01 (mod 100)

NghÜa lµ hai ch÷ sè tËn cïng cña 31000 lµ 01

Sè 31000

 3 nªn ch÷ sè hµng tr¨m cña nã khi chia cho 3 ph¶i d 2 (chia tiÕp th×

sè 201 : 3 nÕu sè d lµ 0,1 th× 001; 101 kh«ng chia hÕt cho 3)

VËy 3999 = 31000 3 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 76

Bµi 3: T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña sè: D = 9 99

Gi¶i

Ta cã: 92 = 81  1 (mod 10) suy ra 98

 (92)n

 1 (mod 10) Suy ra 99  1.9  9 (mod 10) suy ra 99  10k + 9 (kN)

94 = 6561  61 (mod 100)

98  612  21 (mod 100)

9100  2k81  01 (mod 100)

910k  1 (mod 100)

Suy ra: 99 9

= 910k+9 = (910)k.99  1 99 (mod 100)

Ta l¹i cã: 93 = 729  29 (mod 100)

99 = 293  89 (mod 100) VËy 99 9

cã hai ch÷ sè cuèi cïng lµ 89

Bµi 4: T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè 1991 1997 ; 1997 1996

Gi¶i

a Ta cã: 1991  1 (mod 10) suy ra 19911997  1 (mod 10)

VËy 19911997 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1

b Ta cã: 1997  7 (mod 10) suy ra 19972  49  9 (mod 10)

10

suy ra 19974  1 (mod 10) suy ra (19974)409  1 (mod 10)

suy ra 19971996  1 (mod 10)

Vậy 19971996 có chữ số tận cùng là 1

Bài 5: Tìm ba chữ số tận cùng của 2 13

Giải:

Ta có 210 = 1024; 210 = 24 (mod 1000)

Có 23  8 (mod 1000); 213  192 (mod 100)

Vậy ba chữ số cuối cùng của 213 là 192

Phần II: Các bài toán liên quan

Có thể dùng bài toán tìm chữ số tận cùng để chứng minh chia hết, nhận xét số có phải là số chính phơng hay không, tìm số d trong phép chia

Bài 1: Chứng minh rằng tồn tài n  N / 3 n tận cùng 000001

Giải

Ta chứng minh tồn tại n N để 3n – 1  106

Xét dãy gồm 1000000 số hạng 3; 32; 33; … Học sinh có trí; 310 6

(*) Chia các số hạng của dãy (*) cho 106 số d các phép chia là 1; 2; 3; … Học sinh có trí; 99999

có 1000000 phép chia nên ít nhất có 2 số cùng số d cho 106

Gọi 2 số đó là 3i và 3j với i, j  N, 1 i < j  106

suy ra: 3j – 3i

 106

3i(3j-i – 1)  106 mà (3i,10) =1 (3i: 106) = 1  3j-i – 1  106 Vậy tồn tại n N cho 3n tận cùng bằng 000001

Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại m  N / 3 m tận cùng với 001

Giải

Chứng minh tơng tự bài 1

Bài 3: Chứng minh rằng n 5 và n có chữ số tận cùng giống nhau Giải

Để chứng minh n5 và n có cùng chữ số tận cùng là đi chứng minh n5 – n 

10

Ta có: A = n5 – n = n(n4-1) = n(n2 -1).(n2+1)

= (n-1).n(n+1).(n2+1)

Ta cã 10 =2.5 vµ (2.5)=1

(n-1), n, n+1 lµ c¸c sè tù nhiªn liªn tiÕp

Suy ra A  2

Chøng minh A  5 nÕu n  5 th× A  5

NÕu n  5 d 1 suy ra n-1  5  A  5

n: 5 d 2 suy ra n2+1 = (5k+2)2+1 = (5k)2+20k+4+1 5  A 5

n: 5 d 3 suy ra n2 +1 =(5k+3)2+1 = (5k)2+30k+9+1 5 A 5

n: 5 d 4 suy ra n+1  5  A 5

VËy A 2 vµ  A  10

VËy n5 vµ n cã cïng ch÷ sè tËn cïng

Bµi 4: Chøng minh r»ng 1991 1997 -1997 1996 10

Gi¶i

Lµ chøng minh 2 sè cã cïng ch÷ sè tËn cïng: Theo bµi 4 ph¬ng ph¸p 3 ta cã

19911997 vµ 19971996 cso cïng ch÷ sè tËn cïng lµ 1

Suy ra 19911997-19971996 : 10

Bµi 5: TÝch 1125! tËn cïng lµ bao nhiªu ch÷ sè 0

Gi¶i

Ta thÊy 2.5 =10 tËn cïng lµ 1 ch÷ sè 0

Suy ra cã 1 thõa sè 5 tËn cïng lµ 1 sè 0

Víi 51 suy ra 1 1125 cã

5

5

1125 

+1 = 225 (ch÷ sè 5)

Víi 52 suy ra

25

25

1125 

+1 =45 (sè)

Víi 53 suy ra

125

125

1125 

+1=9 (sè)

Víi 54 cã 625 cã 1 (sè)

VËy cã 225+45+9+1=280 sè

VËy tËn cïng cã 280 ch÷ sè 0

12

Phần III: Kết quả đạt đợc

* Khi cha giảng dạy cho học sinh về các phơng pháp tìm chữ số tận cùng Tôi đã kiểm tra ở học sinh với bài toán:

Tìm chữ số tận cùng của số B = 23 4

Kết quả thu đợc nh sau:

* Sau khi đã đa ra phơng pháp tìm chữ số tận cùng về cơ sở lý thuyết và các bài tập minh họa Tôi thấy các em đã có cách t duy đúng và biết cách phân dạng bài toán Tìm chữ số tận cùng để đa ra cách giải hợp lý Tôi đã kiểm tra ở học sinh với bài toán: Tìm chữ số tận cùng của số B = 178253

Kết quả kiểm tra thu đợc nh sau:

5 học sinh 10 học sinh 17 học sinh 4 học sinh

C Kết luận chung

Qua tìm hiểu các bài toán về tìm chữ số tận cùng có vai trò quan trọng trong việc nâng cao năng lực chuyên môn của tôi Làm tài liệu bồi dỡng học