Nhưng trong quá trình học Toán nói chung, đặc biệt là phần Số học nói riêng, việc nắm bắt và vận dụng kiến thức, tìm ra phương pháp giải đối với học sinh là khó khăn.. Là một giáo viên d
Trang 11 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài
Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên có tính thực tiễn cao Từ lâu, con người đã vận dụng kiến thức Toán học để tính toán, giải quyết các vấn đề trong tự nhiên và trong thực tiễn của cuộc sống Có thể khẳng định rằng: Tất cả các môn khoa học khác đều liên quan mật thiết với Toán học Vì vậy, việc giảng dạy Toán học phải hướng tới một mục đích lớn hơn, đó là thông qua việc dạy học Toán để phát triển trí tuệ, phát huy trí thông minh, sự sáng tạo đồng thời góp phần giáo dục phẩm chất, đạo đức, lối sống và rèn luyện kĩ năng sống cho học sinh
Tri thức khoa học của nhân loại vô cùng phong phú và luôn mới mẻ Mục tiêu giáo dục thay đổi, yêu cầu chúng ta phải đổi mới phương pháp dạy học một cách phù hợp Để giúp cho giáo viên tháo gỡ những khó khăn trong quá trình đổi mới phương pháp dạy học, đã có nhiều giáo sư tiến sỹ, các nhà khoa học chuyên tâm nghiên cứu, thí điểm và triển khai đại trà về đổi mới phương pháp dạy học
Để đáp ứng yêu cầu đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục đào tạo theo tinh thần Nghị quyết 29 của BCH Trung ương Đảng khóa XI, vấn đề đổi mới phương pháp dạy học đối với tất cả các môn học phải theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn, chỉ đạo của giáo viên Học sinh
tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết vấn đề để lĩnh hội tri thức, từ đó học sinh tích cực, chủ động sáng tạo, có ý thức vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học vào vào thực tiễn
Đối với môn toán trong trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Quá trình giải toán là quá trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tế Thông qua việc giải toán để củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện được những kĩ năng cơ bản trong môn Toán Từ đó, rút ra được nhiều phương pháp dạy học hay, những tiết lên lớp có hiệu quả nhằm phát huy hứng thú học tập của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện
Nhưng trong quá trình học Toán nói chung, đặc biệt là phần Số học nói riêng, việc nắm bắt và vận dụng kiến thức, tìm ra phương pháp giải đối với học sinh là khó khăn Vì vậy, những giáo viên dạy Toán phải có nhiệm vụ trang bị kiến thức cũng như phương pháp giải đối với từng dạng toán cho học sinh
Là một giáo viên dạy môn Toán học, sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh và học hỏi, trao đổi với đồng nghiệp, tôi nhận thấy trong việc giảng dạy phần
Số học còn nhiều mảng kiến thức mà học sinh chưa có phương pháp giải cụ thể như: Các bài toán chia hết, các bài toán về cấu tạo số, các dạng toán về biểu thức,
Đặc biệt là dạng toán “Tìm một số chữ số tận cùng”, đây là dạng toán tương
đối khó đối với học sinh THCS, trong khi đó dạng toán này chưa đề cập nhiều trong sách giáo khoa, chủ yếu chỉ đưa ra một vài bài toán trong sách nâng cao, không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận dụng kiến thức,
Trang 2suy nghĩ của mình để giải quyết, vì thế các em còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập (chưa tìm ra quy luật chữ số tận cùng của lũy thừa) Xuất phát từ
thực tế đó, tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm trong việc dạy tìm chữ
số tận cùng” để giúp các em tháo gỡ khó khăn trên.
1.2 Những điểm mới của đề tài
Nội dung “Tìm chữ số tận cùng” đã có nhiều người nghiên cứu, nhất là những giáo viên giảng dạy tại các trường THCS Tuy vậy qua tìm hiểu và nắm bắt ở trong trường và các trường bạn, các thầy cô giáo chủ yếu tập trung vào việc nghiên cứu các dạng bài tập nhỏ về tìm 1 chữ số tận cùng Điểm mới trong đề tài bản thân tôi thực hiện tập trung hệ thống hóa các dạng bài tập liên quan đến các dạng toán tìm
1, 2, 3 chữ số tận cùng của lũy thừa, vận dụng dạng toán đó để chuyển thành dạng toán mới cùng với các phương pháp cụ thể và các bài tập mở rộng, nâng cao cùng dạng cho học sinh khá giỏi
1.3 Phạm vi áp dụng của đề tài
Đề tài trên tôi đã thực hiện đối với dạy các tiết Toán trong chương trình chính khóa và day bồi dưỡng học sinh giỏi cho các em tại đội tuyển học sinh giỏi của trường nơi tôi trực đang công tác và có thể áp dụng để bồi dưỡng HSG toàn huyện
Trang 32 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng của vấn đề
Qua thực tế giảng dạy môn Toán ở trường THCS, tôi nhận thấy nội dung lượng kiến thức của bộ môn Toán nhiều, nhiều dạng bài tập Mỗi tiết dạy đại trà ở lớp, giáo viên hướng dẫn học sinh tiếp nhận kiến thức về các dạng Toán cơ bản cho nhiều đối tượng Như vậy không có đủ lượng thời gian để giáo viên mở rộng
và nâng cao kiến thức cũng như rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho học sinh Biện pháp tốt nhất để rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho học sinh để học sinh có thể thường xuyên được luyện giải nhiều dạng bài tập khác nhau, cũng như tiếp xúc với các dạng bài tập có tính chất mở rộng và nâng cao, để từ đó học sinh có thể vận dụng một cách linh hoạt các cách giải từng dạng bài tập là hướng dẫn học ở nhà.Việc học sinh tự học ở nhà có một ý nghĩa lớn lao về mặt giáo dục và giáo dưỡng Nếu việc học ở nhà của học sinh được tổ chức tốt sẽ giúp các em rèn luyện thói quen làm việc tự lực, giúp các em nắm vững tri thức, có kỹ năng, kỹ xảo Ngược lại nếu việc học tập ở nhà của học sinh không được quan tâm tốt sẽ làm cho các em quen thói cẩu thả, thái độ lơ là đối với việc thực hiện nhiệm vụ của mình dẫn đến nhiều thói quen xấu làm cản trở đến việc học tập Vì vậy chất lượng chưa được đáp ứng
Trước khi thực hiện đề tài tôi đã tiến hành kiểm tra và khảo sát đối với 15 học sinh khá, giỏi ở các lớp 6 tại đơn vị bằng một số bài tập nâng cao Kết quả thu được như sau:
0 - < 2 2 - < 5 5 - < 6,5 6,5 - < 8 8 – 10
* Nhận xét:
Cơ bản học sinh nắm được nội dung của lý thuyết đơn thuần, song do các dạng bài tập phức tạp (nhiều yêu cầu, giả thiết có nhiều yếu tố), vì vậy, còn nhiều học sinh chưa nắm được nội dung của lý thuyết và các phương pháp giải toán, kĩ năng vận dụng kiến thức và phương pháp vào giải bài tập, kĩ năng trình bày bài còn hạn chế Qua kết quả đại trà các năm trước và khảo sát số học sinh khá, giỏi tôi nhận thấy do những nguyên nhân sau:
* Về phía giáo viên: Việc đánh giá chất lượng học sinh có lúc còn nương nhẹ,
giáo viên bồi dưỡng chưa đưa ra được phương pháp giải cụ thể cho mỗi dạng bài tập, chưa có kinh nghiệm trong công tác bồi dưỡng HSG
* Về phía học sinh: Do học sinh chưa ham học, chỉ làm những gì giáo viên giao, ý thức tìm tòi, ham hiểu biết chưa hình thành thói quen ở các em.Kiến thức học sinh còn chưa đồng đều
* Nguyên nhân khác: Do một số phụ huynh học sinh chưa nhận thức sâu sắc
về ý nghĩa và tầm quan trọng của việc học Toán, nhất là kiến thức nâng cao nên chưa thực sự quan tâm đến việc học tập của học sinh
Trang 42.2 Các giải pháp để tiến hành giải quyết vấn đề
2.2.1 Cung cấp kiến thức cơ bản:
2.2.1.1 Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số đều bằng a
an = a.a.a… a (n thừa số a)
2.2.1.2 Chữ số tận cùng của số tự nhiên
Biểu diễn một số tự nhiên trong hệ thập phân:
Với a, b, c, d N, 1 a 9, 0b c d, , 9
10
ab a b có chữ số tận cùng là b
100 10
abc a b c có chữ số tận cùng là c
1000 100 10
abcd a b c d có chữ số tận cùng là d
2
1 2 1 0 10n 1 10n 2 10 1 10 0
a a a a a a a a a a với a a n, n1 , , , ,a a a2 1 0 N,
1 2 2 1
1 a n 9,0 a n ,a n , , , ,a a a o 9, có chữ số tận cùng là a0
Dạng tổng quát của các số tự nhiên liên tiếp: a - 1, a, a + 1, a + 2,
a N, a > 1
2.2.1.3 Tính chất chữ số tận cùng của một tích
+ Tích của các số lẽ là một số lẽ
+ Tích của một số chẵn với một số bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn
- Một số chính phương thì tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 Không có số chính phương tận cùng bằng 2, 3, 7, 8
2.2.2 Trang bị các phương pháp tìm chữ số tận cùng hoặc một chữ số cuối cùng
2.2.2.1 Dạng 1: Tìm một chữ số tận cùng
Phương pháp giải
Xem số tự nhiên A = nk với n, k N
* Cách 1: - Muốn tìm chữ số cuối cùng của A, ta chỉ cần biểu diễn A dưới dạng A = 10a + b = ab b là chữ số cuối cùng của A
Ta viết: A = nk = (10q + r )k = 10t + rk với r N và 0 r 9
Chữ số cuối cùng của A là chữ số cuối cùng của rk
Nếu A = 100a + bc abc thì bc là hai chữ số cuối cùng của A
A = 10 n 1 2 1 0 1 2 1 0
a a a a a a a a a a thì a a n1 n2 a a1 0 là n chữ số cuối cùng của A
* Cách 2: Khi k lấy lần lượt những giá trị tự nhiên khác nhau thì trong biểu diễn thập phân của số A = nk , chữ số cuối cùng hoặc một số chữ số cuối cùng của
A xuất hiện tuần hoàn.Ta chỉ cần tìm chu kì của hiện tượng này và A ở trường hợp nào với giá trị k đã cho
Trang 5* Cách 3: Dùng phép chia có dư
Nhận xét:
(*) Để tìm số tận cùng của một luỹ thừa, ta chú ý rằng:
Tính chất 1:
a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi Chó ý: 92 = 34 = 81; 24 = 16
b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi
c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1
d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6
* Bài tập áp dụng
Bài 1 Tìm chữ số tận cùng của các số: a) 799 b) 141414 c) 4567
Hướng dẫn giải:
a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4:
99 - 1 = (9 - 1)(98 + 97 + … + 9 + 1) chia hết cho 4
=> 99 = 4k + 1 (k thuộc N) => 799 = 74k + 1 = 74k.7
Do 74k có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) => 799 có chữ số tận cùng là 7 b) Dễ thấy 1414 = 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d thì 141414 = 144k có chữ
số tận cùng là 6
c) Ta có 567 - 1 chia hết cho 4 => 567 = 4k + 1 (k thuộc N)
=> 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tính chất 1d, 44k có chữ số tận cùng là 6 nên 4567 có chữ
số tận cùng là 4
Tính chất sau được => từ tính chất 1
Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n
thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi
Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng
* Bài tập áp dụng
Bài 2 Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009
Hướng dẫn giải:
Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy
thừa đều có dạng n4(n - 2) + 1, n thuộc {2, 3, …, 2004})
Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:
(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9 = 9009
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9
Từ tính chất 1 tiếp tục => tính chất 3
Tính chất 3:
Trang 6a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n +
3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng
* Bài tập áp dụng
Bài 3 Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011
Hướng dẫn giải:
Nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy
thừa đều có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004})
Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411
có chữ số tận cùng là 4 ; …
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9
* Trong một số bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc đáo
Bài 4 Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho
19952000
Hướng dẫn giải: 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5 Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n2 + n + 1 có chia hết cho 5 không ?
Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7
=> n2 + n + 1 không chia hết cho 5
Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000
Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số
0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được bài toán sau:
Bài 5 Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương:
a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn)
b) N = 20042004k + 2003
Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ; 3 ; 7 ; 9”, ta tiếp tục giải quyết được bài toán:
Bài 6 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 Chứng minh rằng: p8n +3.p4n - 4 chia hết cho 5
Bài 7: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7430 ; 4931 ; 8732; 5833 ; 2335
Hướng dẫn giải:
Trang 7- Ta thấy các số có chữ số tận cùng là 4 thì khi nâng lên lũy thừa bậc 4 thì được số có chữ số tận cùng là 6 Ta có: 7430 = (744)7 742 = 6 .6 = 6 tận cùng bằng 6
- Ta thấy các số có chữ số tận cùng là 9 thì khi nâng lên lũy thừa bậc chẵn thì được số có chữ số tận cùng là 1, khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì được số có chữ số tận cùng là 9, Ta có: 4931 số mũ lẻ nên 4931 có chữ số tận cùng là 9
- Ta thấy các số có chữ số tận cùng là 7 thì khi nâng lên lũy thừa bậc 4 thì được số có chữ số tận cùng là 1 Ta có: 8732 = (874)8 = 1
- Ta thấy các số có chữ số tận cùng là 8 thì khi nâng lên lũy thừa bậc 4 thì được số có chữ số tận cùng là 6 Ta có: 5833 = (584)8 58 = 6 58 = 8
- Ta thấy các số có chữ số tận cùng là 3 thì khi nâng lên lũy thừa bậc 4 thì được số có chữ số tận cùng là 1 Ta có: 2335 = (234)8 233 = 1 7 = 7
Bài 8: Tìm chữ số tận cùng của các tổng, hiệu sau:
a, 132001 - 82001b, 7552 - 218 c,12591 + 12692 d, 116 + 126 + 136 + 146 + 156
+ 166
Hướng dẫn giải: Ta có
a, 132001 - 82001 = (134)500 13 - (84)500 8 = ( 1) 13 - ( 6) 8 = 3 8 = 4
b, 7552 - 218 = 5 - 1 = 4
c,12591 + 12692 = 5 + 6 = 1
d, 116 + 126 + 136 + 146 + 156 + 166
= 1 + 124 122 + 134 132 + (142)3 + 5 + 6
= 1 + 6 4 + 1 9 + 6 + 5 + 6
= 1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 = 1
Bài 9 Tìm chữ số cuối cùng của số: a, A =
9
9
9 b, B = 23 4
Hướng dẫn giải:
a, Xem xét số M = 9k , k N
Cách 1: - Nếu k chẵn: k = 2m Ta có: M =
2
9 m 81m 80 1 m (10q 1)m 10 1t m, q, t N
Suy ra M tận cùng là 1 nếu k chẵn
- Nếu k lẻ: k = 2m + 1.Ta có: M = 92m19 9 (102m t1).9 10 p9 với m, p, t
N Suy ra M tận cùng là 9 nếu k lẻ
Ta có: 99 là 1 số lẻ Do đó
9
9
9 có chữ số tận cùng là 9.
Cách 2: ta xét quy luật tuần hoàn của 9k
b, Ta có:
4
3
2 2 2 32 2 30 2 2 10 q 2 10q 2 2 10q 10p 2 2
5
10t 2 10h 2
Vậy B tận cùng là 2
Trang 8Cách 2: ta xét quy luật tuần hoàn của 2k
.
Bài 10: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a, (2345)42 b, (5796)35
Hướng dẫn giải:
Ta có
a, (2345)42 = 2345 42 = 234210 = (2342)105 = (…6)105 = …6
b, (5796)35 = 5796.35 = 579210 = (5792)105 = (…1)105 = …1
Bài 11 Cho S = 1 + 3 +32 +33 + + 330 Tìm chữ số tận cùng của S
CMR: S không là số chính phương
Hướng dẫn giải:
S = 1 + 3 +32 +33 + + 330
= (1 + 3 + 9 + 27 ) + (…1 + …3 + …9 + …7 ) + … +(…1 + …3 + …9 + …
7 ) +(…1 + …3 + …9 )
= …0 +…0 + …0 +… +…0 + …3
= ….0.8 + …3 = …0 + …3 = …3
Vậy chữ số tận cùng của S là 3
Vì số chính phương không có chữ số tận cùng là 3 nên S không phải là số chính phương
2.2.2.2 Dạng 2: Tìm hai chữ số tận cùng:
Phương pháp giải
Nhận xét: Nếu x Є N và x = 100k + y, trong đó k ; y Є N thì hai chữ số tận
cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y
Hiển nhiên là y ≤ x Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số
tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn)
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am như sau
Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = am 2m Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1
25
Viết m = pn + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq 4 ta có:
x = am = aq(apn - 1) + aq
Vì an - 1 25 => apn - 1 25 Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên aq(apn - 1) 100 Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq
Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 100
Viết m = un + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có:
x = am = av(aun - 1) + av
Vì an - 1 100 => aun - 1 100
Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của av Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của av
Trang 9Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta phải tìm được số tự nhiên n Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận cùng của aq và av
(*) Để tìm số hai chữ số tận cùng của một luỹ thừa, ta chú ý rằng :
- Các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01, 25, 76
- Các số 320 (hoặc 815), 74, 512, 992 có hai chữ số tận cùng bằng 01
- Các số 220, 65, 184, 242 ,684 ,742 có hai chữ số tận cùng bằng 76
- Số 26n (n > 1) có hai chữ số tận cùng bằng 76
* Bài tập áp dụng
Bài 12: Tìm hai chữ số tận cùng của các số: a) a2003 b) 799
Hướng dẫn giải:
a) Do 22003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho
2n - 1 25
Ta có 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025 25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1) 25 =>
22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k Є N)
Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08
b) Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n
-1 100
Ta có 74 = 2401 => 74 - 1 100
Mặt khác: 99 - 1 4 => 99 = 4k + 1 (k Є N)
Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cùng bởi hai chữ số 07
Bài 13: Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25
Hướng dẫn giải: Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3517 Do số này lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3n - 1 100
Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + 1 50 => 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1) 100 Mặt khác: 516 - 1 4 => 5(516 - 1) 20
=> 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ số tận cùng là 43
Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18
Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp
Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của hai chữ số tận cùng Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng
Các bài toán trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì
n = 4
Một câu hỏi đặt ra là: Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau đây
Trang 10Tính chất 4: Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a20 - 1 25
Bài 14: Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng:
a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002
b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + + 20042003
Hướng dẫn giải:
a) Dễ thấy, nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a100 - 1 chia hết cho
4 ; nếu a chia hết cho 5 thì a2 chia hết cho 25
Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a Є N và (a, 5) = 1 ta có a100 - 1
25
Vậy với mọi a Є N ta có a2(a100 - 1) 100
Do đó S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + + 20042
Vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S1 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng 12 + 22 + 32 + + 20042 áp dụng công thức:
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
=>12 + 22 + + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận cùng là 30 Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30
b) Hoàn toàn tương tự như câu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + + 20043(20042000
- 1) + 23 + 33 + 20043 Vì thế, hai chữ số tận cùng của tổng S2 cũng chính là hai chữ
số tận cùng của 13 + 23 + 33 + + 20043
áp dụng công thức:
=> 13 + 23 + + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tận cùng là 00 Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00
Trở lại bài toán 5 (TTT2 số 15), ta thấy rằng có thể sử dụng việc tìm chữ số tận cùng để nhận biết một số không phải là số chính phương Ta cũng có thể nhận biết điều đó thông qua việc tìm hai chữ số tận cùng
Ta có tính chất sau đây
Tính chất 5: Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu:
+ A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 ;
+ A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn ;
+ A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ ;
+ A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2 ;
+ A có hai chữ số tận cùng là lẻ
Bài 15: Cho n Є N và n - 1 không chia hết cho 4 Chứng minh rằng 7n + 2 không thể là số chính phương
Hướng dẫn giải: Do n - 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}).
Ta có 74 - 1 = 2400 100 Ta viết 7n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k - 1) + 7r + 2
Vậy hai chữ số tận cùng của 7n + 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7r +
2 (r = 0, 2, 3) nên chỉ có thể là 03, 51, 45 Theo tính chất 5 thì rõ ràng 7n + 2 không thể là số chính phương khi n không chia hết cho 4
Bài 16: Tìm số hai chữ số tận cùng của 71991