Cho hình bình hành ABCD có tâmO và E là trung điểm AD.. Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh
Trang 1Chơng I
VEC TƠ
A Khái niệm véc tơ
1 Cho ∆ABC Có thể xác định đợc bao nhiêu vectơ khác 0
2 Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0
b/ Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA
CMR : MQ→ = NP→
1 Cho ∆ABC Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm AB, BC, CA
a/ Xác định các vectơ cùng phơng với MN→
b/ Xác định các vectơ bằng NP→
2 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF Dựng các vectơ EH→ và FG→ bằng AD→
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.
3 Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD Từ C vẽ →CI = DA→ CMR :
a/ I là trung điểm AB và →DI = CB→
b/ →AI = →IB = DC→
4 Cho ∆ABC Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AD Dựng MK→ = CP→ và KL→ =
→
BN
a/ CMR : KP→ = PN→
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR : AL→ = 0
B Phép toán véc tơ
1 Cho 4 điểm A, B, C, D CMR : AC→ + BD→ = AD→ + BC→
5 Cho 5 điểm A, B, C, D, E
CMR : AB→ + CD→ + EA→ = CB→ + ED→
6 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F
CMR : AD→ + BE→ + CF→ = AE→ + BF→ + CD→
7 Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H
Trang 2CMR : AC→ + BF→ + GD→ + HE→ = AD→ + BE→ +GC→ + HF→
8 Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD CMR :
a/ DO→ + AO→ = AB→
b/ OD→ + OC→ =BC→
c/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0
d/ MA→ + MC→ = MB→ + MD→ (với M là 1 điểm tùy ý)
9 Cho tứ giác ABCD Gọi O là trung điểm AB.
CMR : OD→ + OC→ = AD→ + BC→
10 Cho ∆ABC Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý AA→ ' , BB→' , CC→'
CMR : AA→ ' + BB→' + CC→' = BA→' + CB→' + AC→'
11 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính → →
+ AD
AB theo a
12 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính → →
+ AD
AB
b/ Dựng u = AB→ +AC→ Tính u
13 Cho ∆ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng v = AB→ +AC→
b/ Tính v
14 Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ OA OB OC ODuuu uuu uuu uuu, , , có độ dài bằng nhau và OA OB OC ODuuu uuu uuu uuu+ + + = 0 Chứng minh ABCD là hình chữ nhật
2 Cho ∆ABC Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý
a/ CMR : AM→ + BN→ + CP→ = 0
b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ = OM→ + ON→ + OP→
15 Cho ∆ABC có trọng tâm G Gọi M∈BC sao cho BM→ = 2MC→
a/ CMR : AB→ + 2AC→ = 3AM→
b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ = 3MG→
16 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR : AD→ + BC→ = 2EF→
b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0
Trang 3c/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = 4MO→ (với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí của điểm M sao choMA + −→ MB +−→ MC−→+MD−→ nhỏ nhất
17 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : AF→ + BG→ + CH→ + DE→ = 0
b/ CMR : MA→ +MB→ +MC→ +MD→ = ME→ +MF→ +MG→ +MH→
c/ CMR : AB→ +AC→ + AD→ = 4AG→ (với G là trung điểm FH)
18 Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lợt là G và H
CMR : AD→ + BE→ + CF→ = 3GH→
19 Cho hình bình hành ABCD có tâmO và E là trung điểm AD CMR :
a/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0
b/ EA→ + EB→ + 2EC→ = 3AB→
c/ EB→ + 2EA→ + 4ED→ = EC→
3 Cho 4 điểm A, B, C, D CMR : AB→ − →
CD = AC→ + DB→
20 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F CMR :
a/* CD→ + FA→ − →
BA − →
ED + BC→ − →
FE = 0
b/ AD→ − →
FC − →
EB = CD→ − →
EA − →
FB
c/ AB→ − →
DC − →
FE = CF→ − →
DA + EB→
21 Cho ∆ABC Hãy xác định điểm M sao cho :
a/ MA→ − →
MB + MC→ = 0
b/ MB→ − →
MC + BC→ = 0
c/ MB→ − →
MC + MA→ = 0
d/ MA→ − →
MB − →
MC = 0
e/ MC→ + MA→ − →
MB + BC→ = 0
22 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính →
AD− →
AB b/ Dựng u = CA→ − →
AB Tính u
23 Cho ∆ABC đều cạnh a Gọi I là trung điểm BC
a/ Tính → →
− AC
AB
Trang 4b/ TÝnh →
BA− →
BI
24 Cho ∆ABC vu«ng t¹i A BiÕt AB = 6a, AC = 8a
− AC
AB
4 Cho ∆ABC Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB vµ O lµ 1 ®iÓm tïy ý
a/ CMR : AM→ + BN→ + CP→ = 0
b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ = OM→ + ON→ + OP→
5 Cho ∆ABC cã träng t©m G Gäi M ∈ BC sao cho BM→ = 2MC→
a/ CMR : AB→ + 2AC→ = 3AM→
b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ = 3MG→
25 Cho tø gi¸c ABCD Gäi E, F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, CD vµ O lµ trung ®iÓm cña EF.
a/ CMR : AD→ + BC→ = 2EF→
b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0
c/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = 4 MO→ (víi M tïy ý)
26 Cho tø gi¸c ABCD Gäi E, F, G, H lÇn lît lµ trung ®iÓm AB, BC, CD, DA vµ M lµ 1 ®iÓm tïy ý.
a/ CMR : AF→ + BG→ + CH→ + DE→ = 0
b/ CMR : MA→ +MB→ +MC→ + MD→ = ME→ + MF→ + MG→ + MH→
c/ CMR : AB→ + AC→ + AD→ = 4AG→ (víi G lµ trung ®iÓm FH)
27 Cho hai ∆ABC vµ DEF cã träng t©m lÇn lît lµ G vµ H
CMR : AD→ + BE→ + CF→ = 3GH→
28 Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã t©m O vµ E lµ trung ®iÓm AD CMR :
a/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0
b/ EA→ + EB→ + 2EC→ = 3AB→
c/ EB→ + 2EA→ + 4ED→ = EC→
29 Cho tam gi¸c ABC, Gäi I lµ ®iÓm trªn c¹nh BC sao cho 2CI = 3BI, gäi J lµ ®iÓm trªn BC kÐo dµi
a) TÝnh uu uuAI AJ theo AB AC, uuu uuu,
b) Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC TÝnh uuuAG theo uuuAI vµ uuAJ
6 Cho ∆ABC cã M, D lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, BC vµ N lµ ®iÓm trªn c¹nh AC sao cho AN→ = 2
1 →
NC Gäi K lµ trung ®iÓm cña MN
Trang 5a/ CMR : AK→ =
4
1 →
AB +
6
1 →
AC
b/ CMR : KD→ =
4
1 →
AB +
3
1 →
AC
30 Cho ∆ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD→ = 2DB→ , CE→ = 3EA→ Gọi
M là trung điểm DE và I là trung điểm BC CMR :
a/ AM→ =
3
1 →
AB +
8
1 →
AC
b/ MI→ =
6
1 →
AB +
8
3 →
AC
31 Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2AB→ + 3AC→ = 5AD→
CMR : B, C, D thẳng hàng
32 Cho ∆ABC, lấy M, N, P sao cho MB→ = 3MC→ ;NA→ +3NC→ =0 và PA→ + PB→ = 0
a/ Tính PM→ , PN→ theo AB→ và AC→
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng
33 Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là
điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm
34 Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý Gọi A’, B’, C’ lần lợt là điểm đối xứng của M qua các trung
điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a/ Chứng minh ba đờng thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
35 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tng đtều kiện sau :
a/ MAuuu=MBuuu.
b/ MA MB MC Ouuu uuu uuuu+ + =u
c/ |ΜΑ + ΜΒ=ΜΑ + Μ uuuu uuuu uuuu uuuuC
d/ ΜΑ + Β = ΜΑ − ΜΒC 3
2
uuuu uuu uuuu uuuu
e/ | ΜΑ + Β =ΜΑ − ΜΒuuuu uuuC uuuu uuuu
C Trục Toạ độ trên trục: –
7 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là −2 và 5
a/ Tìm tọa độ của AB→
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2MA→ + 5MB→ = 0
Trang 6d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA + 3NB = −1
36 Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lợt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho MA→ + MB→ − →
MC = 0
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA→ − 3NB→ = NC→
37 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là −3 và 1
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA − 2MB = 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3NB = AB
38 Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR :
AC
1
+
AD
1
=
AB 2
b/ Gọi I là trung điểm AB CMR : 2
IA ID
IC =
c/ Gọi J là trung điểm CD CMR : AC AD = AB AJ
D Toạ độ trên mặt phẳng:
8 Viết tọa độ của các vectơ sau : a =i − 3j , b = 21 i +j ; c = −i + 23 j ; d = 3i ; e
= −4j
39 Viết dới dạng u = xi + yj , biết rằng :
u
= (1; 3) ; u = (4; −1) ; u = (0; −1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0)
40 Trong mp Oxy cho a = (−1; 3) , b = (2, 0) Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ :
a/ u = 3a − 2b
b/ v = 2a + b
c/ w = 4a − 21 b
41 Trong mp Oxy cho A(1; −2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ AB→ , AC→ , BC→
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho : CM→ = 2AB→ − 3AC→
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho : AN→ + 2BN→ − 4CN→ = 0
42 Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2)
a/ CMR : ∆ABC cân Tính chu vi ∆ABC
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC
Trang 743 Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1).
a/ CMR : ∆ABC vuông Tính diện tích ∆ABC
b/ Gọi D(3; 1) CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
44 Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(−3; 6) , B(9; −10) , C(−5; 4)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC
c/ Tìm tọa độ tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC và tính bán kính đờng tròn đó
45 Trong mp Oxy cho A(−3; 2) , B(4; 3) Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ∆ABM vuông tại M
46 Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ∆ABC cân tại C
b/ Tính diện tích ∆ABC
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
47 Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(−1; −1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC
c/ CMR : ∆ABC vuông cân
d/ Tính diện tích ∆ABC
9 Cho ∆ABC với trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM
a/ CMR : 2→IA + →IB + →IC = 0
b/ Với 1 điểm O bất kỳ CMR : 2OA→ + OB→ + OC→ = 4→OI
48 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ∆ABC
a/ CMR : 2→AI = 2AO→ + AB→
b/ CMR : 3DG→ = DA→ + DB→ + DC→
49 Cho ∆ABC Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho BC→ = 3BN→ Tính AN→ theo AB→ và AC→
50 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
a/ CMR : →AI =
2
1 (AD→ + 2AB→ ) b/ CMR : OA→ + →OI + OJ→ = 0
c/ Tìm điểm M thỏa : MA→ − →
MB + MC→ = 0
51 Cho ∆ABC và 1 điểm M tùy ý
a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD→ = MC→ + AB→ , ME→ = MA→ + BC→ và MF→ =
Trang 8MB + CA→ CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M
b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ = MD→ + ME→ + MF→
52 Cho ∆ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện :
a/ MA→ = MB→
b/ MA→ + MB→ + MC→ = 0
c/ →
MA + MB→ = →
MA − →
MB d/ →
MA + MB→ = →
MA + →
MB e/ →
MA + MB→ = →
MA + MC→
53 Cho ∆ABC có trọng tâm G Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD→ = 2AB→ , AE→ =
5
2 →
AC
a/ Tính AG→ , DE→ , DG→ theo AB→ và AC→
b/ CMR : D, E, G thẳng hàng
54 Cho ∆ABC Gọi D là điểm xác định bởi AD→ =
5
2 →
AC và M là trung điểm đoạn BD
a/ Tính AM→ theo AB→ và AC→
b/ AM cắt BC tại I Tính
IC
IB
và AI AM
55 Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2).
a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B
b/ Tính chu vi và diện tích ∆ OAB
c/ Tìm tọa độ trong tâm ∆ OAB
d/ Đờng thẳng AB cắt Ox và Oy lần lợt tại M và N Các điểm M và N chia đoạn thẳng AB theo các tỉ
số nào ?
e/ Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E Tìm tọa độ điểm E
f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành