Tính diện tích tam giác ABC.. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn.. Chứng minh rằng: a.DE là tiếp tuyến của đờng tròn O... Do đó DE là tiếp tuyến của đờng tròn O.
Trang 1ờng thcs yên lạc
đề thi học sinh giỏi môn toán 9
Thời gian: 120 phút
Câu 1:
a Xác định x ∈R để biểu thức :A =
x x
x x
− +
−
− +
1
1 1
2 2
Là một số tự nhiên
b Cho biểu thức:
+ +
+ +
z y
yz
y x
xy
x
Biết x.y.z = 4 , tính P
Câu 2:
Cho các điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)
a Chứng minh 3 điểm A, B ,D thẳng hàng; 3 điểm A, B, C không thẳng hàng
b Tính diện tích tam giác ABC
Câu3:
Giải phơng trình: x− 1 − 3 2 −x = 5
Câu 4:
Cho đờng tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = R 2 Vẽ các tiếp tuyến
AB, AC với đờng tròn Một góc ∠xOy = 450 cắt đoạn thẳng AB và AC lần lợt tại
D và E
Chứng minh rằng:
a.DE là tiếp tuyến của đờng tròn ( O )
b R<DE<R
3
2
đáp án toán 9
Câu 1: (2.5đ) a.
x x
x x
x x
x
) 1 ).(
1 (
1
2 2
2
+ +
− +
+ +
−
−
A là số tự nhiên ⇔ -2x là số tự nhiên ⇔ x =
2
k
b.Điều kiện xác định: x,y,z ≥ 0, kết hpọ với x.y.z = 4 ta đợc x, y, z > 0 và
2
=
xyz (0.25đ)
Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ 2 với x; thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ 3 bởi xyz ta đợc:
2
2 2
(
2 2
+ +
+ +
= + +
+ + +
+ +
xy x xy x
z
z x
xy
xy x
xy
x
(1đ)
Câu 2: (2đ)
a.Đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B có dạng y = ax + b
Điểm A(-2;0) và B(0;4) thuộc đờng thẳng AB nên ⇒ b = 4; a = 2
Trang 2Vậy đờng thẳng AB là y = 2x + 4 (0.5đ)
Điểm C(1;1) có toạ độ không thoả mãn y = 2x + 4 nên C không thuộc đờng thẳng AB ⇒ A, B, C không thẳng hàng (0.25đ)
Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + 4 nên điểm D thuộc đờng thẳng AB
b.Ta có :
AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20
AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10
BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10
⇒AB2 = AC2 + BC2 ⇒∆ABC vuông tại C (0.75đ) Vậy S∆ABC = 1/2AC.BC = 10 10 5
2
1 = ( đơn vị diện tích ) (0.25đ)
Câu 3: (1.5đ)
Đkxđ x≥1, đặt x− 1 =u; 3 2 −x =v ta có hệ phơng trình:
=
+
=
−
1
5
3
2 v
u
v
u
(0.75đ)
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế ta đợc: v = 2 (0.5đ)
Câu 4: (4đ)
a.áp dụng định lí Pitago tính đợc
AB = AC = R ⇒ ABOC là hình
vuông (0.5đ)
Kẻ bán kính OM sao cho
∠BOD = ∠MOD⇒
∠MOE = ∠EOC (0.5đ)
Chứng minh ∆BOD = ∆MOD
⇒∠OMD = ∠OBD = 900
Tơng tự: ∠OME = 900
⇒D, M, E thẳng hàng Do đó DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O) (1đ) b.Xét ∆ADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC
⇒2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R⇒DE < R (1đ)
Ta có DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC
Cộng từng vế ta đợc: 3DE > 2R ⇒ DE >
3
2
R
B
M A
O
C D
E