Đờng chéo hình thang cắt nhau tại O.. Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABO, cắt cạnh AD tại E.. Chứng minh BEDC là hình thoi... Trờng hợp thứ nhất x= ythì hệ phơng trình không có nghiệm...
Trang 1Trường THCS Yờn lạc
Năm học 2008-2009
Kỳ thi khảo sỏt đội tuyển Học sinh giỏi
Đề bài khảo sỏt mụn Toỏn
Lớp IX
Thời gian làm bài 150 phỳt Ngày thi 26 thỏng 2 năm 2009
Đề bài:
Câu 1: a) Có thể hay không số {11 1211 1{
n n sẽ là số nguyên tố ? b) Tồn tại 4 số nguyên x, y, u, v thoả mãn các đẳng thức:
2 2
ux vy
vx uy
− =
+ =
Tìmtất cả bốn số nh thế?
Câu 2 a) Giải phơng trình: x y− +1 y x− =1 xy
b) Giải hệ phơng trình:
2
+ + =
Câu 3 a) Cho ba số dương x, y và z thỏa món x2 +y2+z2 =3
Chứng minh rằng:
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
16x y
xy
y + x −
Câu 4 a) Trong tam giác đều ABC, bên trong góc BAC lấy điểm M sao cho góc
∠CMA = 300, ∠BMA = 450 Tính góc ABM
b) Cho hình thang ABCD có AB = BC = CD Đờng chéo hình thang cắt nhau tại
O Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABO, cắt cạnh AD tại E
Chứng minh BEDC là hình thoi
-Trường THCS Yờn lạc
Năm học 2008-2009
Đỏp ỏn khảo sỏt mụn Toỏn
Lớp IX
Trang 2Cõu Hướng dẫn Biểu
điểm
11 1211 1 11 100 0 11 1 11 1 100 01
n n n+ n n+ n+ n−
Vậy số đó không phải là số nguyên tố
1
1b áp dung hằng đẳng thức: ( 2 2) ( 2 2) ( ) (2 )2
u +v x +y = ux vy− + vx uy+
Theo điều kiện của đề bài ta có: ( 2 2) ( 2 2)
8
u +v x +y = (*) Một trong các nhân tử là 1 hay là 8;
Hoặc một nhân tử là 2 hoặc là 4
Ngoài ra các số còn có thể là 0
Nếu u=0 thì (*) suy ra:
2
4 1
v
=
2
1 4
v
=
Theo điều kiện của đề bài ta có : 2
2
vy vx
= −
=
Vậy ta có nghiệm ( x, y, u, v)= (1.-1,0,2);(-1, 1, 0, -2); ( 2,-2,0,1);
( -2,2, 0, -1)
Trờng hợp v=0 ta có nghiệm: ( 1,1,2,0);(-1,-1,-2,0);( 2,2,1,0);
( -2,-2,-1,0)
Và có thêm 8 nghiệm nữa nêu thay u và x với v và y
Nh vậy ta có 16 nghiệm
1,5
2a Rõ ràng
1; 1
x≥ y≥ Ta có 1
2
x
x− ≥ và 1
2
y
y− ≥ nên
x y− +y x− ≥xy
Đẳng thức xảy ra : 1
2
x
x− = và 1
2
x
x− =
Nghiệm của phơng trình là: x = y = 2
1
2b Biến đổi phơng trình đã cho về dạng:x x( + =1) y y( +1) biến đổi tiếp ta
nhận đợc (x y x y− ) ( + + =1) 0 Từ đó ta có x= yhay x= − −1 y
Trờng hợp thứ nhất x= ythì hệ phơng trình không có nghiệm
Trờng hợp thứ hai x= − −1 yta có phơng trình x2+4y+ =2 0
Nghiệm của hệ là: (1− 2, 2− + 2);(1+ 2, 2− + 2)
1
3a
Đầu tiên ta chứng minh bất đẳng thức: 2 2
2
xy≤ + sau đó áp dụng bất
đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có:
1,5
Trang 32 2 2 2 2 2
2
3b
Ta đặt F x y( , ) 16x3 y3 xy
Với xy>0thì
3
16
0
x a y
x
= > Theo bất đẳng thức 2
a b+ ≥ ab dấu đẳng thức xảy ra khi a = b, ta nhận đợc
2 2
( , ) 2 16
F x y = x y − xy
Đặt xy t= khi đó F x y( , ) 8≥ t2−t
Hàm số này có giá trị nhỏ nhất là 1
32
16
t=
Dấu đẳng thức xảy ra khi y = 2x
1,5
4a Xác định điểm M nằm trên đuờng tròn tâm B bán kính AB Góc ABM
4b Theo tính chất của hình thang cân BC = CD,
nên ∠BDC=∠ DBC= ∠BCA=∠ CAD, ngoài ra∠ CAD = ∠DBE,
hay ∠BDC= ∠DBE suy ra BE// CD suy ra BEDC là hình bình hành,
suy ra BEDC là hình thoi
1,5
Học sinh cú thể giải quyết cỏc bài toỏn bằng cỏc cỏch khỏc nhau Cho điểm như bậc của thang điểm
Trờng THCS Yên lạc