Bài giảng trực tâm

CHỦ ĐỀ 2 : KHAI THÁC YẾU TỐ VUÔNG GÓC QUA ĐIỂM TRỰC TÂM THẦY MẪN NGỌC QUANG KHÓA HỌC HÌNH OXY 4 Bài toán áp dụng TRỰC TÂM... M là trung điểm của BC.. Gọi D là chân đường cao hạ từ đỉnh

CHỦ ĐỀ 2 : KHAI THÁC YẾU TỐ VUÔNG GÓC

QUA ĐIỂM TRỰC TÂM

THẦY MẪN NGỌC QUANG

KHÓA HỌC HÌNH OXY

4 Bài toán áp dụng TRỰC TÂM

Dẫn nhập

N M

là giao điểm của BM và CN

E lúc đó là trưc tâm  AE sẽ vuông góc BC

B

E

Bài 1 : Cho tam giác ABC có trực tâm H , qua H kẻ đường thẳng cắt AB, AC lần lượt tại P,Q

sao cho HP = HQ M là trung điểm của BC Gọi D là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống

BC Chứng minh HM vuông góc PQ

Kéo dài CH , lấy F sao cho FH = CH => PFQC

là hình bình hành

FP // AC , Có BH vuông góc AC nên FP vuông góc BH

Lại có BP vuông góc EH => P là trực tâm

Ở đây ta khai thác yếu tố : P là trực tâm của tam giác FHB

CHỦ ĐỀ 2 : KHAI THÁC YẾU TỐ VUÔNG GÓC QUA ĐIỂM TRỰC TÂM

P là trực tâm tam giác BHF => PQ vuông góc BF

HM // BF => MH vuông góc PQ

Lại có BP vuông góc EH => P là trực tâm

tam giác FHB

Câu hỏi đặt ra là tại sao ta lại vẽ thêm được điểm F , các em biết đấy khi có H là trung điểm

Của PQ , Chúng ta thường hướng tư duy đến đường trung bình hoặc hình bình hành

Nếu làm tương tự em lấy đối xứng với B qua H thì cũng có Q sẽ là trực tâm của tam giác mới , các em nên Thử để hiểu sâu bản chất và hướng tư duy hợp lý nhé

Bài toán áp dụng 1 : Cho tam giác ABC có trực tâm H , qua M kẻ đường thẳng cắt AB, AC

lần lượt tại P,Q sao cho HP = HQ Gọi E là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC Tìm tọa

độ trung điểm M của BC biết tọa độ P(2,1),Q(4,3),D(24/5,28/5)

Biết điểm P,Q => H

MH vuông góc PQ => Đường thẳng MH

=> tham số Hóa điểm M

HD vuông góc DM => HD.DM = 0

H(3,2) , PQ(2,2)//(1,1) là véc tơ pháp tuyến của MH => Phương trình MH : (x-3)+(y-2) = 0

Tham số hóa M(a,b) => a + b – 5 = 0

DH.DM = (9/5,18/5).(a-24/5,b-28/5) = 0

=> 9/5(a-24/5)+18/5(b-28/5) = 0

HD vuông góc DM => HD.DM = 0 Giải ra ta tìm được M => Phương trình

BC qua 2 điểm M , D

Bài 2 : Cho đường tròn tâm K , Điểm A ở ngoài đường tròn , vẽ 2 tiếp tuyến AB , AC

Điểm H nằm ở cung nhỏ BC , vẽ tiếp tuyến của đường tròn tại H cắt AB , AC tại M , N

Đường BC cắt KM , KN tại P , Q Đường MQ giao NP tại I Chứng minh rằng KI vuông góc MN

Sử dụng tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau

CHỦ ĐỀ 2 : KHAI THÁC YẾU TỐ VUÔNG GÓC QUA ĐIỂM TRỰC TÂM

Bài toán chứng minh vuông góc sử dụng 2 vấn đề : Tứ giác nội tiếp đã có 1 góc vuông , và vấn đề

Chủ đề của chúng ta đó là yếu tố trực tâm

Khi đó tam giác MKN có I là trực tâm => KI vuông góc MN hay K,I,H thẳng hàng

Tính chất góc tạo bởi tiếp (Tuyến và dây cung SGK lớp 9)

Bài 2 : Cho đường tròn tâm K , Điểm A ở ngoài đường tròn , vẽ 2 tiếp tuyến AB , AC Biết B(2,4), C(3,3) Điểm H nằm ở cung nhỏ BC , vẽ tiếp tuyến của đường tròn tại H cắt AB , AC tại M , N Đường BC cắt KM , KN tại P , Q Đường MQ giao NP tại I , biết MN song song với đường thẳng (d) : x + 2y – 5 = 0 Viết phương trình đường tròn (K) và tìm tọa độ điểm A , Biết điểm I(1,1/3)

ĐS : A(1,2) , Đường tròn : (x – 8/3) 2 + (y – 11/3) 2 = 5/9

BÀI TOÁN ÁP DỤNG 2 CHỦ ĐỀ 2 : KHAI THÁC YẾU TỐ VUÔNG GÓC QUA ĐIỂM TRỰC TÂM

Bài 3 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm E , một đường thẳng qua A cắt BC và CD lần

lượt tại M và N Gọi G là giao điểm giữa EM và BN Chứng minh CG vuông góc BN

Tam giác ABM = BCH

(do AB = BC , góc vuông B = góc vuông C , A1 = B1)

=> BM = CH

Chúng ta xét yếu tố trực tâm , ở đây là điểm M , Khi đã có, BC vuông góc DN , Nên nếu ta Vẽ đường BH

vuông góc MN , Khi đó M sẽ là trực tâm của tam giác BHN , Hiển nhiên ta suy ra HM vuông góc BN

Vì góc BEC = 90o nên nếu ta chứng minh tứ giác BGCE nội tiếp thì hiển nhiên CGB = 90O

Ta sẽ chứng minh góc E 1 = B 2 (Chìa khóa bài toán )

Tứ giác EMCH nội tiếp => E 1 = H 1

M là trực tâm tam giác MHN , nên HK vuông góc BN ,

Tứ giác HCKB nội tiếp => B 2 = H 1

=>Tam giác BEM = CEH (do BE = EC , EBM= ECH = 45O ,BM =

CH )

Do đó ta có góc : HEC = BEM => HEM = 90 o

E 1 = B 2 => EBGC nt CH vuông góc BN

Bài toán áp dụng 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm F , một đường

Xác định tọa độ của hình vuông Biết C thuộc đường thẳng 3x – y + 5 = 0

1 19 ( , )

2 2

5 5

G 

Tham số hóa điểm C(a,b)

C thuộc đường thẳng : 3x – y + 5 = 0 => 3a – b + 5 = 0 CG.NG = 0  Một phương trình nữa

Giải hệ 2 phương trình ta tìm được a = 1 , b = 8 =>C(1,8) CHỦ ĐỀ 2 : KHAI THÁC YẾU TỐ VUÔNG GÓC QUA ĐIỂM TRỰC TÂM

Viết được phương trình CN , GN

Từ đó viết được phương trình BC Điểm B là giao điểm của GN và BC  B

Từ E ta tìm ra A , D ĐS : A(1,2) , B(-2,5) , C(1,8) , D(4,5)

Từ B , C ta tìm E thuộc đường trung trực của BC ,

Hơn nữa EB vuông góc EC nên ta ta có EB.EC = 0 Giải 2 phương trình trên  2 điểm E

Loại 1 điểm E không thỏa mãn E và G khác phía với bờ BC

Bài 4 : Cho đường tròn tâm (I) đường kính AB , Trên đường tròn (I) lấy điểm C sao cho AC < BC Tiếp tuyến tai A của đường tròn (I) cắt BC tại D Vẽ IH vuông góc với AC , DH cắt AB tại K ,

Đường DI Cắt AC tại N Biết NK giao IH tại E Chứng minh AE vuông góc DI

Điểm E sẽ là trực tâm tam giác AMI

Bài toán này sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng của tam giác vuông đồng dạng , áp dụng tính chất

AC = 2AH (Đường thẳng vuông góc dây cung chia dây cung làm 2 phần bằng nhau) , AB = 2BI

E

E là trực tâm tam giác ANI => AE vuông góc DI

Ta suy luận ngược lại , nếu AE vuông góc DI , mà đã có IE vuông góc AN rồi , khí đó hiển nhiên E sẽ là trực tâm của tam giác ANI , đồng nghĩa việc ta chứng minh NK vuông góc AB

Nếu vậy thì tứ giác HNIK nội tiếp ( đẫn đến việc chúng ta cần chứng minh I 1 + KHN = 180 O

Bài toán áp dụng 4 : Cho đường tròn tâm (I) : x 2 + y 2 + 2x – 2y – 24 = 0 , đường kính AB , Trên đường tròn (I) lấy điểm C sao cho AC < BC Tiếp tuyến tai A của đường tròn (I) cắt BC tại D Vẽ IH vuông góc với AC , DH cắt AB tại K , Đường DI Cắt AC tại N Biết NK giao IH tại E Tìm A,B,C biết M(1,-2) , xA nguyên dương (ĐS : A(4,0) , B(-6,2)

CHỦ ĐỀ 2 : KHAI THÁC YẾU TỐ VUÔNG GÓC QUA ĐIỂM TRỰC TÂM

E

Không học khó , không học đánh đố Chỉ học những thứ cần thiết cho thi THPTQG

Bám sát nội dung thi THPT QG

Phân loại chi tiết theo từng chủ đề