MỘT số bài TOÁN BIÊN và bài TOÁN CAUCHY CHO các PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC và PARABOLIC

Chúng ta có thể liệt kê một số bài toán không chỉnh hiện nay được nhiều nhà toán học trong và ngoài nướcquan tâm như sau • Bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình parabolic.. Do chủ

TRẦN THANH BÌNH

MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN VÀ BÀI TOÁN CAUCHY CHO CÁC

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TP HỒ CHÍ MINH - THÁNG 6 NĂM 2017

LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Bích Huy vàPGS.TS Nguyễn Huy Tuấn Tôi xin cam đoan rằng các kết quả được trình bàytrong luận án là mới và chưa từng được ai công bố trước đó

Tác giả

MỤC LỤC

1.1 Một số không gian hàm 111.2 Toán tử tuyến tính và chuỗi Fourier 111.3 Bài toán chỉnh và lý thuyết chỉnh hóa Tikhonov 13Chương 2 Bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình parabolic

152.1 Bài toán xác định hàm nguồn với hệ số phụ thuộc thời gian không

bị nhiễu 152.1.1 Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov 152.1.2 Chỉnh hóa Tikhonov dưới cách chọn tham số chỉnh hóa

tiên nghiệm 232.2 Phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian bị nhiễu 292.3 Kết luận Chương 2 33Chương 3 Bài toán parabolic ngược thời gian với nguồn Lipschitz

3.1 Kết quả thứ nhất 353.1.1 Chứng minh Định lí 3.1.1 373.1.2 Chứng minh Định lí 3.1.2 43

3.2 Kết quả thứ hai 54

3.3 Kết luận Chương 3 62

Chương 4 Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic dạng phi tuyến 63 4.1 Giới thiệu bài toán 63

4.2 Các kết quả chính 63

4.2.1 Chứng minh Định lí 4.2.1 66

4.2.2 Chứng minh Định lí 4.2.2 72

4.3 Kết luận Chương 4 83

Danh mục công trình của nghiên cứu sinh có liên quan đến luận án 85

MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

C [0, 1],R
: Tập hợp các hàm liên tục trên [0, 1] và nhận giá trị trên R

C [0, T ]
: Tập hợp các hàm liên tục trên [0, T ] và nhận giá trị trên R

C [0, 1], H
: Tập hợp các hàm liên tục trên [0, 1] và nhận giá trị trên

không gian Hilbert H

C1 [0, 1], H
: Tập hợp các hàm khả vi liên tục trên [0, 1] và nhận giá trị trên

không gian Hilbert H

h· , ·i : Tích vô hướng trong không gian Hilbert

k · kH : Chuẩn trong không gian Hilbert

u0 : Đạo hàm của hàm u ∈ C1 [0, 1], H

LỜI NÓI ĐẦU

Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng là một trong những hướngnghiên cứu quan trọng của toán học và có nhiều ý nghĩa trong khoa học kỹthuật Hiện nay, các loại bài toán này được nhiều nhà toán học quan tâm vànghiên cứu Theo chúng tôi tìm kiếm trên Mathscinet, có khoảng hơn 10.000công trình về chủ đề này Số lượng các tạp chí công bố về chủ đề này rất lớn,

và có nhiều tạp chí có uy tín của các nhà xuất bản lớn như: Springer, Elsevier,Taylor Francis Trong luận án này, chúng tôi sẽ tập trung trình bày ba chủ đềchính về bài toán Cauchy cho phương trình parabolic và elliptic

Chủ đề 1: Bài toán Cauchy cho phương trình parabolic

Chủ đề 2: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến.Chủ đề 3: Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic phi tuyến

Đối với chủ đề 1, chủ đề 2 và chủ đề 3, bài toán Cauchy cho phương trìnhparabolic và elliptic thì có rất nhiều dạng nghiên cứu khác nhau, nhưng chúngtôi tập trung nghiên cứu về tính không chỉnh của các loại bài toán này Bài toánkhông chỉnh theo nghĩa của Hadamard là bài toán không thỏa ít nhất một trong

ba tính chất: tồn tại, duy nhất và ổn định nghiệm Chúng ta có thể liệt kê một

số bài toán không chỉnh hiện nay được nhiều nhà toán học trong và ngoài nướcquan tâm như sau

• Bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình parabolic

• Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic

• Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình elliptic

Do chủ đề về các loại bài toán không chỉnh cho phương trình parabolic và elliptickhá nhiều nên chúng tôi chỉ chọn vài chủ đề để nghiên cứu trong luận án.Chúng ta sơ lược qua lịch sử của các chủ đề chính trong luận án này

Ta lược sơ qua các kết quả đã khảo sát về bài toán xác định hàm nguồn khi

trong đó, A(t) là toán tử tuyến tính, xác định dương sao cho A−1 compact trênkhông gian Hilbert H Hàm f : [0, 1] × H → H là hàm nguồn và ϕ ∈ H là giá trịcuối được xác định trước.

• Với toán tử A(t) = −4, bài toán (0.2) trở thành bài toán ngược cho phươngtrình truyền nhiệt với hệ số hằng số như sau

• Gần đây nhất, với trường hợp toán tử Atrong bài toán (0.2) không phụ thuộcthời gian, nghĩa là A(t) ≡ A và f là hàm số thỏa mãn điều kiện Lipschitz địaphương, bài toán (0.2) trở thành







ut+ Au = f t, u(t)
, t ∈ (0, 1), u(1) = ϕ.

(0.4)

Bài toán (0.4) được các tác giả Đặng Đức Trọng và Nguyễn Huy Tuấn nghiêncứu trong bài báo [35] Trong đó, tác giả đã dùng phương pháp Quasi-reversibility

có điều chỉnh để chỉnh hóa bài toán (0.4)

• Từ những liệt kê trên, các bài toán liên quan đến phương trình parabolic đãđược khảo sát rất nhiều từ trước đến nay tuy nhiên số lượng công trình nghiêncứu trong trường hợp hàm thỏa điều kiện Lipschitz địa phương là rất ít và hạnchế nên vấn đề mà chúng tôi khảo sát là có tính mới mẻ Hơn nữa, trong thực tế

sự truyền nhiệt của một vật phụ thuộc vào nhiều yếu tố trong đó có yếu tố quantrọng nhất là vật liệu Ngoài ra, mỗi vật liệu thì có hệ số dẫn nhiệt khác nhau vàcác vật liệu cũng có sự biến đổi theo thời gian do các yếu tố khác nhau như haomòn, oxy hóa, nên hệ số đó sẽ phụ thuộc vào môi trường (không gian) và thờigian Mục đích chính của chúng tôi khi khảo sát bài toán là nghiên cứu chỉnh

hóa bài toán ngược cho phương trình parabolic với A(t) = a(t)A biến thiên theo

t và nguồn f thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương trong hai trường hợp:

◦ Hàm f thỏa điều kiện Lipschitz địa phương

◦ Hàm f thỏa điều kiện Lipschitz địa phương dạng tổng quát

CHỦ ĐỀ 3

Cho T là số thực dương, H là không gian Hilbert với tích vô hướng h· , ·i,chuẩn k · k và A : D(A) ⊂ H −→ H là toán tử tự liên hợp, xác định dương saocho A−1 compact trên H Xét bài toán tìm hàm u : [0 , T ] −→ H thỏa mãn

ut(0) = g,

(0.5)

trong đó ϕ, g là các hàm cho trước trong H

• Đối với trường hợp tuyến tính không thuần nhất, đã có một số kết quả đã được công bố như:

◦ Năm 2006, các tác giả Hans-Jurgen Reinhardt, Houde Han và Dinh NhoHao trong [15] đã đưa ra sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa của

u(x, 0) = f1(x), ∂

∂yu(x, 0) = f2(x), x ∈ [0, 1].

(0.6)

◦ Năm 2008, các tác giả Zhi Qian, Chu-Li Fu và Zhen-Ping Li trong [21]

đã dùng phương pháp chỉnh hóa bậc 4 để khảo sát bài toán tuyến tính khôngthuần nhất sau

u(0, y) = g 0 (y), u(π, y) = g 1 (y), 0 ≤ y ≤ 1.

(0.7)

Phương trình ở bài toán (0.6) và (0.7) là một dạng của phương trình Poisson, cónhiều ứng dụng khá quan trọng trong nhiều ngành khoa học như điện từ trường,thiên văn học, cơ chất lỏng, Hiện nay, có nhiều công trình khảo sát bài toánCauchy cho phương trình elliptic tuyến tính, nhưng kết quả cho trường hợp phituyến vẫn còn hạn chế vì độ khó của bài toán này Khi hàm nguồn phụ thuộcvàouthì ta có nhiều dạng phương trình phi tuyến có nhiều ứng dụng trong thựctiễn như

• Nếu f (u) := sin u, thì phương trình (0.5) gọi là phương trình elliptic-sineGordan có nhiều ứng dụng trong vật lý, cơ học,

• Nếu f (u) := u − u3, thì phương trình (0.5) gọi là phương trình Allen-Cahn

có nhiều ứng dụng trong vật lý, cơ học, sinh học

Do tính thời sự của bài toán phi tuyến mà trong luận án chúng tôi tập trungkhảo sát và trình bày bài toán phi tuyến Chúng tôi điểm sơ qua một số côngtrình khảo sát về bài toán phi tuyến như sau

◦ Năm 2014, các tác giả Nguyễn Huy Tuấn, Đặng Đức Trọng, Lê ĐứcThắng, Võ Anh Khoa trong [32] đã xét bài toán:

Các công trình trên đưa ra các phương pháp chỉnh hóa khá tốt, nhưng điều kiệncho nghiệm chính xác u phải thuộc không gian Gevrey Tính trơn của nghiệmchính xác trong không gian này còn là bài toán mở Ta thấy rằng với giả thiếtnhư vậy, ứng dụng của bài toán phi tuyến sẽ hạn chế Để khắc phục nhược điểm

đã nêu, trong luận án này, chúng tôi sẽ đưa ra một phương pháp chỉnh hóa mới,

và dùng phương pháp này, chúng tôi thiết lập được sai số hội tụ khi nghiệmchính xác chỉ cần thuộc không gian Hilbert H

Bố cục luận án được chia làm các nội dung chính sau:

Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức về giải tích hàm, giải tích thực, khái niệmbài toán không chỉnh, vấn đề chỉnh hóa và một số kết quả cần biết

Chương 2: Trình bày bài toán tìm hàm nguồn cho phương trình parabolictrong trường hợp hệ số phụ thuộc thời gian bị nhiễu và không bị nhiễu Áp dụngphương pháp chỉnh hóa Tikhonov để chỉnh hóa bài toán Từ đó đưa ra đánh giásai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác dưới cách chọn tham số chỉnhhóa tiên nghiệm

Chương 3: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến.Chương này trình bày bài toán liên quan đến phương trình parabolic trongtrường hợp hàm f thỏa điều kiện Lipschitz địa phương Mục đích của chươngnày là nghiên cứu chỉnh hóa bài toán ngược cho phương trình parabolic với hệ

số dẫn nhiệt biến thiên theo thời gian

Chương 4: Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic dạng phi tuyến Nội dungnày trình bày phép chỉnh hóa mới cho bài toán Cauchy dạng phi tuyến và dùngphương pháp này thiết lập được sai số hội tụ khi nghiệm chính xác chỉ cần thuộckhông gian Hilbert

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ1.1 Một số không gian hàm

Cho X là không gian Banach với chuẩn k.k và T là số thực dương

Định nghĩa 1.1.1 Không gian Lp(0, T ; X)

Không gian Lp(0, T ; X) gồm tất cả các hàm đo được u : [0, T ] → X với chuẩn

< ∞, ∀p ≥ 1, p ∈N

Định nghĩa 1.1.2 Không gian Cm [0, T ]; X

Không gianCm [0, T ]; X
là không gian gồm tất cả các hàm liên tụcf : [0, T ] → X

có đạo hàm đến cấp m, tức là f0, f00, , f(m): [0, T ] → X là các hàm liên tục.Khi đó, Cm [0, T ]; X
là không gian Banach với chuẩn sau

1.2 Toán tử tuyến tính và chuỗi Fourier

Cho không gian Hilbert H với chuẩn ·

H, tích vô hướng h· , ·i và toán tử

A : D(A) ⊂ H −→ H là toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert H

với D(A) = H, với D(A) là miền xác định của A

Khi đó, toán tử A∗: D(A∗) ⊂ H −→ H được xác định bởi

hu, Avi = hA∗u, vi.

Ta nói u ∈ D(A∗) nếu u ∈ H và tồn tại f ∈ H sao cho

hu, Avi = hf, vi, ∀v ∈ D(A),

trong đó

A∗u = f.

Toán tử A được gọi là tự liên hợp nếu A = A∗

Định nghĩa 1.2.1 Hệ trực giao − Hệ trực chuẩn

Cho không gian Hilbert H với tích vô hướng trong · , · và chuẩn ·

dưới dạng chuỗi Fourier như sau

Định lý 1.2.1 Cho {φp} là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H Khi

đó các mệnh đề sau là tương đương

Định lý 1.2.2 Với mọi u ∈ D(A), ta có

1.3 Bài toán chỉnh và lý thuyết chỉnh hóa Tikhonov

Định nghĩa 1.3.1 (Tính chỉnh và không chỉnh theo nghĩa Hadamard )

Giả sửU, V là các không gian định chuẩn và một ánh xạK : U −→ V (tuyến tínhhoặc phi tuyến) Bài toán Ku = v gọi là chỉnh, nếu thỏa các tính chất saui) Tính tồn tại (existence): Với mọi v ∈ V tồn tại u ∈ U sao cho Ku = v,

ii) Tính duy nhất (uniqueness): Với mọi v ∈ V có không quá một u ∈ U saocho Ku = v,

iii) Tính ổn định (stability): Nghiệm u phụ thuộc liên tục vào v, nghĩa là vớimọi dãy {u n } ⊂ U và Ku n −→ v thì u n −→ u

Nếu bài toán không thỏa ít nhất một trong ba tính chất trên thì bài toán

đó được gọi là không chỉnh (ill-posed)

Sự chỉnh hóa, nghĩa là ta xét sự xấp xỉ giữa nghiệm chính xác (ứng với dữliệu chính xác) và nghiệm chỉnh hóa (ứng với dữ liệu nhiễu) Một sự chỉnh hóađược gọi là tốt nếu sai số xấp xỉ càng nhỏ

Định lý 1.3.1 Cho X, Y là hai không gian định chuẩn và U là tập mở trong

X Nếu K : U −→ Y compact và X vô hạn chiều thì K−1 không liên tục; nghĩa

là, phương trình Kf = g không chỉnh

Định nghĩa 1.3.2 Một sơ đồ chỉnh hóa là một họ các toán tử tuyến tính, bịchặn Rα : Y −→ X, α > 0 sao cho

được gọi là phiếm hàm Tikhonov

Định lý 1.3.2 Cho X, Y là hai không gian Hilbert K : X −→ Y là toán tửtuyến tính compact, bị chặn và α > 0 Khi đó phiếm hàm Tikhonov Jα có mộtcực tiểu là xα∈ X Cực tiểu xα này là nghiệm duy nhất của phương trình

trong đó a(t) > 0, a ∈ C ([0, T ]) , ϕ ∈ L2[0, T ], g ∈ L2(0, π) là những hàm cho trước

và bị nhiễu Như ta đã nêu trong Lời nói đầu, trường hợp a(t) phụ thuộc vào t

thì bài toán này chưa được nghiên cứu Kết quả khảo sát trường hợp này là mới

mẻ và được chúng tôi công bố trên tạp chí Boundary Value Problems [N1]

2.1 Bài toán xác định hàm nguồn với hệ số phụ thuộc thời gian không bị nhiễu

2.1.1 Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov

Để áp dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, trước tiên, chúng ta biểu diễnmối liên hệ giữa hàm nguồnf và giá trị cuối g thông qua phương trình toán tử,thể hiện ở định lý sau.

a(s)ds.Chứng minh

Bằng phương pháp tách biến và do φ00p(x) = −p2φ p (x), phương trình (2.1) đượcđưa về phương trình vi phân dạng thường như sau

u0p(t) + p2a(t)up(t) = ϕ(t)hf (x), φp(x)i, (2.5)trong đó up(t) = hu(x, t), φp(x)i

Đặt A(t) =

Z t

0

a(s)ds.Nhân hai vế của phương trình (2.5) với ep2A(t), ta thu được

u0p(t)ep2A(t)+ p2a(t)ep2A(t)up(t) = ϕ(t)ep2A(t)hf (x), φp(x)i. (2.6)Lấy tích phân hai vế phương trình (2.6) trên đoạn [0, T ], ta có

Z T 0

ϕ(t)ep2A(t)hf (x), φp(x)idt.

Do cách đặt up(t), ta có

up(0) = hu(x, 0), φp(x)i = 0,

up(T ) = hu(x, T ), φp(x)i = hg(x), φp(x)i.

Từ đó, ta thu được

ep2A(T )hg(x), φp(x)i =

Z T 0

ϕ(t)ep2A(t)dthf (x), φp(x)i.

Do đó

hg(x), φp(x)i = e−p2A(T )

Z T 0

ϕ(t)ep2A(t)dt

!

hf (x), φp(x)i. (2.7)Dẫn đến

ϕ(t)ep2A(t)dt

!

hf (x), φp(x)iφp(x), (2.8)và

ϕ(t)ep2A(t)dt

!−1

hg(x), φp(x)iφp(x). (2.9)Như vậy, ta có thể định nghĩa toán tử K : L2(0, π) → L2(0, π) như sau:

ep2B(t)ϕ(t)dt

!

hf (x), φp(x)iφp(x) =

Z π 0

ep2B(t)ϕ(t)dt

!

φp(x)φp(ξ) và B(t) = −

Z T t

a(s)ds.Tiếp theo, để áp dụng được phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, chúng ta khảosát các tính chất của toán tử K Ta phải đi chứng minh toán tử K tuyến tính,compact và tự liên hợp

Định lý 2.1.2 Toán tửK tuyến tính, compact và tự liên hợp Hơn nữa,(σp, φp, φp)

là hệ kì dị của K, với giá trị kỳ dị σp=

Z T 0

ep2B(t)ϕ(t)dt.Chứng minh

• Chứng minh K tuyến tính

Với mọi f 1 , f 2 ∈ L2(0, π) và λ ∈R, ta có

K (f1+ λf2) (x) =

Z π 0

k(x, ξ) (f1+ λf2) (ξ)dξ

=

Z π 0

k(x, ξ)f1(ξ)dξ + λ

Z π 0

k(x, ξ)f2(ξ)dξ

= Kf1(x) + λKf2(x).

Vậy K là toán tử tuyến tính.

D21kf k2. (2.11)

Do đó kKf k ≤ B2

D1kf k, ∀f ∈ L2(0, π) Từ đó suy ra kKk ≤ B2

D1.Vậy K là toán tử bị chặn

Suy ra

kKm− KkL(L2 (0,π)) ≤ B2

(m + 1) 2 D1 → 0khim → ∞.

Vậy K là toán tử compact

Vì k(x, ξ) = k(ξ, x) nên với mọi f, g ∈ L2(0, π), ta có

hKf (x), g(x)i =

Z π 0

g(x)Kf (x)dx =

Z π 0

g(x)

Z π 0

Z π 0

g(x)k(x, ξ)f (ξ)dξdx =

Z π 0

Z π 0

f (ξ)k(ξ, x)g(x)dxdξ

=

Z π 0

f (ξ)

Z π 0

k(ξ, x)g(x)dx



dξ =

Z π 0

f (x)

Z π 0

ep2B(t)ϕ(t)dt là giá trị kỳ dị của K.Mặt khác, do {φp(x)}p∈N∗ là cơ sở trực chuẩn trong L2(0, π) nên

ep2B(T )ϕ(t)dthφm(x), φp(x)iφp(x) = σpφm,

gm(x) = g(x) +

√ 2

m sin(mx),với m ∈N∗.

Khi đó, ứng với gm, phương trình Kf = gm có nghiệm là

fm(x) = f (x) +

√ 2m

1 − e−m2 sin(mx).

Bằng tính toán trực tiếp, ta được

kgm− gkL2 (0,π) =

√ π

m ,

kfm− f kL2 (0,π) = m

√ π

1 − e−m2.

Khi m → ∞, ta có

kgm− gkL2 (0,π) → 0

kfm− f kL2 (0,π) → ∞

Điều này chứng tỏ nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện

đã cho Do đó, bài toán trên đặt không chỉnh

Vì bài toán (2.4) đặt không chỉnh nên ta không thể xấp xỉ nghiệm f thông quatoán tử ngược K−1, do đó cần phải chỉnh hóa để xây dựng nghiệm xấp xỉ củabài toán Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov được ứng dụng rộng rãi cho các bàitoán đặt không chỉnh, có nhiều nghiên cứu liên quan đến việc sử dụng phươngpháp này, chẳng hạn như Franklin (1974) ([12]), Tikhonov (1977) ([28]) Trong

phần này, chúng tôi sẽ dùng phương pháp này để khảo sát bài toán (2.4).Tikhonov đã đưa ra một phương pháp chỉnh hóa bằng cách tìm cực tiểu củaphiếm hàm

trong đó µlà tham số chỉnh hóa thích hợp Theo Kirsch (2011) [20], phiếm hàm(2.12) đạt cực tiểu tại fµ Hơn nữa, fµ là nghiệm của phương trình

K∗Kfµ(x) + µ2fµ(x) = K∗g(x). (2.13)Nhân hai vế của phương trình (2.13) với φ p rồi lấy tích vô hướng, ta được

ep2B(t)ϕ(t)dthg, φ p iφ p (2.14)Trường hợp dữ liệu đầu vào bị nhiễu, ta cũng có

ep2B(t)ϕε(t)dthgε, φpiφp. (2.15)Kết hợp (2.14) và (2.15), ta được

Z T 0

ep2B(t)ϕ(t)dt.Định lý 2.1.3 Giả sử tồn tại M ≥ 0 sao cho kf kHk (0,π) ≤ M Khi đó

ep2B(t)ϕ(t)dt

!−2

g

4+2k 2+k

ep2B(t)ϕ(t)dt

!−2

g

4 2+k

p g

2k 2+k

ep2B(t)ϕ(t)dt

!− k+2 2

gp





4 2+k

g

2k 2+k

p

!− k+2 2

gp





4 2+k k+22 





2 k+2

2.1.2 Chỉnh hóa Tikhonov dưới cách chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm

Trong mục này, chúng tôi sẽ đưa ra đánh giá sai số cho kf − f ε

µ k bằng việc chọnmột tham số chỉnh hóa thích hợp Rõ ràng ta có

kf − fµεk ≤ kf − f µ k + kf µ − fµεk. (2.18)

Để thu được đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa, tathực hiện đánh giá lần lượt các số hạng trong vế phải của (2.18) thông qua việcchứng minh hai bổ đề sau:

Áp dụng bất đẳng thức H¨older, ta có đánh giá

φ (p, |ϕ − ϕε|) =

Z T 0

ep2B(t)|ϕ − ϕε|dt

≤

Z T 0

|ϕ − ϕε|2dt

!12

Z T 0

e2p2B(t)dt

!12

= kϕ − ϕ ε kL2 [0,T ]

Z T 0

ep2B(t)ϕ(t)dt ≤ B2

Z T 0

ep2B(t)dt, (2.24)

φ(p, ϕε) =

Z T 0

ep2B(t)ϕε(t)dt ≥ C1

Z T 0

ep2B(t)dt. (2.25)Kết hợp (2.23), (2.24) và (2.25), ta được

e2p2B(t)dt

!12

Z T 0

Suy ra

kA2k ≤

vuut

[B1(1 − e −D 1 T )]2



M µk2 , 0 < k ≤ 2, max



2 2

4

p8−4k 1 + p2
2kfp2.

[B1(1 − e−D1 T )]4



µkM2, 0 < k ≤ 2, max



4 2

[B1(1 − e −D 1 T )]2



M µk2 , 0 < k ≤ 2, max



2 2

[B1(1 − e−D1 T )]2



M µ, k > 2.

Hoàn thành chứng minh

Định lý 2.1.4 Giả sử các điều kiện tiên nghiệm và giả thiết bị nhiễu đều thỏa.Khi đó, ta thu được các đánh giá sau

a) Nếu 0 < k ≤ 2 và chọn µ =ε

T

k+21thì

kf − fµεk ≤ Q1ε12 [kf k + 1] , (2.36)trong đó P1, Q1 là các hằng số phụ thuộc vào T, B1, B2, C1, D1, D2 và M

C1 kϕ − ϕεkL2 [0,T ] + 1

2µ kg − gεk +

[B1(1 − e−D1 T )]2



M µk2 , 0 < k ≤ 2, max



2 2



2 2

2.2 Phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian bị nhiễu

Trong chương này, chúng ta xét bài toán (2.1) trong trường hợp hệ số a(t) bịnhiễu, nghĩa là dữ liệu của bài toán trong trường hợp này là g(x), ϕ(t) và a(t).Ngoài ra, với ε > 0, ta xét g, g ε ∈ L2(0, π); ϕ, ϕ ε ∈ L2[0, T ]; a, a ε ∈ C([0, T ])lần lượt

là cặp dữ liệu chính xác và dữ liệu bị nhiễu của bài toán và thỏa:

ep2Bε (t) ϕε(t)dthgε(x), φp(x)iφp(x),

(2.38)

trong đó Bε(t) = Aε(t) − Aε(T ), Aε(t) =

Z t 0

aε(s)ds

Do a ε ∈ C([0, T ])nên tồn tại D 3 , D 4 > 0 sao cho

D3 ≤ aε(t) ≤ D4, ∀t ∈ [0, T ]. (2.39)Sau đây, chúng tôi sẽ đưa ra đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệmchính xác trong trường hợp chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm

Định lý 2.2.1 Giả sử Fµε là nghiệm chỉnh hóa định nghĩa bởi (2.38) tương ứngvới dữ liệu bị nhiễu (gε, ϕε, aε) và f là nghiệm chính xác của bài toán (2.1) tươngứng với dữ liệu chính xác (g, ϕ, a) thỏa kf kH2k (0,π) ≤ M Khi đó

lim

ε→0 kFµε− f k = 0.

Hơn nữa,

a) Nếu 0 < k ≤ 2 và chọn µ =

ε T

k+21thì

Z T 0



ep2B(t)− ep2Bε (t)ϕε(t)dt

≤ C2

Z T 0

ep2B(t)− ep2Bε (t) ... π) hàm cho trước

và bị nhiễu Bài toán chỉnh hóa phương pháp chỉnh hóa Tikhonov.Kết Chương bao gồm:

- Đưa công thức nghiệm chỉnh hóa cho tốn tìm hàm nguồn cho phươngtrình parabolic. .. bày lại phương pháp Quasi-reversibility đểchỉnh hóa tốn ngược cho phương trình parabolic với nguồn Lipschitz địaphương trường hợp hệ số dẫn nhiệt biến thiên theo t a, ϕ
... khó tổngqt hơn, toán (3.1) Trong thực tế, truyền nhiệt mộtvật liệu có phụ thuộc vào mơi trường (khơng gian) thời gian Mục đích chínhtrong chương này, chúng tơi trình bày lại phương pháp Quasi-reversibility