ÔN TẬP 12

Parabol cắt trục của nó tại đỉnh và tiếp xúc với đường vuông góc tại đỉnh Parabol và tiêu điểm của nó luôn nằm về một phía đối với tiếp tuyến tại đỉnh 2 / Tâm sai : Ký hiệu là e ,e=1.

ÔN TẬP VỀ

BA ĐƯỜNG CÔ NIC

(ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 12 ) HOÀNG HỮU HẺO – TT -HUẾ

I / Parabol:

1 / Phương trình chính tắc:

p gọi là tham số tiêu ( p>0)

F là tiêu điểm có toạ độ F

Parabol nhận Ox làm trục đối xứng

Parabol cắt trục của nó tại đỉnh và tiếp xúc với đường vuông góc tại đỉnh

Parabol và tiêu điểm của nó luôn nằm

về một phía đối với tiếp tuyến tại đỉnh

2 / Tâm sai : Ký hiệu là e ,e=1 MF gọi là bán kính qua tiêu điểm có

độ dài là r = x+

3 / Phương trình tiếp tuyến :

- Tiếp tuyến tại nằm trên Parabol có được bằng cách tách đôi toạ độ từ phương trình chính tắc y.y = p(x +

x )

y = p ( x + )

- Tiếp tuyến có hệ số góc k

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

H

K F

M

( ,0) 2

p

−

2

p

0( , )0 0

M x y

0

x

⇔

0

y

Đưa về trường hợp trên bằng cách xác định toạ đô tiếp điểm.Hoặc dùng phương trình hoành độ để xác định hệ số b trong phương trình y=ax+b - Tiếp tuyến qua 1 điểm M(x,y) không thuộc Parabol Đưa về trường hợp

1 bằng cách xác định tiếp điểm hoặc dùng phương trình hoành độ giao điểm (Áp dụng định lý d:Ax+By+C=o là tiếp tuyến Parabol :

4/Các bài tập áp dụng :

Bài toán 1 :Viết phương trình Parabol (P) có tiêu điểm F(2,1),phương trình đường chuẩn ( D) :x-2y+1=0

Giải

Gọi M(x,y) là điểm bất kỳ thuộc (P) ,ta có :M (P) = MF ∈ ⇔ d M D( , )

( , )

2

5

x y

2 2

pB = AC

Bài toán 2:Viết phương trình tiếp tuyến Parabol trong các trường hợp sau:

a/ Tại điểm

b/ Có hệ số góc k=1/2

Giải

a/ Vì nghiệm đúng phương trình của Parabol nên M nằm trên Parabol Áp dụng trường hợp tách đôi toạ đọ ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

(y-1)( -1)=2(x+ ) (y-1)(3-1)=2(x+1)

2(y-1) = 2(x+1) x-y + 2 = 0

b/ Phương trình tiếp tuyến (D) có dạng : y=kx+b y = x+b Toạ độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của hệ:

Để cho (D) và (P) tiếp xúc nhau thì =0

Vậy phương trình tiếp tuyến là : y= x +2 Hay : x-2y+4=0

0 (1,3)

M

0 (1,3)

M

0

2 (y − 1) = 4x

⇔

2

2

1 2

 − =



= +



⇔

⇔

1 2

2 2(3 ) ( 1) 2 0

x − −b x+ −b =

4 8 0 2

b b

⇔ − + = ⇔ = 1

2

II / Elip:

1/Phương trình chính tắc:

= 2c là tiêu cự.M +M =2a >2c gọi là độ dài trục lớn 2b là độ dài trục nhỏ với

Tiêu điểm (-c,0), (c,0)

2/ Tâm sai: <1

M =a+

M = a

3/ Phương trình tiếp tuyến:

a/ Tiếp tuyến tại thuộc Elip có dạng:

b/ Tiếp tuyến có hệ số góc k ( Như Parabol) c/ Tiếp tuyến tai một điểm khong thuộc Elip ( Như Parabol)

4/ Các bài tập áp dụng :

Bài toán 3:Viết phương trình Elip đi qua điểm M(1;1) và có tâm sai e=

6

4

2

-2

-4

MF1+MF2=2a>2c=F1F2

Ba = 2.48 cm

AB = 4.76 cm

a = 7.24

M F1

F2

a + b =

1

F F2

b = a −c

1

1

F F2

c e a

=

1

F

2

F

c x

a c

x a

0( ; )0 0

1

3

5

ta có

Giải

Phương trình Elip có dạng (*), ( E )

Vì tâm sai bằng nên ta có (1)

Vì (E) qua điểm M(1,1) nên từ (*) ta có (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được

Bài toán 4 :Viết phương trình tiếp tuyến của elip

Tại điểm M(0,4)

Giải:

Ta thấy toạ độ của M thoả mãn phương trình elip nên M thuộc Elip Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng

2 2

2 2 1

x y

a + b =

3 5

3 5

c

a = 22 9 2 2 2 9

−

2 2

1 1

1

a + b =

;

a b

x y

x y

2 2

1

9 16

x + y =

0 0

.

9 16

x x y y

y

2 2 3

5 3 2 0,

2

Bài toán 5:Viết phương trình tiếp tuyến elip hệ số góc

Giải:

Phương trình tiếp tuyến có dạng (D)

Toạ độ giao điểm của (D) và Elip là nghiệm của hệ phương trình

Vì tiếp tuyến nên giao điểm là nghiệm kép hay

Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đó là : và

Hay : 3x+2y-9=0 và 3x+2y+

3 2

y = − x b+

2 5 2 3 2 0(1) 3

(2) 2

 + − + =





= − +



2

⇔ + − + − + − + =

∆ = − + +

2

∆ = − + + =

⇔ = = −

y = x −

4 5

III/ Hypebol:

1/ Phương trình chính tắc

Có hai tiệm cận y =

M - M = 2a

Hai tiêu điểm (-c,0) , (c,0)

* x>0 : M > M

Và

* x<0 :

2 / Tâm sai :

3/ Phương trình tiếp tuyến:

a/ Tiếp tuyến qua có phương trình dạng :

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

s y( ) = -x A'

r y( ) = x A'

q x( ) = - x(F 2 -x A' 2)1 2

f x( ) = x F

2 -x A' 2

( )1 2

x A'

h x( ) = x(F 2 -x A' 2)1 2

g x( ) = - x F

2 -x A' 2

( )1 2

x A' ⋅x

( )

x F 2 -x A' 2

( )1 2 = 3.17

x F = 3.76

x A' = -2.01

2 2

x y

a − b =

2

F

1

F

1

b = − c a

1

c

MF x a

a

1

2

c

MF x a

a

1

c

MF x a

a

= − − MF2 c x a

a

= − +

( 1)

c e a

= >

0( , )0 0

1

x x y y

a − b =

b x a

±

b/ Tiếp tuyến tại một điểm không thuộc hypebol ( Như parabol)

c/ Tiếp tuyến có hệ số góc k ( Như parabol )

4/ Các bài tập áp dụng :

Bài toán 6: Cho hypebol

a/ Tìm toạ độ các tiêu điểm

b/ Tìm các đường tiệm cận

c/ Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm (3;-2)

Giải :

a / Ta có : với nên

Vậy toạ độ của hai tiêu điểm là F’(-3,0) và F(3,0)

b / Phương trình hai đường tiệm cận có dạng y = với

Nên Hypebol có hai tiệm cận là : y =

c / Tiếp tuyến qua điểm (3,-2) có dạng:A(x-3)+B(y+2)=0

Hay Ax+By-3A+2B=0.(*) Để d là tiếp tuyến của Hypebol

ta phải có Hay

2 2

1

5 4

x y

c = a + b a2 = 5,b2 = 4 c2 = + = ⇒ = 5 4 9 c 3

4

5x

±

2 5, 2 4

a = b =

b x a

±

2 2

1

5 4

x y

2 2 2 2 2

a A −b B =C a A2 2 −b B2 2 =C2

2 2 2

2

2

A B B A

A B AB

A B AB

A

A B

A A B

B

 =





Vậy thay A và B vào (*) ta có hai tiếp tuyến là : x+y-1=0

Và 2x+y-4=0

XIN KÍNH CHÀO VÀ CHÚC SƯC KHOẺ