Lý thuyết và bài tập về Vector

 Độ dài của véctơ là độ dài đoạn thẳng xác định bởi điểm đầu và điểm cuối của véctơ..  Độ dài môđun : độ dài đoạn AB  Véctơ có gốc A, ngọn B được kí hiệu là và độ dài của véctơ AB

Bài 3 VÉCTƠ

1 Khái niệm mở đầu:

 Véctơ là một đoạn thẳng :

 Một đầu được xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn

 Hướng từ gốc đến ngọn gọi là hướng của véctơ

 Độ dài của véctơ là độ dài đoạn thẳng xác định bởi điểm đầu và

điểm cuối của véctơ

 Độ dài (môđun : độ dài đoạn AB

 Véctơ có gốc A, ngọn B được kí hiệu là và độ dài của véctơ AB được

kí hiệu là AB là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của véctơ Ngoài ra, véctơ còn được kí hiệu bởi một chữ cái in thường phía trên

có mũi tên như a, b , v, u độ dài của a kí hiệu: a

 Véctơ “không”, kí hiệu 0 là véctơ có:

 Điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau

 Độ dài bằng 0

 Hướng bất kỳ

 Hai véctơ cùng phương khi chúng cùng nằm trên một đường thẳng

hoặc nằm trên hai đường thẳng song song

Hai cặp véctơ ( AB , CD ) và ( MN , PQ ) được gọi là cùng phương

 Hướng của hai véctơ: Hai véctơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc

ngược hướng Ta chỉ xét hướng của hai véctơ khi chúng cùng phương

 Hai véctơ AB và CD gọi là cùng hướng:

 Hai véctơ AB và CD gọi là ngược hướng:

 Góc của hai véctơ AB và CD là góc tạo bởi hai tia Ox, Oy lần lượt

cùng hướng với hai tia AB và CD Nghĩa là: xOyAB,CD

 Khi AB và CD không cùng hướng thì 0 0

0 xOy180

 Khi AB và CD cùng hướng thì xOy0 0

 Khi AB và CD ngược hướng thì 0

2 Các phép toán trên vectơ:

a) Tổng của hai véctơ:

 Qui tắc ba điểm: (Qui tắc tam giác hay qui tắc Chasles)

- Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có: ABACCB

- Qui tắc 3 điểm còn được gọi là hệ thức Chasles dùng để cộng

các véctơ liên tiếp, có thể mở rộng cho trường hợp nhiều véctơ như sau: A A 1 nA A 1 2A A 2 3A A 3 4  A n 1 A n

- Véctơ đối véctơ a kí hiện là a

- Tổng hai véctơ đối là 0 : a ( a ) 0  

 Qui tắc tam giác đối với hiện hai véctơ:

Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có: ABCB CA

c) Tích của một số đối với một véctơ:

 Định nghĩa: Cho số thực k (k  0) và một véctơ a ( a 0 )

Tích k a là một véctơ cùng hướng với a nếu k > 0

ngược hướng với a nếu k < 0

 Tính chất:

 k( ab )k.ak.b  ( kh ).ak.ah.a

 k.( h.a ) ( k.h ).a  ( 1).a  a

 Điều kiện để hai véctơ cùng phương:

- Điều kiện cần và đủ để hai véctơ a; b ( b0 ) cùng phương là tồn tại một số k để a k.b

- Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để 3 điểm A, B, C thẳng hàng là

ABk AC

d) Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác:

 Trung điểm của đoạn thẳng:

- I là trung điểm của AB:

 Trọng tâm của tam giác:

- G là trọng tâm của  ABC

 GA GB GC  0

- Với M bất kì : MA MB MC3MG

2.27 Các khẳng định sau đây có đúng không ?

a) Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng phương b) Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác vectơ 0 thì cùng phương

c) Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba thì cùng hướng d) Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba khác vectơ 0 thì cùng hướng

e) Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba khác vectơ 0 thì cùng hướng

f) Điều kiện cần và đủ để hai vectơ bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau

2.28 Cho ba vectơ a , b , c đều khác vectơ 0 Các khẳng định sau đây đúng hay sai ?

g) Nếu hai vectơ a , b cùng phương với c thì a và b cùng phương

h) Nếu a, b cùng ngược hướng với c thì a và b cùng hướng

2.29 Trong hình sau, hãy chỉ ra các véc tơ cùng phương, cùng hướng,

ngược hướng và các vectơ bằng nhau, đối nhau:

2.30 Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O

a) Tìm các vectơ khác 0 là cùng phương với OA

b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB

2.31 Cho lục giác đều ABCDEF Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ và có:

a b

C

a) Các điểm đều là B, F, C b) Các điểm cuối là F, D, C

2.32 Gọi C là trung điểm của đoạn thảng AB Các khẳng định sau đây

2.40 Cho tam giác ABC Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành

ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh: RJ  IQ  PS  0

2.41 Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh là a, G là trọng tâm Tính độ

2.45 Cho ABC vuông tại B có 0

A  30 , BC = a Gọi I là trung điểm của

2.48 Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O

a) Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho :

OM  OA  OB; ON  OB OC; OP   OC OA b) Chứng minh rằng: OA OB OC    0

2.49 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng:

AD  BE  CF  AE  BF CD   AF BD CE  

AB AC AD    2AC

2.51 Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân

tích các vectơ AB, BC, CA theo hai vectơ u  AKvà v  BM

2.52 Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Đặt a  GAvà b  GB Hãy biểu diễn mỗi vectơ AB, GC, BC và CA theo các vectơ a và b

2.53 Chứng minh rằng nếu G và G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác ABC thì 3GG '  AA' BB' CC'   Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và ABC có trọng tâm trùng nhau

2.54 Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm

M sao cho MB 3MC  Hãy phân tích vectơ AMtheo hai vectơ

ABvà AC

2.55 Gọi AM là trung tuyến của tam giác aBC và D là trung điểm của

đoạn AM Chứng minh rằng:

a) 2DA  DB DC   0

b) 2OA OB OC    4OD với O là điểm tùy ý

2.56 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ

giác ABCD Chứng minh rằng: 2MN  AC BD   BC AD 

2.57 Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh rằng hai tma giác MPR và NQS có cùng trọng tâm

2.58 Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý

trong tam giác Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ

M đến BC, AC, AB Chứng minh: MD ME MF 3MO

2

2.59 Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a Hãy dựng các

vectơ sau đây và tính độ dài của chúng:

d) 21OA 5OB

2.60 Cho tam giác OAB Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh

OA và OB Hãy tìm các số m và n thích hợp trong mỗi đẳng thức sau đây:

a) OM  mOA  nOB b) MN  mOA  nOB

c) AN  mOA  nOB d) MB  mOA  nOB

2.61 Cho tam giác ABC và điểm G Chứng minh rằng:

a) Nếu GA GB GC    0 thì G là trọng tâm tam giác ABC

b) Nếu có điểm O sao cho OA OB OC    3OG thì G là trọng tâm tam giác ABC

2.62 Cho tam giác ABC

a) Tìm điểm I sao cho: IA  2IB  0

b) Tìm điểm K sao cho: KA  2KB  CB

c) Tìm điểm D sao cho: 3DA  2DB  0

d) Tìm điểm M sao cho: MA  MB 2MC   0

e) Tìm điểm N sao cho: NA 2NB   0

f) Tìm điểm P sao cho: PA PB 2PC    0

g) Tìm điểm Q sao cho: QA  QB QC   BC

h) Tìm điểm L sao cho: 2LA LB 3LC    AB AC 

i) Tìm điểm H sao cho: 2HA 3HB 3BC  

j) Tìm điểm R sao cho: 2RA  RB  2BC CA 

k) Tìm điểm S sao cho: SA SB SC    BC

l) Tìm điểm T sao cho: TA  TB TC   AB AC 

m) Tìm điểm U sao cho: 3UA  UB UC   0

n) Tìm điểm X sao cho: 3XA 2XB XC    0

2.63 Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ Gọi E, F lần lượt là trung điểm của

AB, CD; O là trung điểm của EF Chứng minh:

2.64 Cho ABC Gọi M là điểm trên đoạn BC sao cho MB = 2MC Chứng minh rằng: AM 1AB 2AC

2.68 Cho tứ giác ABCD với AB b, AC   c, AD d 

a) Phân tích các véctơ BC, CD, DB theo các véctơ b, c và d

b) Gọi Q là trọng tâm của BCD Phân tích AQ theo b, c và d

2.69 Cho ABC Gọi K là điểm sao cho KA  KB KC   0

a) Chứng minh rằng: K là trọng tâm của tam giác ABC

b) Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, AO cắt đường tròn (O) tại D Chứng minh rằng BHCD là hình bình hành

c) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh: AH  2OI

d) Chứng minh:  HA  HB HC   2HO

 OA OB OC    OH

 O, H, K thẳng hàng

2.70 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi I, J là 2 điểm sao cho:

IA 3IB   0 và JC 5JD   0

a) Tính a  IC ID 2IB   theo AD

b) Gọi M, P, Q là các điểm thỏa hệ thức:

MP  MA 3MB  và MQ  MC 5MD Chứng minh rằng: I, M, P và J, M, Q thẳng hàng

2.71 Cho ABC Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AB

a) Chứng minh: AM BN CP    0

b) Lấy điểm O bất kỳ C/minh: OA OB OC    OM ON OP   c) Có nhận xét gì về trọng tâm 2 tam giác ABC và MNP ?

2.72 Cho ABC Lấy điểm M tùy ý

a) C.minh: v  MA 2MB 3MC   không phụ thuộc vào vị trí M b) Dựng D sao cho CD  v Đường thẳng CD cắt AB tại K

2.77 Cho ABC đều tâm O Lấy một điểm M nằm trong tam giác Gọi

D, E, F lần lượt là hình chiếu của M xuống ba cạnh

2.79 Cho lục giác đều ABCDEF

a) Biểu diễn các véctơ AC, AD, AE, EF theo các véctơ AB và AC

b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

MA  MB MC   MD  3 MA  MD

c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

MA  MB MC   MD  ME  MF

2.80 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi M, N là hai điểm trên hai

cạnh AB, CD sao cho: 3AM = AB, 2CN = CD

d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA  MB MC   MD  4AB

2.81 Cho ABC Lấy P, Q, R thỏa:

b) Gọi M là một điểm di động Lấy N thỏa:

MN  MA 3MB 2MC  

Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định

2.83 Cho ABC Gọi I, J là hai điểm thỏa: IA  2IB và 3JA  2JB  0 Chứng minh: IJ qua trọng tâm G của ABC

2.84 Cho ABC Gọi I là điểm định bởi: 3IA IB 2IC    0 Xác định giao điểm của:

a) IA với BC b) IG với AB, với G là trọng tâm ABC

2.85 Cho ABC và véctơ v  3MA 2MB MC   , với M là điểm bất kỳ a) Chứng minh: v là véctơ không đổi

b) Vẽ véctơ AD  v Chứng minh đường thẳng AD luôn luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi

c) Vẽ véctơ MN  v Gọi P là trung điểm của CN Chứng minh rằng MP đi qua một điểm cố định khi M thay đổi

2.86 Cho ba lực F1 MA, F2 MB và F3 MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên Cho biết cường độ của F1, F2 đều

AMB  60 Tìm cường độ và hướng của lực F3

2.87 Cho hai lực F1 và F2 cùng có điểm đặt tại O Tìm cường độ lực tổng hợp của chúng trong các trường hợp sau:

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VÉCTƠ

2.88 Cho các điểm A, B, C, D phân biệt Hỏi có bao nhiêu vectơ (khác

0) tạo bởi hai trong bốn điểm đó?

2.89 Hãy điền vào chỗ trống để được một khẳng định đúng:

A Vectơ – không (0) là vectơ 

B Vectơ là đoạn thẳng nghĩa là một trong hai mút của đoạn thẳng đó đã chỉ rõ 

C Hai vectơ cùng phương là hai vectơ

D Hai vectơ cùng phương thì chúng có thể

E Hai vectơ a và b gọi là bằng nhau nếu chúng 

2.90 Cho ABC cân tại A Câu nào sau đây sai?

C AB  AC D AB, AC không cùng phương

2.91 Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng a Câu nào sau đây sai?

C AB  BC  2a D BA, DC ngược hướng

2.92 Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I Hãi điền vào chỗ trống để

được khẳng định đúng

A AI, IB là hai vectơ 

B IA, IB là hai vectơ 

C Độ dài mỗi vectơ  thì bằng nửa độ dài đoạn thẳng 

D AB, BI là hai vectơ 

2.93 Khẳng định nào sau đây sai?

A Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác 0 thì cùng phương

B Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba khác 0 thì cùng hướng

C Ba vectơ a, b, ckhác 0 và đôi một cùng phương thì có ít nhất hai vectơ cùng phương

D Điều kiện càc và đủ để a  b là a  b

2.94 Khẳng định nào sau đây đúng?

A a  b là điều kiện đủ để a  b

B a,b cùng hướng là điều kiện đủ để a  b

C a  b là điều kiễn đủ để a,b cùng phương

D a, b cùng phương là điều kiện đủ để a  b

2.95 Gọi C là trung điểm của đoạn AB Khẳng định nào sau đây sai?

A AC vàAB cùng hướng

B CA  CB

C 2 AC  AB

D CA vàCB ngược hướng và có độ dài bằng nhau

2.96 Điều kiện nào trong các điều kiện sau là điều kiện cần và đủ để hai

vectơ a, b đối nhau ?

A a và b chung gốc và có hướng ngược nhau

B a và b có độ dài bằng nhau, chung gốc và ngược hướng

C a và b có độ dài bằng nhau và ngược hướng

D a và b có độ dài bằng nhau, cùng phương và cùng điểm cuối

2.97 Cho hình bình hành ABCD tâm O Trong các mệnh đề sau, tìm

2.100 Cho ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh A, B, C?

2.109 Cho ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4 Vectơ CA +AB có độ dài là bao nhiêu?

2.110 Gọi G là trọng tâm của tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC =

12 Tổng hai vectơ GB GC  có độ dài bằng bao nhiêu?

2.118 Tìm câu sai:

A Với ba điểm bất kỳ I, J, K ta luôn có : IJ  KJ  IK

B AB AD   AC thì ABCD là hình bình hành

C Nếu OA  OB thì O là trung điểm của AB

D Nếu G là trọng tâm của ABC thì GA GB GC    0

2.119 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3cm, AD = 4cm

Câu nào sau đây sai?

A AB  AD= 5cm B AB  AC= 8cm

2.120 Câu nào sau đây sai?

A a là vectơ đối của b thì |a| = |b|

B a và b ngược hướng là điều kiện cần để b là vectơ đối của a

C b là vectơ đối của a  khi và chỉ khi – b = a

D a và b là hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi a + b = 0

2.121 Cho ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC Vectơ MN cùng hướng với:

2.122 Cho ABC có I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA

Tìm câu sai ?

A JK, BI, IA là ba vectơ bằng nhau

B Vectơ đối của IK là CJ và JB

C Trong ba vectơ IJ, AK và KC có ít nhất hai vectơ đối nhau

D IA + KJ  0

2.123 Cho Hình chữ nhật ABCD Biết AB = 12cm, AC = 5cm Câu nào

sau đây sai ?

A AB AC   AD B AB2 AC2 13cm

C AB AC   AB  AC D BC  BA  7cm

2.124 Cho I, J, K là ba điểm bất kỳ Phát biểu nào sau đây là sai?

A IJ + JK = IK B JK  IK  IJ

C Nếu I là trung điểm của JK thì IJ là vectơ đối của IK

D KJ  KI  IJ khi K ở trên tia đối của tia IJ

2.125 Cho hbh ABCD có DA = 2cm, AB = 4cm và đường chéo BD =

2.130 Khẳng định nào sau đây là sai ?

A Với ba điểm phân biệt A, B, C ta luôn có BC  AC AB 

B Nếu H là trực tâm của ABC thì HA  HB HC   0

C Nếu B nằm giữa hai điểm A và C thi hai vectơ BA, BC ngược hướng

D Nếu O là tâm của hình vuông ABCD thì OA OB OC OD     0

2.131 Khẳng định nào sau đây là sai ?

A Nếu M là trung điểm của AB và O là điểm tùy ý thì

2.134 Cho ABC Trên cạnh BC lấy hai điểm M và N sao cho BM = MN

= NC, đặt AM  u, AN  v Câu nào sau đây ĐÚNG ?

2.136 Cho ABC có G là trọng tâm Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm

của BC, CA, AB Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

(1) G là trọng tâm MNP

(2) MN  NP  PM  AB BC CA  

2.139 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB

và CD Gọi k là số thỏa mãn : AC BD   kMN Giá trị của k là:

2.140 Gọi G và G lần lượt là trọng tâm của ABC và ABC

Tìm x sao cho : AA' BB' CC'    xGG '

B Tổng của hai vectơ có tính chất giao hoán

C Vectơ – 3a ngược hướng với a

D Hai vectơ ngược hướng thì đối nhau

2.143 Cho ABC đều, đường cao BH Đẳng thức nào SAI ?

2.144 Gọi I là trung điểm AB Khẳng định nào ĐÚNG ?

A AB  2IA B Với M bất kỳ tao có : MA  MB  2MI

C Cả (I) và (II) đều đúng D Cả (I) và (II) đều sai

2.149 Cho hình bình hành ABCD tâm O Tìm mệnh đề sai :

2.152 Cho ABC có AM là trung tuyến Gọi G là trọng tâm Chọn đẳng

2.154 Cho tứ giác ABCD, tròn các cạnh AB, CD lần lượt lấy các điểm M,

N sao cho: 3AM  2AB, 3DN  2DC Tính MN theo AD, BC

2.156 Cho hình thang ABCD đấy AB và CD Gọi M và N theo thứ tự là

trung điểm của AD và BC Câu nào sau đây SAI :