Lý thuyết và bài tập về E- líp pot

1 Xác ñịnh tiêu ñiểm,tiêu cự,ñộ dài trục lớn,trục bé của E... Nhận xét:* Cách giải 2 ở bài 4 giúp chúng ta xác ñịnh ñược tọa ñộ tiếp ñiểm.. 6/ Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ hai

E LÍP

1)ðịnh nghĩa : Tập hợp các ñiểm M của mặt phẳng sao cho MF1 +MF2 =2a (2a không ñổi

vàa> >c 0) là một ñường elíp

* F1,F2: cố ñịnh là hai tiêu ñiểm và F1F2=2c là tiêu cự của elíp

* MF1, MF2: là các bán kính qua tiêu

2) Phương trình chính tắc của elíp:

2 2

2 2 1

a + b = với b2= a2 −c2 Vậy ñiểm

2 2

0 0

( ; )∈( )⇔ x + y =1

a b và |x0|≤a ; |y0|≤b

3) Tính chất và hình dạng của elíp:

*Trục ñối xứng Ox (chứa trục lớn); Oy (chứa trục bé).Tâm ñối xứng O

*ðỉnh: A1(−a;0), A a2( );0 , B1(0;−b) vàB2(0; b) ðộ dài trục lớn: 2a và ñộ dài trục bé :2b

*Tiêu ñiểm: F1(−c; 0), F2( c; 0)

*Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a và 2b với b2= a2−c2.

* Tâm sai:

2 2

1

e

−

= = <

* Hai ñường chuẩn:

2

x

= ± = ±

* M x y( 0; 0)∈( )E : MF1= +a ex0 và MF2= −a ex0

4) Tiếp tuyến của elíp (E): 2 2

x y

a +b = :

* Tại M0(x y0; 0) ( )∈ E có phương trình: x x02 y y02 1

a + b =

* ði qua M x y( ;1 1)là ∆: A x( −x1)+ B y( −y1)=0 với ñiều kiện:

O

x y

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ1: Cho (E):

2 2

1

x + y = 1) Xác ñịnh tiêu ñiểm,tiêu cự,ñộ dài trục lớn,trục bé của (E)

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại ( ; 3)3

2

M

3) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) vuông góc với ñường thẳng 2x−3y+ =1 0

4) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) ñi qua M(3;3)

Giải:

2

2 4

b b

c =a −b = ⇒c=

Từ ñó suy ra: Trục lớn :A A1 2 =2a =6;Trục bé: B B1 2 =2b=4 ;

Tiêu ñiểm :F1(− 5;0 ,) ( )F2 5;0 ; Tiêu cự :F F1 2 =2c=2 5

2) Tiếp tuyến của (E) tại ( ; 3)3

2

3) Vì tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng 2x−3y+ =1 0 nên phương trình có dạng

3x+2y + =C 0

ðiều kiện tiếp xúc A a2 2 +B b2 2 =C2 ⇔81 16+ =C2 ⇔ = ±C 97

Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: 3x+2y ± 97 =0

4) Cách 1: Phương trình tiếp tuyến có dạng:

A x( − +3) B y( − = ⇔3) 0 Ax+By−3A−3B=0

0

5

B

=





= −



* B=0⇒ pttt x: − =3 0

* 18

5

B= − A, chọn A=5⇒B= −18⇒ pttt: 5x−18y +39=0

Cách 2: Gọi (x y0; 0) là tọa ñộ tiếp ñiểm pttt : 0 0 1

xx yy

Tiếp tuyến ñi qua M(3;3) nên 0 3 0 1 0 3(4 3 0)

Mặt khác:

2 2

0 0

9 4

x y







Thay vào ta cũng ñược hai phương trình như trên

Nhận xét:* Cách giải 2 ở bài 4 giúp chúng ta xác ñịnh ñược tọa ñộ tiếp ñiểm

*(E):

2 2

2 2 1

a + b = có hai tiếp tuyến thẳng ñứng x= ±a, những tiếp tuyến còn lại luôn có hệ

số góc

Ví dụ 2: Biết Elips (E) có tâm sai 1

2

e= và tiêu cự bằng 8

1) Lập phương trình (E)

2) Tìm ñiểm M∈( )E sao cho MF1 =2MF2

3) Cho N là một ñiểm bất kì thuộc (E) Chứng minh rằng ON2 +NF NF1 2 không phụ thuộc vào N

4) Tìm trên (E) hai ñiểm A,B sao cho A và B ñối xứng nhau qua Ox, ñồng thời ∆ABC với

(2;0)

C là tam giác ñều

Giải:

48 2

c

a c



 = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = − =

E

2) Gọi ( 0; 0) ( ) 1 8 1 0; 2 8 1 0

M x y ∈ E ⇒MF = + x MF = − x

Vậy (16; 4 15)

3) Giả sử: N x y( 0; 0)∈( )E ⇒3x02 +4y02 =192

1

4

⇒ + = + + = + + = không phụ thuộc vào N 4) Vì A, B ñối xứng nhau qua Ox nên A x y( 0; 0), (B x0;−y0) với 3x02 +4y02 =192 (1) và ta có

>

2 2 2

*Với 0 8 12 51 0 12 51 5

* Với 0 8 12 51 0 12 51 5

Vậy có hai cặp ñiểm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 3.Cho (E):

2 2

1

100 25

x + y = Tìm M thuộc (E) nhìn hai tiêu ñiểm dưới một góc 1200

Giải: Ta có : F1(−5 3;0 ,) (F2 5 3;0) và 3

2

e=

2

2 2 2 2

Bài tập

1/ Tìm tiêu ñiểm,tiêu cự,ñộ dài các trục,tâm sai và toạ ñộ các ñỉnh của các elip sau

a)4x2 +9y2 =36 b)x2 +9y2 =36

2/ Viết pt chính tắc của (E) biết :

a) (E) ñi qua ( ) 3

2

  b)F1(− 3,0) và M 1; 3 ( )

∈

3/Cho (E):9x2 +25y2 =225 TìmM∈( )E biết

a)MF1 =2MF2 b)MF2 =2MF1

4/ Cho (E):x22 y22 1 (a b 0)

a + b = > > và M∈( )E Chứng minh rằng :

a) MF MF1 2 +OM2 =a2 +b2 b)( )2 ( 2 2)

MF −MF = OM −b

5/ Cho (E):x22 y22 1 (a b 0)

a + b = > >

a) Chứng minh rằng b≤OM ≤a ∀ ∈M ( )E

b) A;B là hai ñiểm thuộc (E) sao cho OA vuông góc với BO.Chứng minh AB luôn tiếp xúc với một ñường tròn cố ñịnh

c) Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB

6/ Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ hai tiêu ñiểm của một Elíp ñến một tiếp tuyến tuỳ ý của nó thì luôn bằng bình phương của bán trục bé

7/ Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai Elíp:( )1 : 2 2 1

16x + y9 =

9 + 16 =

E

8/ a) Hãy lập phương trình chính tắc của Elíp (E), biết nó có hai tiêu ñiểm là F1(− 10;0)

2( 10;0)

F và bán trục lớn a= 18

b) Xét ñường thẳng ( )d tiếp xúc với (E) và cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B Hãy xác ñịnh ñường thẳng ( )d sao cho tam giác OAB có diện tích lớn nhất

9/ Cho Elíp ( ) 2 2

: 4 +16 =64

a) Hãy xác ñịnh các tiêu ñiểm F F1, 2 của Elíp

b) Giả sử M là một ñiểm di ñộng trên (E) Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ M ñến tiêu ñiểm phải F2 và ñến ñường thẳng 8

3

=

x là luôn luôn không ñổi

c) Cho ñường tròn ( )C :x2 + y2 +4 3x− =4 0 Xét một ñường tròn ( )C' thay ñổi nhưng luôn ñi qua F2 và tiếp xúc ngoài với ñường tròn ( )C Hãy tìm quỹ tích tâm N của ñường tròn

( )C'

10/ Cho Elíp ( )E : x22 + y22 =1

a b Xét các ñiểm A1(−a;0 ;) ( )A a2 ;0 ; M(−a m N a n; ) ( ); ; ; ( m n;

thay ñổi )

a) Chứng minh rằng ñường thẳng MN tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi mn=b2

b) Giả sử M, N thay ñổi nhưng ñường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E) Tìm quỹ tích giao ñiểm I của hai ñường thẳng A N1 và A M2

c) Với giả thiết như câu b) , hãy xác ñịnh toạ ñộ M,N sao cho tam giác F MN2 có diện tích nhỏ nhất

d) Giả sử MN tiếp xúc với (E) Chứng minh rằng ñoạn thẳng MN ñược nhìn từ hai tiêu ñiểm của (E) dưới một góc vuông

11/ Trong mặt phẳng tọa ñộ cho Elip:

2 2

1

9 4

+ = và ñ/thẳng d m:mx− − =y 1 0

a) Chứng minh rằng d m luôn cắt (E) tại hai ñiểm phân biệt với mọi m

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) xuất phát từ N(1; 3)−

12) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai Elíp: ( ): 2 2 1

E + = và ( )' : 2 2 1