Bài giảng Giải tích 1: Chương 4 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Chương này cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng của tích phân. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành Khoa học tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và tham khảo.

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng -

Giải tích 1

Chương 4: Phương trình vi phân cấp 1.

• Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

Nội dung

-I – Định nghĩa.

1 – Phương trình vi phân tách biến

2 – Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

3 – Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1

4 – Phương trình vi phân toàn phần

II – Các dạng phương trình vi phân:

5 – Phương trình Bernoulli

I Các khái niệm cơ bản

Cho mạch điện như hình bên

Điện thế tại nguồn E ở thời điểm t: E(t) volt

Điện trở R (Ohm), cuộn cảm L (Henry)

Dòng điện chạy qua ở thời điểm t là I(t) ampe

Theo định luật Ohm: dòng điện tại thời điểm t đượctính bởi công thức:

I Các khái niệm cơ bảnĐịnh nghĩa

Phương trình chứa đạo hàm hay vi phân của một hoặc

một vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân

Phương trình chứa đạo hàm của một biến độc lập gọi

là phương trình vi phân thường (Differential Equation)

Phương trình chứa đạo hàm riêng gọi là phương trình vi

phân đạo hàm riêng (Partial Differential equation PDE)

I Các khái niệm cơ bản

phương trình vi phân cấp 3

Định nghĩa

Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân

gọi là cấp của phương trình vi phân

' ''

 

 



I Các khái niệm cơ bản

Nếu giải ra được ( )n : y( )n  ( , , , ,x y y' y(n1))

I Các khái niệm cơ bản

,

Định nghĩa

Nghiệm của phương trình (1) trên khoảng I là một hàm

xác định trên I sao cho khi thay vào (1) ta được

đồng nhất thức

( )

Đồ thị của nghiệm y  ( )x gọi là đường cong tích phân

I Các khái niệm cơ bản

Nếu giải ra được :

I Các khái niệm cơ bảnBài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phươngtrình (2) hoặc (3) thỏa điều kiện ban đầu (điều kiện biên)

Nghiệm của bài toán Cauchy là đường cong tích phân

đi qua điểm cho trước ( ,x y0 0)

nghiệm của phương trình là họ đương cong tích phân:

I Các khái niệm cơ bản

I Các khái niệm cơ bản

Đường cong tích phân trong vài trường hợp

33

I Các khái niệm cơ bản

Nếu hàm y = f(x) liên tục trong miền mở , thì

Định lý (tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy)

với mọi điểm , bài toán Côsi (3) với điều kiện

(4) có nghiệm xác định trong lân cận của x0

Nghiệm của phương trình cấp 1 phụ thuộc hằng C.

I Các khái niệm cơ bảnĐịnh nghĩa

Nghiệm tổng quát của phương trình cấp 1: y  ( , )x C

Nghiệm riêng là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quátbằng cách cho C hằng số cụ thể ( ví dụ nghiệm bài toánCôsi)

Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệmtổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào

Giải phương trình vi phân là tìm ra các nghiệm của nó.

I Các khái niệm cơ bản

Trong chương trình này, ta giải phương trình theo

cách không đầy đủ, không chặt chẽ (ví dụ: khi chia

cho y không biết y có triệt tiêu không)

Để khảo sát nghiệm một cách đầy đủ, các em có thểtham khảo sách Jean – Marie Monier, giải tích tập 2 và 4

II.1 Phương trình vi phân tách biếnDạng f x dx ( )  g y dy ( )  0

Cách giải: tích phân hai vế ta được

arctan y  arctan x  C

arctan y  arctan x  C

Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến

Cách giải: Có thể đưa về phương trình tách biến

Dạng 1

Nếu , chia hai vế cho

II.1 Phương trình vi phân tách biến

tan cot

0cos sin

tan cotcos sin

2

Nghiệm của phương trình:

2 y  ln | | 2y  x  C

Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến

Nếu a b f u  ( )  0, chia hai vế cho a bf u ( )

Đây là phương trình tách biến

(biến u riêng, biến x riêng)

Thay vào pt đã cho

Nghiệm của phương trình vi phân là

u

6

II.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Ví dụ Giải phương trình y'  ycot x  sin x

4( ) 2ln( 1)

Ví dụ Giải phương trình (1 x y)( '  y)  ex , y(2) = 1.

II.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1

  (1 u du2) dx C

x u



    1

ln | | ln | |u x C u

II.3 Các dạng đưa về phương trình đẳng cấp

Ví dụ Giải phương trình (x2  y dx2)  2xydy  0

21

C x

II.3 Các dạng đưa về phương trình đẳng cấp

II.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1

II.4 Phương trình vi phân toàn phần

Cách giải: Nghiệm tổng quát của phương trình: u x y( , )  C

II.4 Phương trình vi phân toàn phầnCách khác: Nghiệm tổng quát : u x y( , )  C

u

Q x y y

(2 3) 3

y x

Ví dụ Giải phương trình (3x y2 2  7)dx  2x ydy3  0

Đây là phương trình vi phân toàn phần

(3 7) 0

y x

Phương trình vi phân toàn phần.

x y xy

Phương trình vi phân toàn phần.

/ 2

x y

x

ye

II.4 Phương trình vi phân BernoulliDạng y'  p x y ( )  q x ( )  y ,   1,   0

Cách giải: Chia hai vế cho y :

'

1

1(1 ) y (1 ) ( )p x (1 ) ( )q x

Phương trình Bernoulli.

Đặt z  y1, ta có:

1(1) 1

Đường cong tích phân thỏa bài toán Côsi: y(0) = 1



Bài tập Nhận dạng và giải các phương trình vi phân

2

14) , (0) 1

124)