Phương pháp tọa độ trong không gian Phương pháp tọa độ trong không gian Phương pháp tọa độ trong không gian Phương pháp tọa độ trong không gian Phương pháp tọa độ trong không gian Phương pháp tọa độ trong không gian Phương pháp tọa độ trong không gian Phương pháp tọa độ trong không gian Phương pháp tọa độ trong không gian Phương pháp tọa độ trong không gian Phương pháp tọa độ trong không gian
Trang 1Hình Học 12 Chương 3 Tọa Độ Trong Không Gian
CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN:
Bài 1 Cho vectơ u (1; 2;3),v (2; 2; 1), w (4;0; 4) Tìm tọa độ vectơ x, biết:
a) x u v
b) x u v 2w
c) 2x3uw
d) 2u v w 3x0
Bài 2 Cho vectơ u(3; 2; 5) Tìm trong các vectơ sau đây, vectơ nào cùng phương với u?
a) a ( 6; 4;10) b) b(1; 4; 2)
Bài 3 Tìm góc giữa các vectơ trong các trường hợp sau:
a) u(1;1;1) và v(2;1; 1) b) u 3i 4j và v 2j 3k
Bài 4 Tính tích hữu hướng u v, , biết:
a) u(0;1; 2) và v(3;0; 4) b) u 4ik và v 2i j
Bài 5 Tính u v w, . biết:
a) u(0;1; 2) , v ( 4;1; 3) , w (1; 2;2) b) u(4;1; 3) , v(0;1;5), w(2; 3;1)
Bài 6 Xét sự đồng phẳng của ba vectơ u v w; ; trong mỗi trường hợp sau:
a) u (1; 1;1),v(0;1;2),w(4;2;3) b) u(4;3;4),v (2; 1;2),w(1;2;1)
Bài 7 Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm, biết:
(1; 2;3), (3; 2;1), (2;5; 4), '( 2;1; 0), '(4; 1; 2), '(4;9; 2)
A B C A B C
Bài 8
a) Chứng minh 4 điểm A(1; 1;1), B(1;3;1),C(4;3;1), D(4; 1;1) là các đỉnh của hình chữ nhật Tính độ dài các đường chéo, xác định tâm của hình chữ nhật đó
b) Tính Côsin của góc giữa hai vectơ AC và BD
Bài 9 Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), (0; 0;1),B C(2;1;1)
a) Chứng minh A, B, C lập thành một tam giác
b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
c) Tìm tọa độ D để ABCD là hình bình hành
Trang 2Hình Học 12 Chương 3 Tọa Độ Trong Không Gian
d) Tính độ dài đường cao hạ từ A của tam giác ABC
e) Tính góc A của tam giác ABC
f) Xác định tọa độ trực tâm của tam giác ABC
g) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 10 Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1;1; 0), (0; 2;1),B C(1; 0; 2),D(1;1;1)
a) Chứng minh 4 điểm không đồng phẳng Tính thể tích của tứ diện ABCD
b) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm của tứ diện ABCD
c) Tính diện tích tam giác BCD
d) Tính độ dài đường cao kẻ từ A của khối tứ diện
e) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD
Bài 11 Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(5; 3; 1), B(2; 3; 4), C(1; 2; 0),D(3;1; 2)
a) Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng
b) Tứ diện ABCD có các cạnh đối vuông góc với nhau
c) Chứng minh hình chóp D.ABC là hình chóp đều
d) Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao của hình chóp D.ABC
Bài 12 Cho tứ diện ABCD có: A(2;1; 3), B(3; 0;1),C(2; 1; 3) và D thuộc Oy Tìm D trong các trường hợp sau:
Bài 13 Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1; 2; 1), B(2; 1; 3), C( 4; 7; 5)
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC
b) Tính độ dài đường phân giác trong của tam giác vẽ từ đỉnh B
Bài 14 Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(2; 1; 6), B( 3; 1; 4), C(5; 1; 0), D(1; 2;1)
a) Chứng minh tam ABC là tam giác vuông Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác
b) Tính thể tích của tứ diện ABCD
Bài 15 Cho 3 điểm A( 1; 6; 6), B(3; 6; 2), C(1; 3; 2)
a) Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA +MB ngắn nhất
b) Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oxy) sao cho NA NC dài nhất
Trang 3Hình Học 12 Chương 3 Tọa Độ Trong Không Gian
II PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:
Bài 16 Mỗi phương trình sau đây có phải là phương trình mặt cầu hay không?
a) x2 y2 z2 2 x 6 y 8 z 1 0
b) x2 y2 z2 2 x y 1 0
Bài 17 Cho phương trình x2 y2 z2 4 mx 4 y 2 mz m 2 4 m 0 Tìm m để nó là phương trình mặt
cầu và tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất
Bài 18 Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Tâm I(1; 0; 1) , đường kính bằng 8
b) Đường kính AB với A(-1;2;1), B(0;2;3)
c) Tâm I(3; 2; 4) và đi qua A(7;2;1)
d) Đi qua ba điểm A(0;8;0), B(4;6;2), C(0;12;4) và có tâm nằm trên mp (Oyz)
e) Tâm I(2;-1;3) và tiếp xúc mp (Oxy)
f) Tâm O tiếp xúc với mặt cầu tâm I(3;-2;4) và bán kính 1
g) Có bán kính bằng 2, tiếp xúc mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox
Bài 19 Viết phương trình mặt cầu:
a) ( ) S1 ngoại tiếp tứ diện OABC, với A(1;1; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2), O(0; 0; 0)
b) ( ) S2 có tâm I(-3;2;2) và tiếp xúc với mặt cầu ( ) : S x2 y2 z2 2 x 4 y 8 z 5 0
LUYỆN TẬP:
Bài 20 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;1;1), (1; 0; 3),B C( 1; 2; 3) và mặt cầu (S) có phương trình:
2 2 2 0
x y z x z Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn
nhất
Bài 21 Cho bốn điểm A(2; 0; 0), (2; 4; 0),B C(0; 0; 6),D(2; 4; 6) Tìm tập hợp những điểm M trong không gian sao cho: MAMBMCMD 4
Trang 4Hình Học 12 Chương 3 Tọa Độ Trong Không Gian
BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:
Bài 1 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng qua M(1; 3; 2) và có VTPT lần lượt là:
Bài 2 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng có VTPT n ( 1;3; 4) và qua điểm M có tọa độ
a) M(1; 3; 2) b) M(0; 5; 4) c) M( 4; 3; 6)
Bài 3 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng có M( 4; 3; 0) và vuông góc với BC với
a) B(0; 3; 2), C(2; 3; 0) b) B( 3; 5; 2), C(0; 3; 0)
Bài 4 Viết phương trình mặt phẳng qua M và nhận a b; làm cặp VTCP trong các trường hợp sau:
a) M(0;1;3),a(1;2;3),b ( 1;0;3) b) M( 2;1;3), a(0;2; 3), b ( 1;0;6)
Bài 5 Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C trong các trường hợp sau:
a) A(0; 0; 5), (0; 2; 0),B C( 3; 0; 0)
b) A(0; 0; 6), (0; 4; 0), B C( 5; 0; 0)
Bài 6 Viết phương trình mặt phẳng đi qua:
a) M0(1;3; 2) và vuông góc với Ox b) M0(1;3; 2) và vuông góc với Oy
Bài 7 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB biết:
a) A(1;3; 2), (0; 1;3) B b) A(1; 3; 0), (0; 6; 5) B
Bài 8 Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng (P):
a) Đi qua 3 điểm A( 1; 2; 3), B(2; 4; 3), C(4; 5; 6)
b) Đi qua điểm M( 1; 2; 3) và vuông góc Oy
c) Đi qua M(1; 3; 2) và vuông góc với đường thẳng BC với B(0;2;-3), C(1;-4;1)
d) Đi qua điểm M(1; 3; 2) và song song với mặt phẳng (P): 2x y 3z 4 0
e) Đi qua điểm A(3;1; 1), B(2; 1; 4) và vuông góc với mp (P): 2x y 3z 4 0
f) Đi qua điểm M(2; 1; 2) , song song với trục Oz vuông góc với mp (P): 2x y 3z 4 0
g) Đi qua M( 2; 3;1) và vuông góc với hai mp (P): 2x y 2z 5 0 và mp (Q): 3x2x z 3 0
Trang 5Hình Học 12 Chương 3 Tọa Độ Trong Không Gian
Bài 9 Viết phương trình mặt phẳng qua các điểm là hình chiếu của điểm M(-2;3;5) lên các trục tọa độ Bài 10 Cho A( 1; 2; 3), B(2; 4; 3), C(4; 5; 6),D(3; 2;1)
a) Viết phương trình mặt phẳng qua A vuông góc BC
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Từ đó suy ra ABCD là một tứ diện
c) Viết phương trình mặt phẳng qua D và song song với mặt phẳng (ABC)
d) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song CD
e) Viết phương trình mặt phẳng BC và song song AD
f) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng ( ) : x 3 y 5 z 1 0
g) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp(Oxy)
Bài 11 Viết phương trình mặt phẳng qua A(1; 2; 3) và chắn trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại M, N, P sao cho:
a) Thể tích tứ diện OMNP nhỏ nhất b) (OM + ON + OP) nhỏ nhất
LUYỆN TẬP:
Bài 12 Tìm a để bốn điểm A(1; 2;1),B(2; ; 0),a C(4; 2; 5), D(6; 6; 6) thuộc cùng một mặt phẳng
Bài 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy lập phương trình các mặt phẳng
a) Qua A a( ; 0; 0),B(0; ; 0),b C(0; 0; )c
b) Qua A(4; 7;10)và định trên ba trục tọa độ các đoạn bằng nhau
Bài 14 Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểm G(1; 2; 3)và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC
b) Đi qua điểm H(2;1;1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC
Bài 15 Cho hai điểm A(0; 0; 3), B(2; 0; 1) và mp (P): 3x 8y 7z 1 0
a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng với mp(P)
b) Tìm tọa độ điểm C nằm trên mp(P) sao cho ABC là tam giác đều
II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG:
Bài 16 Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
a) ( ) : 2 x y 5z 1 0 và ( ) : 3 x y 3z 2 0
b) ( ) : 3 x y 2z 3 0 và ( ) : 6 x 2y 4z 3 0
c) ( ) : x y 3z 2 0 và ( ) : 2 x 2y 6z 4 0
Bài 17 Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song mp(P) trong các trường hợp sau:
a) A(0; 0; 5), ( ) :P x 2y 3z 1 0 b) A( 1; 0; 3), ( ) : P x 2y 1 0
Trang 6Hình Học 12 Chương 3 Tọa Độ Trong Không Gian
Bài 18 Định m để ( ) : x (m 1)y 3z 1 0 song song với ( ) : x 2y 3z 5 0
Bài 19 Định m để ( ) : x (m 2)y 4z 1 0 vuông góc với ( ) : 3 x 2y z 1 0
Bài 20 Cho hai mặt phẳng ( ) : 2P x y z 1 0 và ( ) :Q x 3y z 2 0
a) Chứng minh (P) và (Q) không song song
b) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P) và (Q) đồng thời qua điểm M(1; 2;1)
c) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P) và (Q) đồng thời song song với Ox
d) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P) và (Q) đồng thời song song với Oz
e) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng
( ) : 2 x 2y 3z 3 0
III GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG:
Bài 21 Tính góc giữa hai mặt phẳng trong các trường hợp sau:
a) x y z 1 0 và 2x y z 1 0 b) 3x 4y 5z 1 0 và x0
Bài 22
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mp(Q): 2x y 5z0 một góc 0
60
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A(3; 0; 0), (0; 0;1)C và tạo với (Oxy) góc 0
60
Bài 23 Cho A(7;9;1), ( 2; 3; 2), (1;5;5),B C D( 6; 2;5)
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện
b) Tính cosin của góc hợp bởi mặt phẳng (BGI) và các mặt phẳng tọa độ cho biết G là trọng tâm của
tứ diện ABCD và I là điểm cách đều bốn đỉnh của tứ diện
Bài 24 Tìm khoảng cách từ điểm M đến mp (P) trong các trường hợp sau:
a) M(1;1; 2), ( ) :P x y z 1 0
b) M( 1;10; 2), ( ) : P x y z 1 0
c) M(0;1; 12), ( ) : P x 2y z 1 0
d) M(1; 0; 10), ( ) : 2 P x y z 1 0
Bài 25 Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng trong các trường hợp sau:
a) (1) : 2x y 4z 5 0 và (2 ) : 3x 5y z 1 0
b) (1) : 2x y 2z 1 0 và (2 ) : 6x 3y 2z 2 0
Bài 26 Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) : 2P x y 4z 1 0 và (Q) : 4x 2y 8z 5 0
Bài 27 Tìm điểm M trên Oz trong các trường hợp sau:
a) M cách đều điểm A(2;3; 4) và mặt phẳng ( ) : 2P x 3y z 17 0
b) M cách đều hai mặt phẳng ( ) : x y z 1 0 và ( ) : x y z 5 0
Trang 7Hình Học 12 Chương 3 Tọa Độ Trong Không Gian
Bài 28 Cho 4 điểm A(1; 0; 0), (0;1; 0), (0; 0;1),B C D( 2;1; 2)
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD)
b) Chứng minh ABCD là một tứ diện
c) Tính khoảng cách từ A đến (BCD) và thể tích của tứ diện ABCD
Bài 29 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : x y z 5 0 và điểm M (1; 0; 5) Lập phương trình mặt phẳng (P) đối xứng với ( ) qua M
Bài 30 Cho A(1; 2;1), ( 2;1;3), (2; 1;1),B C D(0;3;1) Viết phương trình mặt ( ) qua A, B và khoảng cách
từ C đến ( ) bằng khoảng cách từ D đến ( )
LUYỆN TẬP:
Bài 31 Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(4;-1;1) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OA = 2OB = 3OC
Bài 32 Viết phương trình mặt phẳng song song với ( ) : 4 x 3 y 12 z 1 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình 2 2 2
2 4 6 2 0
x y z x y z
Bài 33
a) Cho mặt cầu 2 2 2
( ) :S x y z 6x 2y 4z 5 0và điểm M(4;3; 0) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M
b) Viết phương trình mặt cầu tâm I( 2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : x 2y 2z 5 0
c) Cho 4 điểm A(3; 2; 2), (3; 2; 0), (0; 2;1), B C D( 1;1; 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)
d) Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(1; 0; 0), (0;1; 0), (0; 0;1)B C và có tâm nằm trên mặt phẳng
( ) : x y z 3 0
V TÌM ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC:
Bài 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(3; 4;1) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( ) :P x y z 1 0 để tam giác MAB là tam giác đều
Bài 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;5; 4) và B(3;1; 4) Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng ( ) :P x y z 1 0 sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 2 17
Bài 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2;1) và B(2; 0;3) Và mặt phẳng
( ) : 2P x y z 4 0 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB và mặt phẳng (ABM) ( )P
Bài 37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1; 0;1) , B(1; 2; 1) , C( 1; 2;3) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Trang 8Hình Học 12 Chương 3 Tọa Độ Trong Không Gian
ÔN TẬP HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 1 Cho ba điểm A; B; C biết A(2; 1;3); B(4; 0;1); C( 10;5;3)
a) Chứng minh ABC tạo thành tam giác
b) Hãy tìm độ dài đường phân giác trong; độ dài đường cao kẻ từ B
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
d) Tìm m và n để điểm M(2m 1; 2;n 2) thẳng hàng với A và C
e) Tìm độ dài đường phân giác ngoài của góc C của tam giác ABC
Bài 2 Cho A(1; 1;1), (2; 3; 2), (4; 2; 2), B C D(3; 0;1)
a) Chứng tỏ ABCD là hình chữ nhật Tính diện tích của nó
b) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm A; B
Bài 3 Cho A(2;5;3), (3; 7; 4), ( ; ; 6)B C x y
a) Tìm x, y để ba điểm A, B, C thẳng hàng
b) Tìm giao điểm của đường thẳng AB với với mặt phẳng yOz
c) Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng Oxy sao cho MA + MB nhỏ nhất
Bài 4 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 3 (đvtt), đáy ABC với A(1; 0;1), B(2; 0; 0), C(0;1; 0)
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
b) Tìm tọa độ A’
Bài 5 Cho a (1; ; 2),m b (m 1; 2;1),c (0; m 2; 2) Tìm m để a b c; ; đồng phẳng
Bài 6 Cho a (2;3;1),b (5;7;0),c (3; 2; 4)
a) Chứng minh a b c; ; không đồng phẳng
b) Phân tích vectơ d (4;12; 3) theo a b c; ;
Bài 7 Cho A(5; 7; 2), (3;1; 1), (9; 4; 4), B C D(1;5; 0)
a) Chứng minh ABCD nằm trong một mặt phẳng
b) Tìm giao điểm I của AC và BD
Bài 8 Tìm x biết x a (4; 2; 3); x b (0;1;3); x 26 và hợp với Oy một góc tù
Bài 9 Trong không gian Oxyz cho A(1; 2; 0), (5;3; 1), C(2;3; 4)B và D(4; 0; 3) Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox, biết rằng MA MB MC MD 24
Bài 10 Trong không gian Oxyz cho A(1; 3; 1), ( 2;3; 4) B và C( 3; 2; 0) Tìm tọa độ điểm M thuộc (Oxz) sao cho MA2MB3MC ngắn nhất
Bài 11 Trong không gian Oxyz cho A( 2;3; 4), ( 1; 6; 0), (5; 3;1) B C và D(4; 3; 7)
a) Tìm tọa độ điểm N nằm trên (Oxz) sao cho NA NB nhỏ nhất
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc Oz sao cho MA MB MC MD 9
Trang 9Hình Học 12 Chương 3 Tọa Độ Trong Không Gian
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:
Định lý: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng đi qua điểm M0( ;x y z0 0; 0) và nhận a( ;a a a1 2; 3) làm vectơ chỉ phương Điều kiện cần và đủ để điểm M x y z( ; ; ) nằm trên là có một số thực t sao cho:
x x ta
y y ta
z z ta
Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0( ;x y z0 0; 0)và có vectơ chỉ
phương a( ;a a a1 2; 3)là phương trình có dạng:
, ( )
x x ta
y y ta t R
z z ta
Chú ý: Nếu a a a1; 2; 3 đều khác 0 thì phương trình có thể viết dưới dạng chính tắc:
x x y y z z
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0(1; 3; 2) và có vectơ chỉ
phương là a(2; 3;0)
Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B với A(0; 2; 2) , B(3; 4; 2)
Ví dụ 3: Hãy tìm tọa độ một vectơ chỉ phương và các điểm M, N, P phân biệt nằm trên đường thẳng
có phương trình tham số :
1 2
3 3 ( )
5 4
y t t R
Cho hai đường thẳng d:
x x ta
y y ta
z z ta
và d’:
' ' ' ' ' ' ' ' '
x x t a
y y t a
z z t a
Đường thẳng d đi qua M và có vectơ chỉ phương a, đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương a'
d // d’
0 0 0
' ( ; ; ) '
a k a
0 0 0
' '
( ; ; ) '
a k a
d d
Trang 10Hình Học 12 Chương 3 Tọa Độ Trong Không Gian
d cắt d’
' ' ' ' ' ' ' ' '
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
có đúng 1 nghiệm
d chéo d’
' ' ' ' ' ' ' ' '
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
vô nghiệm
d vuông góc d’ a a'
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau đây:
a)
1
3
x t
d y t
và
2 2 ' ' : 3 4 '
5 2 '
b)
3
5 2
và
2 3 ' ' : 5 3 '
3 6 '
c)
1
3
x t
và
2 2 ' ' : 2 '
1 3 '
d)
1 2
5
và
1 3 ' ' : 2 2 '
1 2 '
Ví dụ 2: Chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc:
5
4
z t
và
9 2 ' ' : 13 3 '
1 '
z t
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng d:
x x ta
y y ta
z z ta
và mặt phẳng ( ) : AxByCzD 0
Xét: A x( 0 ta1) B y( 0ta2) C z( 0ta3) D 0 (t là ẩn) (*)
d cắt ( ) (*) có nghiệm duy nhất
d // ( ) (*) vô nghiệm
d ( ) (*) có vô số nghiệm
Ví dụ 3: Tìm số điểm chung của mp ( ) : x y z 3 0 với đường thẳng d trong các đường thẳng sau:
a)
2
1
z
b)
1 2
1
d y t
z t
c)
1 5
1 3
Đặc biệt: d ( ) khi và chỉ khi vectơ chỉ phương u d của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến n( ) của mp ( )