skkn kinh nghiệm sử dụng hàm số bậc nhất, bậc 2 hướng dẫn học sinh lớp 10 giải một số bài toán bất đẳng thức

- Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó và rộng của bộ mônToán nhưng nhờ các bài tập về bất đẳng thức mà học sinh có thể hiểu kĩ hơn, sâuhơn về giải và biện luận phương trì

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

MỤC LỤC

Tran

g

A PHẦN MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài……… ….2

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận của vấn đề……… ……… 2

II Thực trạng của vấn đề……….… 2

2.1 Thực trạng chung……… 2

2.2 Thực trạng đối với giáo viên……… ……… … 3

2.3 Thực trạng đối với học sinh……… ……….… 3

III Các giải pháp thực hiện……….… 3

Cơ sở lý thuyết: ……… 3

3.1 Hàm số bậc nhất:……… 3

3.2 Hàm số bậc hai:……… ….4

ỨNG DỤNG:……….……4

3.3 Hàm số bậc nhất……… ….4

MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG:……….9

3.4 Hàm số bậc hai……….….… 11

MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG………17

IV Các biện pháp tổ chức thực hiện……… 18

4.1 Hình thức luyện tập trên lớp có sự hướng dẫn của thầy giáo……… 18

4.2 Hình thức tự nghiên cứu các bài toán có sự hướng dẫn của thầy giáo…….….18

4.3 Kết quả nghiên cứu……… 18

C KẾT LUẬN I Kết luận……….18

A PHẦN MỞ ĐẦU

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

- Để rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh ngoài việc trang

bị cho học sinh kiến thức cơ bản, người thầy giáo cần nghiên cứu tìm tòi ra phươngpháp để học sinh dễ tiếp thu và dễ vận dụng

- Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó và rộng của bộ mônToán nhưng nhờ các bài tập về bất đẳng thức mà học sinh có thể hiểu kĩ hơn, sâuhơn về giải và biện luận phương trình, bất phương trình; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏnhất của một biểu thức, về mối liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác và trong quátrình giải toán khả năng tư duy sáng tạo của người học được phát triển mạnh Thực

tế khi giải các bài tập về bất đẳng thức học sinh thường gặp nhiều khó khăn vì cáchgiải chúng không hoàn toàn có một mẫu quy tắc nào như ở một số mảng kiến thứckhác

- Qua nhiều năm giảng dạy toán ở trường phổ thông, là người thầy, tôithường trăn trở suy nghĩ, thu thập tài liệu, cố gắng tìm tòi ra phương pháp mới, họcsinh dễ tiếp thu, dễ vận dung với mong muốn giúp học sinh tự tin hơn khi đứngtrước một số bài toán về bất đẳng thức cụ thể là các bài toán chứng minh bất đẳngthức hay bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là:

“KINH NGHIỆM SỬ DỤNG HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC”.

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lý luận của vấn đề.

- Vận dụng tốt phương pháp phù hợp để giải các bất đẳng thức, Học Sinh sẽtiết kiệm được thời gian, bài giải gọn

- Bất đẳng thức là một kiến thức khó nhưng không thể thiếu trong vốn kiếnthức của Học Sinh phổ thông, nhất là học sinh khá giỏi

- Khi vận dụng phương pháp phù hợp , Học Sinh sẽ biến đổi nhanh gọn bấtngờ, đầy hứng thú, kích thích và phát triển tinh thần say mê , thích thú học toán

II Thực trạng của vấn đề.

2.1 Thực trạng chung.

Xuất phát từ mục tiêu đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là: Coi trọngthực hành, vận dụng kiến thức vào thực tế, nội dung của chương trình tinh giản,giảm tính hàn lâm, tập trung vào các kiến thức, kĩ năng cơ bản và thiết thực, tíchhợp được nhiều mặt giáo dục Do vậy, hệ thống kiến thức và kĩ năng tương ứng cầntruyền thụ cho học sinh trong chương trình phổ thông là hoàn toàn mới

2.2 Thục trạng đối với giáo viên.

Đối với đa số giáo viên không quen và không hào hứng khi dạy phần này,bởi vì: Nội dung bất đảng thức chương trình phổ thông là một trong những mảngkiến thức khó, các bài toán thường khó suy đoán tìm ra phương pháp phù hợp.Chính vì vậy nhiều giáo viên thường hay ngại đi sâu mảng kiến thức này, họ chỉdạy những phương pháp và kiến thức cơ bản cho học sinh

2.3 Thực trạng đối với học sinh.

Đối với học sinh, hầu hết các em đều không hứng thú đối với việc học bấtđẳng thức vì những kiến thức này khó Khi gặp các bài toán về bất đẳng thức họcsinh thường hay bỏ qua bài này hoặc làm tất cả những dạng toán khác rồi cuối cùngmới qua tâm tới bài bất đẳng thức

Vì vậy, trong quá trình dạy học bất đẳng thức giáo viên không chỉ dạy chohọc sinh nắm vững các khái niệm, định lí; các bất đẳng thức cơ bản mà chủ yếu làphải dạy cho học sinh biết vận dụng các khái niệm, các định lí; tìm tòi những mảngkiến thức có liên qua để vận dụng vào dạy bất đẳng thức để học sinh có thể tiếp thu

và vận dụng dễ dàng nhất Nhằm khắc phục những khó khăn và sai lầm của họcsinh

III CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN.

Tính chất 2: Đồ thị của hàm số là một đường thẳng cắt Ox tại điểm

a

- Khi a 0, hàm số đồng biến trên khoảng ;

    hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là

2

b f a

  thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là f  khi   x, đạt giá trịnhỏ nhất là f  khi   x

    hàm số đạt giá trị lớn nhất là

2

b f a

  thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là f  khi   x , đạt giá trịlớn nhất là f  khi   x

ỨNG DỤNG:

3.3 Hàm số bậc nhất.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi m 1 thì x2  2 3 m 1x m  3 0 với mọi

x z y

x z y

Chú ý: Khi sử dụng phương pháp hàm số bậc nhất thì dấu bằng xảy ra ở f  

giá trị của các biến khác Và nếu trong bất đẳng thức vai trò các biến là tương đương thì giá trị để đẳng thức xảy ra là các cặp biến có giá trị vòng quanh.

Ví dụ 4: Cho x y z, , là các số thực không âm và thỏa mãn x y z  3 Chứngminh rằng: x2 y2 z2 xyz4

- Đối với các bất đẳng thức trên, ta hoàn toàn có thể áp dụng các bất đẳng

thức quen thuộc để chứng minh nhưng cách này rất dài dòng và rắc rối, đôi khi đưa bài toán vào bế tắc Sử dụng phương pháp hàm số sẽ giúp bài toán được giải quyết nhanh gọn, vì giảm đáng kể số lượng các phép biến đổi, chỉ phải chứng minh các bất đẳng thức rất đơn giãn bằng cách sử dụng tính chất về dấu của đa thức bậc nhất.

- Trong một số trường hợp, ta không cần thiết phải biến đổi vế trái thành

là ta chứng minh được đó là hàm số bậc nhất chứ không phải là bậc khác.

Ví dụ 6: Cho x y z, , là các số thực không âm và thỏa mãn x y z  1

Nhận xét: Phương pháp sử dụng hàm số bậc nhất tuy rất hiệu quả trong việc hổ

trợ các bài toán chứng minh bất đẳng thức, nhưng cũng có những hạn chế đó là tác giã chưa tìm ra được cách tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một số dạng toán Chính vì vậy tôi đi nghiên cứu thêm sự ứng dụng của hàm số bậc hai để

có thể giải quết những dạng toán trên.

Hướng dẫn: Làm tương tự như ví dụ 8.

Bài 4: Cho a b c, , là các số thực không âm và thỏa mãn a b c  1

Chứng minh rằng: 2a3 b3c33abca b c a    2 b2 c2

Hướng dẫn:

Ta có: a3 b3c3 a3 b c 3 3bc b c   a3 1 a3 3bc1 a

m  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 10: Cho x y, là các số thực thỏa mãn x2 y2  x y Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 3 y3 x y xy2  2  x y

Khi đó biểu thức Px y 3  2xy x y    x y t 2 t.

Xét hàm số f t   t2 t trên đoạn 0;2

b

a

Ta có bảng biến thiên:

Vậy: Max P 6 đạt được khi t 2 hay x y 2 và xy 1 x y 1

minP 0 khi t 0 hay x y 0

Ví dụ 11: Cho a b, là các số thực thỏa mãn ab 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

P

Giải

Khi đó ta có P t 2 t

Xét hàm số f t   t2 t với t     ; 2  2;

Lập bảng biến thiên:

Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nông Cống IV – Thanh Hoá

0 2

6

0

Từ bảng biến thiên ta có minP  ; 2min 2  f t  2

Bảng biến thiên hàm số f t trên đoạn   0;3

Vậy: minPmin0;3 f t   , khi 0 a b c  1

0 3

84

0

   

0;3

maxPmax f t 84, khi

300

a b c

a b c

a b c

- 3

 

2

2

2 2 2 2 1

xy

4

5

3

Xét hàm số f t  33t2 14t7 trên đoạn 1 1;

5 3



Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có 70, 18 33 25 88 33 25 M  m  M  m Vậy: 33M 25m88 Ví dụ 15 Cho x y z, , là các số thực dương và thỏa mãn x y z  1 Chứng minh rằng: 1 1 16 z  yz  . Giải Đặt t x y  từ giả thiết ta có z 1 t và 0 t 1 Áp dụng bất đẳng thức   2 2 4 4 t x y  xy  xy

Khi đó

  2

t P

Xét hàm số f t  t2 t trên khoảng 0;1 

Ta có bảng biến thiên:

4

f t

z  yz  Dấu bằng xảy ra khi

1 2

Ví dụ 16: Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

  3 4 2 3 2 3 3 1

Giải

x

x





2 4 2 3 2 1 2 1 4 2 3 2

Khi đó hàm số đã cho trở thành: g t  t2 3t1 với t 1;3 .

Ta có bảng biến thiên:

t t

IV CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN.

4.1 Hình thức luyện tập trên lớp có sự hướng dẫn của Thầy giáo.

- Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập của các buổi học chínhkhoá với các bài tập ở mức độ vừa phải Thầy giáo đưa ra ví dụ và bài tập sách giáokhoa, yêu cầu học sinh nghiên cứu và gọi học sinh lên giải Sau khi học sinh giảixong thầy nhấn mạnh về phương pháp giải

- Thực hiện một số buổi trong công tác bồi dưỡng đối với những học sinhkhá hơn ở mức độ những bài toán cao hơn

4.2 Hình thức tự nghiên cứu các bài toán có sự hướng dẫn của Thầy giáo.

Hình thức này cũng cần thực hiện liên tục trong quá trình học tập của học sinh, làmcho khả năng tư duy, tính sáng tạo của học sinh ngày càng được tăng lên

4.3.Kết quả nghiên cứu.

Thời gian đầu khi mới ra trường tôi dạy tại lớp A3 chưa đưa ra phương pháp

sử dụng hàm số bậc nhất, bậc hai thì học sinh còn gặp nhiều khó khăn và cảm thấy ngại kho gặp dạng toán này Nhưng ở những năm học sau tôi tìm ra những phương pháp đó và nghiên cứu sâu hơn thì tôi dạy một số tiết trên lớp và một số buổi bồi dưỡng, tôi cho tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức và thống kê một số sai lầm cũng như những sai lầm phổ biến trên các lớp tôi dạy thì thu được kết quả sau:

- Trên cơ sở thu thập các tài liệu tôi đã làm sáng tỏ được vai trò, ý nghĩa củaviệc học hàm số bậc nhất, bậc hai trong trường phổ thông hiện nay.

- Tìm được khá nhiều những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải bàitập về bất đẳng thức Những khó khăn và sai lầm đó đa số tôi tìm được qua thực tếgiải bài tập của học sinh, chỉ có một số theo phỏng đoán của mình

- Sau khi tìm ra những khó khăn và sai lầm đó tôi không chỉ đi tìm lời giảiđúng mà khó khăn hơn phải tìm được phương pháp mới để học sinh dễ vận dụngnhất

- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ tính khả thi của đề tài

- Trên đây là một vài kinh nghiệm mà tôi đã tích luỹ trong quá trình giảngdạy và hướng dẫn học sinh học toán, rất mong được sự đóng góp ý kiến của quýthầy, cô cùng các bạn đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm ngày càng hoàn thiện.Tôi xin chân thành cám ơn!

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung củangười khác

NGUYỄN ĐÌNH DŨNG