SKKN một số ỨNG DỤNG của đạo hàm

Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Duật Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán T

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Duật

Lĩnh vực nghiên cứu:

- Quản lý giáo dục 

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán THPT 

- Lĩnh vực khác: 

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác

NĂM HỌC 2012-2013

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Nguyễn Ngọc Duật

2 Ngày tháng năm sinh: 28 - 09 - 1977

3 Giới tính: Nam

4 Địa chỉ: Ấp Bầu Trâm, xã Bầu Trâm, thị xã Long Khánh, Đồng Nai

5 Điện thoại: 0613.726311; ĐTDĐ: 0985 350500

6 E-mail: thuyluan1979@gmail.com

7 Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Toán – Tin học

8 Đơn vị công tác: Trường THPT Trần Phú

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị cao nhất: Cử nhân

- Năm nhận bằng: 2000 và 2010

- Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Toán và sư phạm Tin học

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy bộ môn Toán THPT

- Số năm có kinh nghiệm: 13 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

o Sử dụng phần mềm Sketchpad trong dạy Toán học

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình Giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán uen thuộc như: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, viết phương trình tiếp tuyến cùa

đồ thị hàm số, Ta c n g p các bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm

số, tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm Đây là dạng Toán thường có trong chương trình nâng cao và đề tuyển sinh Đại học cao đ ng

Trong uá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng toán khá hay, lôi cuốn đư c các em học sinh khá giỏi Nếu ta biết sử dụng linh hoạt

và kh o l o kiến thức đã học thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán uen thuộc

Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn,với sự tích lũy

ua một số năm trực tiếp giảng dạy, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các

em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu Đư c sự động viên, giúp đ của các thầy trong hội đồng bộ môn Toán của sở Giáo Dục và Đào Tạo Đồng Nai, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp trong

tổ Toán – Tin học trường THPT Trần Phú Tôi đã mạnh dạn cải tiến và bổ sung

chuyên đề “ M t ứng dụng của đạo hàm ”

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

1 Thuận lợi:

- Kiến thức đã đư c học, các bài tập đã đư c luyện tập nhiều

- Nhiều năm đư c phân dạy các lớp nguồn của nhà trường

- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy đư c khả năng sáng tạo, tự học và yêu thích môn học

- Có sự khích lệ từ kết uả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề

- Đư c sự động viên của BGH, nhận đư c động viên và đóng góp ý kiến

cuả đồng nghiệp

2 Khó khăn:

- Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập

- Học sinh có chất lư ng lư ng đầu vào rất thấp

- Nhiều học sinh không n m v ng các kiến thức về đạo hàm

3 S liệu th ng kê:

Trong các năm trước, khi g p bài toán liên uan đến Ứng dụng của đạo hàm, số lư ng học sinh biết vận dụng đư c thể hiện ua bảng sau:

Không nhận biết

đư c

Nhận biết, nhưng không biết vận dụng

Nhận biết và biết vận dụng ,chưa giải đư c hoàn chỉnh

Nhận biết và biết vận dụng , giải đư c bài hoàn chỉnh

1 Định ngĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D

a) Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên D nếu thỏa :

2 Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm

a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a; b)

- Lập bảng biến thiên của hàm số

- Căn cứ vào bảng biến thiên và kết luận

Chú ý :

 Khi lập bảng biến thiên ta phải tính gới hạn vô cực, giới hạn ở tại vô cực (nếu có)

 Trên (a; b) nếu hàm số có một cực đại thì

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b]

- Tìm các điểm tới hạn : x1, x2 xn  (a; b) mà tại đó f'(x) bằng không

 Nếu hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì

- Nếu một số hàm f(x) có đạo hàm phức tạp, không thuận tiện cho việc

x t dấu Ta đ t ẩn phụ để đưa về bài toán đơn giản hơn

- Các bước thực hiện :

 Tìm TXĐ D của hàm số đã cho

 Đ t ẩn phụ t = u(x) là một biểu thức của x

 Tìm miền giá trị của u(x) trên D là D1

 Thiết lập hàm số mới y = g(t), tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của g(t) trên D1

 Kết luận

Chú ý :

 Khi tìm miền giá trị của u(x) cần chú ý đến các tính chất đặc biệt của

nó (nếu có)

 Trong một số bài, ta phải biến đổi để xuất hiện biểu thức có thể đặt ẩn phụ

Chú ý : Bài toán này nếu ta vận dụng bất đẳng thức Cauchy thì việc tìm

giá trị nhỏ nhất của hàm số sẽ ngắn gọn hơn

x y x

[1; ]

4min ( ) (1) 0; max ( ) ( ) ( )

Bài 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số :

y2.cos3x6cos 2x6cosx5

Chú ý : Trong bài này ta đã sử dụng :

- Công thức cos 3x = 4cos 3 x – 3cosx

- Miền giá trị của hàm số y= cosx hoặc y = sin x là [-1; 1]

Bài 11 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của ( ) 27 4 (4 2 3)



12

0

x t

Suy ra hàm số đồng biến trên [ 2;2]

[ 1;1] [ 2 ;2]

7max ( ) max ( ) (2)

- Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng (a;b), đường th ng y = m ( với m

là tham số thực) c t đồ thị hàm số (nếu có) tại nhiều nhất một điểm, hay phương

trình f(x) = m có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng đó

- Phương trình : f(x) = m có nghiệm trên [a;b]

 



(do 1

3

x không phải là nghiệm của phương trình trên)

Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số

+

Ta thấy hàm số có ba khoảng đơn điệu, trên mỗi khoảng đó để cho đường

th ng y = 2m c t đồ thị tại một điểm thì : 2m > 0

Do đó phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi : 2m > 0 hay m > 0

Chú ý : Phương trình ax3 bx3cx d 0 có ba nghiệm phân biệt khi hàm số

9max ( ) (3 2) ; min ( ) (3) 0

t  a x bx

Bài 3 : Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau

mx44x3 m 0 có nghiệm với mọi x thuộc R

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi : max ( )

R

m f x hay m 4 27

Bài 4 : Tìm m để phương trình : cos3xsin3x m 2 có đúng hai

nghiệm trên khoảng ;

Ta có : (4)(cosxsin )(sinx 2 xsin cosx xcos2x) m 2

(cosxsin )(1 sin cos )x  x x  m 2

Chú ý : Khi giải phương trình a(sinxcos )x bsin cosx x c 0 hoặc

(sin cos ) sin cos 0

a x x b x x c ta có thể đặt ẩn phụ

tsinxcosx hoặc t sinxcosx

Bài 5 : Với giá trị nào của m thì phương trình sau có ít nhất một

có ít nhất hai nghiệm âm

Bài 5 Tìm m để phương trình x4 mx3(m2)x2mx 1 0 có nghiệm

Bài 6 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trên (2; 4]

2

(m1)log (x 2) (m5)log (x   2) m 1 0

Bài 7 Tìm m để phương trình : m x(  1) (2m1) x2 2x2 có nghiệm

Bài 8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

Bài 10 Tìm m để phương trình : (cosx1)(cos 2xmcosx 1) 2 sinm 2 x có

đúng hai nghiệm trên ;

Bài 11 Cho phương trình sin 5xm.sinx Hãy tìm m để phương trình

có đúng hai nghiệm trên đoạn ;5

Bài12 Cho f x( )3cos4x5cos3x36sin2x15cosx3624a12a2

Tìm a để f x( )0 với mọi x thuộc R

Phần 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU

TRÊN MỘT KHOẢNG

A KIẾN THỨC CƠ BẢN:

- Trong chương trình Giải tích lớp 12 cũ, dạng toán tìm tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng là rất phổ biến Cách giải toán dạng này

đa số là dùng so sánh nghiệm và định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai

- Trong chương trình sách giáo khoa mới phần so sánh ngiệm và định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai đã bỏ Do đó công cụ h u hiệu để giải dạng toán này là chuyển về tìm điều kiện để ất phương trình có nghiệm trên một khoảng

 Nếu f x'( )0 với mọi x thuộc K thì f(x) đồng biến trên K (f'(x) = 0 chỉ

Khi x  (0;3) thì miền giá trị của g(x) là ( 3;12)

Kết h p với điều kiện m1 ta có m 3 2 2

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1;+) khi m 3 2 2

'( ) ; '( ) 0

2( 1)

x

x x

52+

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có :

[3; ) ( ; 2]

4

5 56

3

;5

4

82

m m

m m

 nghịch biến trên khoảng (1; +)

Bài 5 Tìm m để hàm số y = x2(m – x) – m đồng biến trên khoảng (1; 2)

Bài 6 Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx nghịch biến trên (-1; 1)

1( )

Vậy bất đ ng thức đã cho đư c chứng minh

Bài 3 : Cho x,y, z là các số thực không âm thỏa điều kiện : x + y + z = 1

Vậy bất đ ng thức đư c chứng minh

Bài 5 : Cho a, b  0 và a + b = 1 Chứng minh rằng 5 5 1

xcos x với x thuộc R

Bài 4 Cho các số thực x, y thay đổi sao cho x + y = 1

IV KẾT QỦA

Chuyên đề này đã đư c thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy 12NC và Luyện thi Đại học trong hai năm gần đây Trong uá trình học chuyên đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi g p các bài toán liên uan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu

Kết uả sau khi thực hiện chuyên đề:

Không nhận biết

đư c

Nhận biết, nhưng không biết vận dụng

Nhận biết và biết vận dụng ,chưa giải đư c hoàn chỉnh

Nhận biết và biết vận dụng , giải đư c bài hoàn chỉnh

VI THỰC TIỄN GIẢNG DẠY

1 Quá trình áp dụng

Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã

hệ thống đư c một số kiến thức liên uan, sưu tầm và tích lũy đư c một số bài tập phù h p theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải

2 Hiệu quả au khi ử dụng

Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học và tự nghiên cứu

3 Bài học kinh nghiệm

Từ thực tế giảng dạy và vận dụng chuyên đề này, một số kinh nghiệm đư c rút ra là trước hết học sinh phải n m ch c các kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao,

kh c sâu kiến thức một cách h p lý với các đối tư ng học sinh nhằm bồi dư ng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh

Chuyên đề này chủ yếu đưa ra các bài tập từ đơn giản đến nâng cao từ đó hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do đó khi giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy của học sinh

4 Kết luận.

Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải h p

lý, ng n gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ Do đó đây chỉ là một chuyên đề trong rất nhiều chuyên đề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh n m ch c các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, b t đầu từ đâu và b t đầu như thế nào là rất uan trọng để học sinh không s khi đứng trước một bài toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu

Tuy nội dung của chuyên đề khá rộng, song trong khuôn khổ thời gian có hạn người viết cũng chỉ ra đư c các ví dụ, bài toán điển hình

Rất mong sự đóng góp ý kiến của uý Thầy cô và đồng nghiệp để chuyên

đề này đư c đầy đủ và hoàn thiện hơn

Long khánh,ngày 03 tháng 05 năm 2013

Người thực hiện

Nguyễn Ngọc Duật

VII TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Giải tích 12, Bài tập Giải tích 12 – nhà XBGD năm 2008

2 Giải tích 12 nâng cao, Bài tập Giải tích 12 nâng cao

– nhà XBGD năm 2008

3 Tạp chí Toán học và tuổi tr

4 Phương pháp giải đề tuyển sinh -Trần Phương

5 Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002

6 Các trang Web: hocmai.vn; vioet.vn; VN Math, Toancapba

Long Khánh, ngày 26 tháng 5 năm 2013

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học: 2012-2013

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: Một số ứng dụng của đạo hàm

Đơn vị: Trường THPT Trần Phú

Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)



Sáng kiến kinh nghiệm đã đư c triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành



1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)

2 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu uả cao 

- Có tính cải tiến ho c đổi mới từ nh ng giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu uả cao 

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu uả cao 

- Có tính cải tiến ho c đổi mới từ nh ng giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu uả 

3 Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)

- Cung cấp đư c các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện

- Đã đư c áp dụng trong thực tế đạt hiệu uả ho c có khả năng áp dụng đạt hiệu

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

(Ký tên và ghi rõ họ tên) (Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ