Xây dựng bài tập hình học giải tích từ bài toán hình học phẳng

Chương trình Hình học ở phổ thông gồm hai mảng: hình học thuần túy và hình học giải tích (nghiên cứu trong các hệ tọa độ). Trong chương trình hình học lớp 10, nội dung hình học giải tích trong mặt phẳng là một phần kiến thức rất quan trọng và mới lạ đối với học sinh. Đây là phần tiếp nối của hình học phẳng cấp THCS nhưng được nhìn dưới quan điểm của đại số và giải tích. Trong số những bài toán tọa độ phẳng được đưa vào giảng dạy có một lớp các bài toán xuất phát từ bài toán hình học phẳng. Học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi tiếp cận các bài tập đó, vì nó đòi hỏi học sinh cần nắm chắc các kiến thức về hình học phẳng và hình học giải tích trong mặt phẳng. Hiện nay, bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng thường xuất hiện khá nhiều trong các kì thi: kì thi học sinh giỏi bậc THPT, kì thi THPT quốc gia (câu 8)… Đây là một dạng bài toán khó, đòi hỏi học sinh phải chịu khó tư duy, tìm tòi, sáng tạo, đào sâu suy nghĩ và có kiến thức tổng hợp. Vì vậy, bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng luôn thu hút được sự quan tâm đặc biệt đối với học sinh và giáo viên THPT.

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Chương trình Hình học ở phổ thông gồm hai mảng: hình học thuần túy

và hình học giải tích (nghiên cứu trong các hệ tọa độ) Trong chương trìnhhình học lớp 10, nội dung hình học giải tích trong mặt phẳng là một phần kiếnthức rất quan trọng và mới lạ đối với học sinh Đây là phần tiếp nối của hìnhhọc phẳng cấp THCS nhưng được nhìn dưới quan điểm của đại số và giảitích Trong số những bài toán tọa độ phẳng được đưa vào giảng dạy có mộtlớp các bài toán xuất phát từ bài toán hình học phẳng Học sinh thường gặpnhiều khó khăn khi tiếp cận các bài tập đó, vì nó đòi hỏi học sinh cần nắmchắc các kiến thức về hình học phẳng và hình học giải tích trong mặt phẳng

Hiện nay, bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng thường xuất hiệnkhá nhiều trong các kì thi: kì thi học sinh giỏi bậc THPT, kì thi THPT quốcgia (câu 8)… Đây là một dạng bài toán khó, đòi hỏi học sinh phải chịu khó tưduy, tìm tòi, sáng tạo, đào sâu suy nghĩ và có kiến thức tổng hợp Vì vậy, bàitoán hình học giải tích trong mặt phẳng luôn thu hút được sự quan tâm đặcbiệt đối với học sinh và giáo viên THPT

Đối với một người giáo viên nói chung và bản thân tôi là một ngườigiáo viên toán tương lai, ngoài việc giải được bài tập, hướng dẫn được họcsinh làm bài tập, thì việc xây dựng được một bài toán, khai thác, đặc biệt hóa,khái quát hóa bài toán dựa trên cơ sở bài toán gốc đã biết là việc hết sức quantrọng và cần thiết trong quá trình giảng dạy

Chính vì vậy, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Xây dựng bài tập hình học giải tích từ bài toán hình học phẳng” để làm khóa luận tốt nghiệp.

2 Mục tiêu khóa luận

- Xây dựng bài tập hình học giải tích trong mặt phẳng từ các mối quan

hệ trong hình học phẳng như: quan hệ vuông góc, quan hệ thẳng hàng, quan

hệ khoảng cách, quan hệ nội tiếp

- Xây dựng bài tập hình học giải tích trong mặt phẳng từ bài toán hìnhhọc phẳng theo hướng dựng thêm điểm mới, cắt ghép hình, khái quát hóa, đặcbiệt hóa từ bài toán hình học phẳng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của hình học giải tích trong mặtphẳng, kiến thức cơ bản của hình học phẳng

- Nghiên cứu một số bài toán hình học phẳng, từ đó xây dựng một sốbài tập hình học giải tích trong mặt phẳng xuất phát từ các bài toán đó

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, các bài

tập liên quan đến hình học phẳng, hình học giải tích trong mặt phẳng từ các

đề thi học sinh giỏi, các đề thi đại học, các đề thi thử đại học, các sách thamkhảo rồi phân hóa, tổng hợp kiến thức

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu, tham khảo

tài liệu, từ đó tổng kết, rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu

- Phương pháp lấy ý kiến: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn

và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóaluận

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: Bài tập hình học phẳng, bài tập hình học giải tích trong

mặt phẳng

- Phạm vi: Các bài toán hình học phẳng trong chương trình THCS, bài

toán hình học giải tích trong mặt phẳng trong chương trình THPT

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận có thể dùng là tài liệu tham khảo ôn tập cho học sinh khối 10THPT, đặc biệt là cho học sinh tham dự kì thi THPT quốc gia, thi học sinhgiỏi khối THPT, và cho giáo viên THPT, sinh viên ngành Toán

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chiathành 2 chương

3Chương 1: Kiến thức cơ bản của hình học giải tích trong mặt phẳng và hìnhhọc phẳng.

Chương 2: Xây dựng bài tập hình học giải tích từ bài toán hình học phẳng

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

TRONG MẶT PHẲNG VÀ HÌNH HỌC PHẲNG

1.1 Kiến thức cơ bản của hình học giải tích trong mặt phẳng

1.1.1 Hệ trục tọa độ, vectơ, điểm

1.1.1.1 Trục tọa độ, hệ trục tọa độ

Trục tọa độ: Trục tọa độ (còn gọi là trục, hay trục số) là một đường thẳng trên đó xác định một điểm O và một vectơ ir

có độ dài bằng 1

Điểm O gọi là gốc tọa độ, vectơ ir

gọi là vec tơ đơn vị của trục tọa độ

Kí hiệu: ( ; )O ir .

Ta lấy điểm I sao cho OI iuur r= , tia OI còn được kí hiệu là Ox, tia đối của tia Ox

là Ox’ Khi đó trục ( ; )O ir còn gọi là trục x’Ox hay trục Ox.

Hình 1.1: Trục tọa độ

Hệ trục tọa độ: Hệ trục tọa độ là hệ gồm hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc

với nhau Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là r r,i j

Điểm O gọi là gốc tọa độ,trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung

Kí hiệu: Oxy hay ( ; , )O i jr ur .

Hình 1.2: Hệ trục tọa độ

1.1.1.2 Vectơ

Tọa độ của vectơ

Đối với hệ trục tọa độ ( ; , )O i jr ur nếu vectơ a x i y j thì cặp số ( ;y)r= +.r r x được gọi là tọa độ của vectơ r

a, kí hiệu là ar=( ;y)x hay ( ;y).a xr

Số thứ nhất x gọi

là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ r

a.

Cho hai vectơ a x y b x y kr( ; ), ( '; '),r ∈¡

+ Hai vectơ bằng nhau:

''

Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ

của vectơ OMuuur được gọi là tọa độ của điểm M.

6Như vậy, cặp số ( ;y)x là tọa độ điểm M khi và chỉ khi OMuuuur=x i.r+ y j.r Khi

đó ta viết M x y( ; ) hoặc M=( ; )x y Số x gọi là hoành độ của điểm M, số y gọi

là tung độ của điểm M.

1.1.2.1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ ur≠0r, có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ∆ được gọi là

vectơ chỉ phương (vtcp) của đường thẳng ∆

Nhận xét:

– Nếu ur

là một vtcp của đường thẳng ∆ thì ku kr( ≠0)

cũng là một vtcp củađường thẳng ∆

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vtcp

1.1.2.2 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ nr≠0r, có giá vuông góc với đường thẳng ∆ được gọi là vectơ pháp

tuyến (vtpt) của đường thẳng ∆

Nhận xét:

– Nếu nr

là một vtpt của đường thẳng ∆ thì kn kr ( ≠0) cũng là một vtpt củađường thẳng ∆

7– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vtpt.– Nếu ur

là một vtcp và nr

là một vtpt của đường thẳng ∆ thì ur⊥nr.

1.1.2.3 Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ đi qua M x y0( ; )0 0 và có vtcp ur=( ; );u u1 2 ur ≠0.r

Phương trình tham số của đường thẳng ∆:

1.1.2.4 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ đi qua M x y0( ; )0 0 và có vtcp ur=( ; );u u1 2 ur ≠0.r

1.1.2.5 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình ax by c+ + =0 với a2 + ≠b2 0 được gọi là phương trình tổng

quát của đường thẳng ∆

đường thẳng ∆:y y− 0 =k x x( − 0). (Phương trình đường thẳng theo hệ số góc)

1.1.2.6 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 + 1 + =1 0 và ∆2: a x b y c2 + 2 + =2 0

Toạ độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:

0(1)0

1.1.2.7 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 + 1 + =1 0

(có vtpt nr1=( ; );a b n1 1 r1 ≠0)r và

∆2: a x b y c2 + 2 + =2 0 (có VTPT nr2 =( ; );a b n2 2 r2 ≠0).r

9Khi đó góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 Kí hiệu: ·

1 2( ,∆ ∆ ). Ta có:

1.1.2.8 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng ∆: ax by c+ + =0 và điểm M x y0( ; )0 0 . Khoảng cách từđiểm M đến đường thẳng ∆ Kí hiệu:d M( 0, ).∆ Ta có:

1.1.2.9 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng ∆: ax by c+ + =0 và hai điểm M x( M;y M), ( ;N x y N N)∉ ∆

– M, N nằm cùng phía đối với ∆⇔ (ax M +by M +c ax)( N +by N + >c) 0.

– M, N nằm khác phía đối với ∆⇔ (ax M +by M +c ax)( N +by N + <c) 0.

1.1.2.10 Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 + 1 + =1 0 và ∆2: a x b y c2 + 2 + =2 0

cắt nhau.Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆1 và

1.1.3.2 Vị trí trương đối của đường thẳng và đường tròn

Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng d:

1.2.1.1 Các khái niệm

- Tam giác ABC là hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC, CA khi ba điểm A, B, C

không thẳng hàng

- Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.

- Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

- Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Hìn

h 1.6

1.2.1.2 Các trường hợp bằng nhau của tam giác

a Hai tam giác bằng nhau: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các

cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau

Hình 1.7: Hai tam giác bằng nhau

∆ABC = ∆DEF nếu

b Các trường hợp bằng nhau của tam giác

+ Trường hợp bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c): Nếu ba cạnh của tamgiác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau

Hình 1.8: Hai tam giác bằng nhau trường hợp c.c.c

Nếu ∆ABC và ∆DEF có:

Hình 1.9: Hai tam giác bằng nhau trường hợp c.g.c

Nếu ∆ABC và ∆DEF có:

+ Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc (g.c.g): Nếu một cạnh và hai góc

kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tamgiác đó bằng nhau

Hình 1.10: Hai tam giác bằng nhau trường hợp g.c.g

Nếu ∆ABC và ∆DEF có:

c Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

- Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai

cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.(Hình 1.11)

Hình 1.11

- Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuôngnày bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giácvuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (Hình 1.12)

Hình 1.12

- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnhhuyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đóbằng nhau (Hình 1.13)

Hình 1.13

- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằngcạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giácvuông đó bằng nhau (Hình 1.14)

Hình 1.14

1.2.1.3 Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn

Hình 1.15

∆ ABC: µA C> ⇔µ BC AB>

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài mộtđường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất

Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đườngthẳng đó:

- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

- Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

- Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lạinếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau

= ⇔ > Quan hệ giữa ba cạnh trong một tam giác

-Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơntổng độ dài hai cạnh còn lại

Hình 1.18

Ta có: AB AC BC AB AC− < < +

1.2.1.4 Các đường đồng quy trong tam giác

a Đường trung tuyến của tam giác

- Đoạn thẳng AM nối đỉnh của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BCgọi là đường trung tuyến của tam giác ABC

- Tính chất: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm.Điểm đó cách đều mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến điqua đỉnh ấy Điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác.

MA NB= = PC =

.

b Đường phân giác của tam giác

- Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D Khi

đó đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác của tam giác ABC

- Tính chất: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm.Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó Điểm này gọi là tâm đường trònnội tiếp của tam giác

c Đường trung trực của tam giác

- Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi

là đường trung trực của đoạn thẳng ấy

- Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trựccủa tam giác đó

- Tính chất: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm.Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó Điểm này gọi là tâm đường trònngoại tiếp trong tam giác

Hình 1.21

Ta có: a, b, c là các đường trung trực của ∆ABC

O là tâm đường tròn ngoại tiếp

∆ABC

d Đường cao của tam giác

- Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứacạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó

- Tính chất: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này gọi

là trực tâm của tam giác

Hình 1.22

∆ ABC: AD, BF, CE là các đườngcao Trực tâm H

1.2.1.5 Tam giác đồng dạng

a Hai tam giác đồng dạng:

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

∆ABC ∽ ∆A’B’C’ (g.g) nếu: µA'= µ µA B B; =µ'

1.2.1.6 Hệ thức lượng trong tam giác

a Hệ thức lượng trong tam giác thường

∆ABC có BC=a; AC=b; AB=c; ma, mb ,mc lần lượt là các đường trung tuyếnxuất phát từ đỉnh A, B, C của ∆ABC; R, r lần lượt là bán kính đường trònngoại tiếp, nội tiếp của ∆ABC S là diện tích của ∆ABC

+ Định lí hàm cos:

2      22 2 ; 2      22 2 ;       22 2 2

Hệ quả: (tính góc trong tam giác)

+ Công thức tính diện tích tam giác: (2p = a + b + c)

S p p a p b p c (công thức Hê – rông)

b Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

- Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bìnhphương của hai cạnh góc vuông (Định lý Ptago)

- Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích cạnhhuyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền

- Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyềnbằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền

- Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền vàđường cao tương ứng

- Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng vớicạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông

Tỷ số lượng giác của góc nhọn: Trong tam giác vuông ABC có · ACB=α

Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α

Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α

Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tan của góc α

Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là cotan của góc α

Hình 1.25

Ta có: Cho ΔABC vuông tại A: có ·ACB=α

sinα = AB; cosα = AC; tanα = AB; cotα = AC

Trong ΔABC vuông tại A ta có:

.sin cosC AB.tanB AB.cotC

AB BC.sinC BC.cosB AC.tanC AC.cotB

Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất

kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng

Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường

thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác

Hình 1.26: Tứ giác lồi

1.2.2.2 Hình thang, hình thang cân, hình thang vuông

a Định nghĩa:

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

Hình 1.27

b Tính chất hình thang cân: Trong hình thang cân:

- Hai cạnh bên bằng nhau

- Hai đường chéo bằng nhau

c Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân

Hình thang có đường chéo bằng nhau là hình thang cân

- Các góc đối bằng nhau

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

c Dấu hiệu nhận biết

- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành

- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hìnhbình hành

- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

c Dấu hiệu nhận biết

- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi

- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi

- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi

- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc làhình thoi

1.2.2.6 Hình vuông

a Định nghĩa:

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Hình 1.31

b Tính chất: Hình vuông có đầy đủ tính chất của hình thoi và hình chữ nhật.

c Dấu hiệu nhận biết

- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông

- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông

- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hìnhvuông

- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông

- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông

1.2.3. Đường tròn và các yếu tố liên quan

1.2.3.1 Đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn

- Đường tròn tâm O bán kính R (R>0) là hình gồm các điểm cách điểm O một

khoảng bằng R (hình 1.32) Kí hiệu: (O,R)

- Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn đó (hình 1.33).

Hình 1.32

Hình 1.33

1.2.3.2 Góc với đường tròn

Góc ở tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn gọi là góc ở tâm.

Góc nội tiếp: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh

chứa hai dây cung của đường tròn đó

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung là góc

có đỉnh tại tiếp điểm, một cạnh là tia tiếp tuyến và cạnh kia chứa dây cung

Cung bị chắn: cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

Hình 1.34

Tính chất:

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằngnhau

- Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâmcùng chắn một cung

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại, góc vuông nộitiếp thì chắn nửa đường tròn

- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cungthì bằng nhau

1.2.3.3 Tứ giác nội tiếp

a Định nghĩa:

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).

Hình 1.35

b Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

- Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 1800

.

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó

- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm Điểm đó là tâm của đường trònngoại tiếp tứ giác

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới mộtgóc α

Chương 2 XÂY DỰNG BÀI TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

TỪ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

2.1 Xây dựng bài tập hình học giải tích trong mặt phẳng xuất phát từ quan hệ vuông góc.

Bài toán gốc 1: Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

các cạnh BC, CD Gọi E là giao điểm của AM và BN Chứng minh rằng:

BN, tính được tọa độ điểm E, tính được cạnh NE, dựa vào độ dài cạnh hình vuông ta tính được BN Từ đó, tính được tọa độ điểm B, M Do đó, ta tính được tọa độ các đỉnh của hình vuông Vậy ta xây dựng bài toán trong hệ tọa

độ Oxy như sau:

Bài toán 1.1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M, N

lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD Gọi E là giao điểm của AM và

BN Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm M có tọa độnguyên, N(0;-2), đường thẳng AM có phương trình x+2y− =2 0

và hìnhvuông có cạnh bằng 4

Giải

Hình 2.1.1

Theo bài toán gốc 1 ta có AM ⊥BN.

Đường thẳng BN đi qua điểm N(0,-2) và vuông góc với đường thẳng AM nên

x y

Vì M có tọa độ nguyên nên M(2;0).

Do M là trung điểm của BC nên (2, 2)C − .

Do N là trung điểm của CD nên D( 2, 2)− − .

Kết hợp:uuur uuurAB DC= ⇒ −A( 2;2)

Vậy A( 2;2),− B(2;2),C(2, 2),− D( 2, 2).− −

Từ bài toán gốc 1, trong hệ tọa độ Oxy: nếu biết tọa độ đỉnh B, biết tọa độ điểm E, thì ta viết được phương trình đường thẳng BN Ràng buộc thêm điều kiện đỉnh A thuộc một đường thẳng d đã biết phương trình ta tìm được đỉnh

A, từ đó tìm được các đỉnh còn lại của hình vuông Vậy ta xây dựng bài toán trong hệ tọa độ Oxy như sau:

Bài toán 1.2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh

B(3;3) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD Gọi E là giao

điểm của AM và BN Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm A

Theo bài toán gốc 1 ta có AM ⊥BN.

Nên đường thẳng AM đi qua điểm

11 7( ; )

ta xây dựng bài toán về hình thang vuông như sau:

Bài toán 1.3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang ABCD có

Hình chiếu vuông góc của M trên BC là

Giải

Hình 2.1.3

Đặt AB=a Gọi H là điểm đối xứng của A qua B

Theo bài toán gốc 1 cóMH ⊥BC Suy ra: M, E, H thẳng hàng.

Ta có: HM =a 5.

Do tứ giác ABEM nội tiếp nên:

Bài toán gốc 2: Cho tam giác ABC cân tại A.Gọi M là trung điểm của cạnh

AB và I, G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm tam giác ABC

Chứng minh rằng I là trực tâm tam giác MGK Biết K là trọng tâm tam giácACM.

GK MN hayGK AB

Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp nên MI ⊥ AB⇒MI ⊥GK (1)

Gọi P là trung điểm AC và do tam giác ABC cân tại A nên:

Từ (1) và (2) suy ra I là trực tâm tam giác MGK (đpcm)

Từ bài toán gốc 2 trong hệ tọa độ Oxy: nếu biết tọa độ các điểm I, G, K dựa vào tính chất I là trực tâm tam giác MGK ta tìm được tọa độ điểm M, từ tính chất G trọng tâm tam giác ABC ta tìm được tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Vậy ta xây dựng bài toán trong hệ tọa độ Oxy như sau:

Bài toán 2.1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A.Gọi

M là trung điểm của cạnh AB và 8 1; , ( )3;0 , 7 1;

Giải

y y

Do K là trọng tâm tam giác ACM nên:

Từ bài toán gốc 2 trong hệ tọa độ Oxy: nếu biết tọa độ đỉnh C, tọa độ điểm I,

K Dựa vào tính chất trọng tâm ta tính được tọa độ điểm N, dựa vào tính chất

trực tâm ta đi xác định được điểm A, từ đó tính được tọa độ điểm B Vậy ta xây dựng bài toán trong hệ tọa độ Oxy như sau:

Bài toán 2.2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A và

C(2;-3) Gọi M là trung điểm của cạnh AB và

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Theo bài toán gốc 2 có I là trực tâm tam giác MGK

2 0

x− = .

Gọi M(2; )m ∈CM ⇒ A(0;1−m) (do N là trung điểm của AM), suy ra:

m m

Suy ra: A(0;1) hoặc A(0;0)(L)

Do M là trung điểm AB nên B(4;-1)

Vậy A(0;1) và B(4;-1)

Bài toán gốc 3: Cho hình vuông ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB, BC Gọi I, H lần lượt là giao điểm của CM và DN, AP và

Mà P là trung điểm của DC nên H là trung điểm của DI

Theo bài toán gốc 1, ta có DN ⊥CM

Kết hợp với (1) ta suy ra DN ⊥ AP.

Do đó tam giác ADI cân tại A.

tính được tọa độ điểm A Từ đó, viết được phương trình đường thẳng AP, DN.

Do đó ta tính được tọa độ các đỉnh của hình vuông Vậy ta xây dựng bài toán trong hệ tọa độ Oxy như sau:

Bài toán 3.1: Cho hình vuông ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của

các cạnh AB, BC Biết

7

;12

PI =