Ánh xạ tuyến tính: Ánh xạ tuyến tính; ảnh và hạt nhân; Đơn cấu; toàn cấu, đẳng cấu; không gian thương và Định lý về đồng cấu.. Ma trận: Ma trận của ánh sáng tuyến tính; vành các ma trận
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
NỘI DUNG ÔN TẬP MÔN THI: ĐẠI SỐ
(DÀNH CHO THI TUYỂN SINH CAO HỌC
NGÀNH: TOÁN HỌC)
I Đại số tuyến tính
1 Không gian véc tơ: Không gian véc tơ; cơ sở; chiều; hạng của hệ véc tơ, không gian véc tơ con; Không gian con sinh bởi một tập
2 Ánh xạ tuyến tính: Ánh xạ tuyến tính; ảnh và hạt nhân; Đơn cấu; toàn cấu, đẳng cấu; không gian thương và Định lý về đồng cấu
3 Ma trận: Ma trận của ánh sáng tuyến tính; vành các ma trận vuông; Nhóm tuyến tính tổng quát (của các ma trận khả nghịch)
4 Định thức: Ánh xạ đa tuyến tính thay phiên; định thức của một ma trận vuông, của một tự đồng cấu, của một hệ véc tơ đối với một cơ sở; Định thức về hạng của ma trận biểu thị qua định thức
5 Hệ phương trình tuyến tính: Hệ phương trình tuyến tính; Quy tắc Cramen; Phương pháp khử Gaus; Định lý Kronecker-Capelli
6 Véc tơ riêng, giá trị riêng của một tự đồng cấu
7 Dạng toàn phương: Dạng song tuyến tính; dạng toàn phương; phân loại dạng toàn phương thực; định lý về chỉ số quán tính
8 Không gian véc tơ Euclid: Không gian véc tơ Euclid; Cơ sở trực chuẩn; biến đổi trực giao; Nhóm các ma trận trực giao O(n); Chéo hóa các phép biến đổi đối xứng
1 Nhóm: Nhóm; nhóm con; nhóm con sinh bởi một tập; Nhóm xyclic; nhóm con của nhóm xyclic
2 Nhóm con chuẩn tắc: Liên hợp; lớp kề (lớp ghép); Nhóm con chuẩn tắc; nhóm thương
3 Đồng cấu nhóm: Đồng cấu nhóm; ảnh và hạt nhân; định lý về đồng cấu nhóm
4 Nhóm hữu hạn: Định lý Lagrange và các hệ quả
5 Nhóm đối xứng: Nhóm đối xứng; Nhúng các nhóm hữu hạn vào nhóm đối xứng; Nhóm thay phiên
III Vành và trường
1 Vành và iđêan: Vành; Vành con; Đặc số của vành; Iđêan; Iđêan nguyên tố và Iđêan cực đại; vành thương
2 Đồng cấu vành: Đồng cấu vành; ảnh và hạt nhân; Định lý về đồng cấu vành
Trang 23 Vành và các iđêan chính: Miền nguyên; Vành các iđêan chính; Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
4 Vành nhân tử hóa: Vành nhân tử hóa (Vành Gauss) Tính nhân tử hóa của vành Euclid
5 Trường: Trường; Trường và các thương (trường các phân thức)
6 Vành và trường số: Vành số nguyên; Trường số hữu tỉ; Trường số phức
IV Vành đa thức
1 Đa thức: Vành đa thức một ẩn (với các hệ số trong một trường); Phép chia (euclid) với dư
2 Đa thức bất quy tắc, đa thức bất khả quy; tính nhân tử hóa của vành đa thức một ẩn
3 Nghiệm của đa thức: Nghiệm và nhân tử tuyến tính; trường phân rã của một đa thức
4 Định lý cơ bản: Định lý cơ bản của Đại số học; Nhân tử hóa đa thức với hệ số thực
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách lý thuyết
1 S.Lang, Đại số(Tập 1,2,3), Bản dịch tiếng Việt, Nxb ĐH và THCN
2 Ngô Thúc Lanh, Đại số và số học (Tập 1,2,3), NXB GD
3 Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Giáo trình Đại số tuyến tính và hình học giải tích, NXB ĐHQG Hà Nội
4 Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB GD
Sách bài tập
1 Bùi Huy Hiển, Nguyễn Hữu Hoan, Phan Doãn Thoại, Bài tập đại số và số học (Tập 1,2), Nxb GD
2 I.V Proskuryakov, Bài tập đại số tuyến tính (Tiếng Nga), NXB Nauka, Moskva