Một số phương pháp tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

Từ năm 2017 Bộ GD&ĐT đã đưa hình thức thitrắc nghiệm khách quan vào bài thi môn toán và phần cực trị của hàm số đã đượcyêu cầu rộng hơn khó hơn trước, đặc biết là các bài toán về tìm cực

MỤC LỤC Trang

2.3.2 Phương pháp tìm cực trị của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối 14

Cực trị của hàm số được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh lớp 10 vàxuyên suốt trong chương trình toán học phổ thông, đến nay nó thường xuyên cómặt trong các kỳ thi THPT- QG Từ năm 2017 Bộ GD&ĐT đã đưa hình thức thitrắc nghiệm khách quan vào bài thi môn toán và phần cực trị của hàm số đã đượcyêu cầu rộng hơn khó hơn trước, đặc biết là các bài toán về tìm cực trị cuả hàmhợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyêt đố, nó đòi hỏi học sinh phải có hệ thốngkiến thức về cực trị thật vững chắc và tư duy linh hoạt mới giải được các bài toándạng này.

Vì những lí do đó, để giúp học sinh có cơ sở khoa học, có có hệ thống kiếnthức vững chắc về cực trị đặc biệt là cực trị của hàm hợp,hàm ẩn, hàm chứa dấu giátrị tuyệt đối và tháo gỡ những vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy vàhọc, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục , tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm

“Một số phương pháp tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối”.

Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt và thànhthạo trong việc giải các bài toán về cực trị nói chung và giải được các bài toán vềcực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối nói riêng

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Làm rõ vấn đề mà học sinh còn lúng túng , mắc nhiều sai lầm và thậm chí làkhông có định hướng về lời giải trong việc tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàmchứa dấu giá trị tuyệt đối

- Góp phần gây hứng thú học tập phần cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứadấu giá trị tuyệt đối cho học sinh, giúp các em có thể giải được một trong các phầnđược coi là khó của đề thi, đòi hỏi phải có tư duy cao

- Làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của chương học, là vấn đề thenchốt cho việc tiếp nhận và giải các dạng toán tiếp theo

- Nâng cao chất lượng bộ môn toán theo từng chuyên đề khác nhau góp phầnnâng cao chất lượng dạy học

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Chương I Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số và

chủ yếu là phương pháp tìm cực trị của một số hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấugiá trị tuyệt đối

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Tự tìm tòi, khám phá, đưa vào thực nghiệm

và đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệthống theo từng mức độ từ dễ đến khó

Cho hàm số yf x  xác định và liên tục trên khoảnga b;  và điểm x0 a b; 

a) Nếu tồn tại số h 0sao cho f x  f x 0 với mọi xx0  h x; 0 h và x x 0 thì ta nói hàm số f x đạt cực đại tại điểm x0

b) Nếu tồn tại số h 0sao cho f x   f x 0 với mọi xx0  h x; 0 h và x x 0 thì ta nói hàm số f x  đạt cực tiểu tại điểm x0

Chú ý:

1 Nếu hàm số f x đạt cực đại( cực tiểu) tại điểm x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại( điểm cực tiểu) của hàm số; f x 0 được gọi là giá trị cực đại( giá trị cực tiểu) của hàm số, còn điểm M x f x 0 ;  0 được gọi là điểm cực đại( cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2 Nếu hàm số yf x  có đạo hàm trênkhoảng a b; và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm x0 thì f x ' 0 0.

a) Nếu f x ' 0 0và f '' x 0 0thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.

b) Nếu f x ' 0 0và f '' x 0 0thì x0 là điểm cực đại của hàm số.

2.2 Thực trạng của đề tài

Năm học 2016 - 2017 Bộ GD&ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia củamôn toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy và học cũng phải thay đổi cho phù hợp

Trong các đề minh họa của bộ GD - ĐT , đề thi THPT quốc gia và đề thi thử củacác trường THPT trên toàn Quốc , học sinh thường gặp một số câu về tìm cực trị củahàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối và các bài toán có liên quan, đây làcác bài ở mức độ vận dụng để lấy điểm cao Hướng dẫn các em vận dụng tốt phần này

sẽ tạo được cho các em có thêm phương pháp, có linh hoạt hơn trong việc tìm cực trịcủa hàm số và nâng cao tư duy trong giải toán nhằm lấy được điểm cao hơn trong bàithi

Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tập củahọc sinh trường THPT Nông Cống I năm học 2019-2020 (thông qua các lớp trực tiếpgiảng dạy) về các bài toán tìm cực trị của hàm hơp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trịtuyệt đối, đã thu được kết quả như sau:

Thực hiện đề tài này tôi đã hệ thống lại các phương pháp tìm cực trị của hàm số

đã được học để áp dụng cho hàm ẩn, hàm hợp và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối thôngqua các phương pháp cụ thể và ví dụ tương ứng cho mỗi phương pháp đó Cuối cùng làbài tập tổng hợp đề học sinh vận dụng các phương pháp đã được học vào giải quyết Dokhuôn khổ đề tài có hạn nên tôi chỉ đưa ra hai phương pháp tìm cực trị đó là: Phươngpháp tìm cực trị của hàm số hợp dạng yf u với u u x  và phương pháp tìm cực trịcủa hàm số chứa dấu giá tri tuyệt đối quen thuộc là y f x  và yf x 

2.3 Các giải pháp tổ chức thực hiện

Thực hiện đề tài này tôi chia nội dung thành hai phần

Phần 1 Phương pháp tìm cực trị của hàm số hợp dạng yf u với u u x  .

Phần 2 Phương pháp tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Mỗi phần được thực hiện theo các bước:

- Nhắc lại kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài

Số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm bội lẻ của phương trình  1

(Số điểm cực trị của hàm số là số lần đổi dấu của đạo hàm y')

Giải phương trình  2 và  3  số nghiệm bội lẻ của phương trình  1  số điểm cực trị của hàm số yf u 

b Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1 Cho hàm số yf x  có đúng ba điểm cực trị là  2; 1;0  và có đạo hàmliên tục trên  Tìm số điểm cực trị của hàm số yf x 2  2 x

Lời giải:

Vì hàm số yf x  có đúng ba điểm cực trị là  2; 1;0  và có đạo hàm liên tục trên

 nên f x   0 có ba nghiệm là  2; 1;0  (ba nghiệm bội lẻ)

Xét hàm số yf x 2  2x có y 2x 2  f x 2  2x ; y   0 2x 2  f x 2  2x 0

2 2 2

x x x

f x y

Từ đồ thị của hàm số yf x' ta thấy f x'  đổi dấu từ âm sang dương qua x 2

Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số yf x  là  2; 0; 2; a; 6 với 4  a 6 Tìm

không bị đổi dấu

Đặt g x  f x 2  10x m  9 khi đó g x'  f u   2x 10 với ux2  10x m  9

Nên    2 2

2 2

2 2

Vậy m 17 thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Ví dụ 8 Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên , hàm số yf x ( ) có đồ thị nhưhình vẽ dưới đây

x y

3 2

0 1

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số yf x( 2 m) có 3 điểm cực trị

Lời giải:

Do hàm số yf x( 2 m) là hàm chẵn nên hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi hàm

số này có đúng 1 điểm cực trị dương

Bài 1 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x   x 12x2  2x với   x Tìm tất

cả các giá trị của tham số m để hàm số yf x 2  8x m  có 5 điểm cực trị

Bài 2 Cho hàm số f x  có đạo hàm f x  x x m2   13x 15 ,3   x Tìm tất cảcác giá trị của tham số m để hàm số 2

5 4

Hàm số yf x 2  4x x2  4x có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng  5;1 ?

Bài 7 Cho hàm số yf x  xác định trên , có đồ thị  C như hình vẽ

O -1

3

2 y=f(x) x y

Tìm số điểm cực trị của hàm số g x f x 3 x.

Bài 8 Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên  Đồ thị của hàm số yf x  nhưhình vẽ bên

Hàm số g x  f x 2  2x 4 có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Bài 10 Cho hàm số bậc bốn yf x  có bảng biến thiên như sau:

Tìm số điểm cực trị của hàm số g x x2 f x  14

2.3.2 Phương pháp tìm cực trị của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối

a Bài toán 1.Tìm số điểm cực trị của hàm số dạng y f x .

Giải phương trình (1); (2) tìm số nghiệm của chúng

Số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm bội lẻ của phương trình f x f x '    0.

(Số lần đổi dấu của đạo hàm y')

b Bài toán 2.Tìm số điểm cực trị của hàm số dạng yf x .

   đạo hàm không xác định tại x 0.

Gọi mlà só điểm cực trị dương của hàm số yf x   số điểm cực trị của hàm số

Ta có bảng biến thiên của hàm số yf x 

Từ BBT của hàm số yf x , để phương trình f x   0có 3 nghiệm phân biết khác

0; 2thì

 4 0

0 4

Vậy 0 m 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2 Cho hàm số y 3x4  4x3  12x2 m Tìm tất cả các giá trị của tham số mđểhàm số có 7 điểm cực trị

Ta có bảng biến thiên của hàm số yf x 

5 32

Vậy 0 m 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 3 Cho hàm số y 3x5  25x3  60x m , với mlà tham số Tìm tất cả các giá tịcủa tham số mđể hàm số có bảy điểm cực trị

2 4

f x

x x

Ta có bảng biến thiên của hàm số yf x 

 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 4 Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như hình vẽ

Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số y f x  2m có 5 điểm cực trị

  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 5 Cho hàm số yf x liên tục trên và có đồ thị  C như hình vẽ

Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số y f x m có 5 điểm cực trị

Lời giải:

TXĐ: D 

Từ đồ thị của hàm số yf x ta thấy hàm số yf x có 2 điểm cực trị, tức làphương trình f x '  0có 2 nghiệm phân biết x x1 , 2mà khi x qua x x1 , 2, f x' đổidấu.

Để hàm số có 5 điểm cực trị thì phương trình  3 phải có 3 nghiệm phân biệt

Từ đồ thị của hàm số yf x để phương trình  3 có 3 nghiệm phân biệt

    3 m 1

1 m 3

   

Vậy   1 m 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 6 Cho hàm số yf x  liên tục trên và có đồ thị  C như hình vẽ

Xét phương trình f x'   f x m  0 (1)

Để hàm số có 5 điểm cực trị thì phương trình  1 phải có 5 nghiệm phân biệt mà khi

x qua các nghiệm đó đạo hàm đổi dấu

Vậy với 3 m 6 thì hai phương trình  4 và  5 có tất cả 5 nghiệm bội lẻ phân biệt

và y đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó, hay hàm số y f x m có 5 điểm cựctrị

Ví dụ 7 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  trên  Hình vẽ bên là đồ thị củahàm số yf x  trên 

Số điểm cực trị của hàm sốyf x  2021 bằng số điểm cực trị của hàm số

bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm số y g x   cộng thêm 1

2

1 5 1

0 3

m m

m m

Có x 2 là nghiệm bội 2, x 1 là nghiệm đơn

Vậy x2  2m 1x m 2  1 0  có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệm dương x 1,

Trường hợp 2: x2  2m 1x m 2  1 0  có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệmdương x 1, có một nghiệm âm

Điều kiện tương đương

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f x  1m có 5 điểm cực trị

Bài 5 Cho hàm số đa thức yf x  có đạo hàm trên ¡ , f  0  0 và đồ thị hình bêndưới là đồ thị của hàm số yf x  Hỏi hàm số g x   f x  3x cóbao nhiêu cựctrị?

Bài 6 Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên , đồ thị hàm số yf x  là đườngcong ở hình vẽ Hỏi hàm số h x  f x( )2 4f x  1 có bao nhiêu điểm cực trị?

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số h x  f2 x  2f x  2m cóđúng 3 điểm cực trị.

Bài 10 Cho hai hàm đa thức yf x  và y g x   có đồ thị là hai đường cong ởhình vẽ Biết rằng đồ thị hàm số yf x  có đúng một điểm cực trị là A, đồ thịhàm số y g x   có đúng một điểm cực trị là B và 7

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Nông Cống I năm học 2019-2020, tôiđược nhà trường giao cho giảng dạy hai lớp 12B1, 12B3 Sau khi thử nghiệm dạynội dung này qua việc lồng gép giờ dạy trên lớp, các giờ dạy tự chọn, bồi dưỡng tôithấy học sinh rất hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu quả và chất lượng họctoán được nâng lên rõ rệt

Sau khi áp dụng đề tài trên tôi đã khảo sát lại học sinh và thu được kết quả như sau:Lớp Sĩ

Với đề tài này tôi cũng đã đưa ra trước tổ bộ môn để trao đổi, thảo luận vàrút kinh nghiệm Đa số các đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng cóhiệu quả, tạo được hứng thú cho học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vững hơn

về vấn đề cực trị của hàm số hợp, hàm ẩn và hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối,cũng như tạo thói quen sáng tạo trong nghiên cứu và học tập

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Dạy Toán ở trường THPT là một quá trình sáng tạo Mỗi giáo viên đều tựhình thành cho mình một con đường ngắn nhất, những kinh nghiệm hay nhất để đạtđược mục tiêu giảng dạy là đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, những chủ nhân tương laicủa đất nước Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh học tập, đọc tài liệutham khảo và ôn thi THPT quốc gia tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên Như

vậy với đề tài "Một số phương pháp tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối” đã giúp học sinh có được hệ thống kiến thức, linh hoạt

hơn trong việc định hướng biến đổi và có kinh nghiệm trong việc tìm cực trị củahàm số nói chung và tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệtđối nói riêng góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng được yêu cầu đổi mớitrong dạy học

Cuối cùng dù đã cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng và học hỏi đồngnghiệp song vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự góp ý ,

bổ sung của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

3.2 Kiến nghị

3.2.1 Đối với tổ chuyên môn :

Cần có nhiều hơn các buổi họp thảo luận về nội dung phương pháp tìm cựctrị của hàm số Khuyến khích học sinh xây dựng bài tập toán liên quan đến nhữngdạng bài tập trong bài giảng

3.2.2 Đối với trường :

Cần bố trí những tiết thảo luận hơn nữa để thông qua đó các học sinh bổ trợnhau về kiến thức.Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng bài giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải toán

3.2.3 Đối với sở giáo dục :

Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thờisau mỗi năm sở sẽ tập hợp những sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sách nội

bộ để gửi về các trường làm sách tham khảo cho học sinh và giáo viên

Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 9 tháng 5 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN dochính bản thân mình viết, không saochép nội dung của người khác

Trần Thanh Minh

4 Tài liệu tham khảo

[1] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam, Đoàn Quỳnh

( Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên)

[2] Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam Nguyễn Huy

Đoan ( Chủ biên)

[3] Đề minh họa, đề thi THPT QG từ năm 2017, đề thi thử THPT QG của các

trường trên cả nước

(Ngành GD cấphuyện/tỉnh;

Tỉnh…)

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B,hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1 Phát triển tư duy hàm cho học

sinh qua các bài toán về

phương trình vô tỉ

Ngành GD cấptỉnh

2 Một số phương pháp tính tích

phân của hàm hợp, hàm ẩn

Ngành GD cấptỉnh