CHU SO TAN CUNG CUA MOT LUY THUA

Vì vậy trong những năm dạy học ở nhà trờng tôi đã thực hiện đợc nhiều chuyên đề, đề tài, sáng kiến kinh nghiệm trong việc bồi dỡng học sinh giỏi: “Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa” l

A – Những vấn đề chung Những vấn đề chung

I – Những vấn đề chung Lý do chọn đề tài

Là một GV giảng dạy môn toán ở trờng THCS Chất Lợng Cao, ngoài việc làm cho mọi đối tợng học sinh nắm rõ kiến thức cơ bản trong chơng trình THCS bản thân tôi xác định bồi dỡng học sinh giỏi là nhiệm vụ hàng đầu của mỗi ngời giáo viên trong nhà trờng Vì vậy trong những năm dạy học ở nhà trờng tôi đã thực hiện đợc nhiều chuyên đề, đề tài, sáng kiến kinh nghiệm trong việc bồi dỡng học sinh giỏi: “Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa” là một trong những đề tài mà tôi

đã nghiên cứu với mục đích cho học sinh cả lớp vận dụng đợc lý thuyết về luỹ thừa, đặc biệt là với những em có năng khiếu về môn toán để sau này sẽ vào đội tuyển học sinh giỏi Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa là ứng dụng của phép luỹ thừa, từ các đặc điểm của một số luỹ thừa đặc biệt 1; 2; 3 hoặc 4 chữ số tận cùng của một luỹ thừa bởi trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một

số mà chỉ cần biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó

Trong khi tìm chữ số tận cùng của một tích một luỹ thừa học sinh đã biết vận dụng tính chất của một tích các số (lẻ, chẵn) tích của một số với một số tận cùng là 0; 5 một số các số với chữ số tận cùng khi nâng lên luỹ thừa nào cũng giữ nguyên chữ số tận cùng, tính chất của một số chính phơng…NhNh vậy học sinh đợc rèn luyện một cách linh hoạt, tính nhanh khi đọc một bài toán đã có thể xác định

đợc sử dụng tính chất nào của luỹ thừa, tìm một số tận cùng thì áp dụng nhận xét nào 2; 3; 4 chữ số tận cùng thì áp dụng nhận xét nào

Trong dạy toán chứng minh chia hết hoặc tìm số d trong một phép chia thì vận dụng tính chất về luỹ thừa cũng là một cách làm đợc sử dụng một cách rất phổ biến

Để học sinh có thể nắm vững về vận dụng một cách có nhiệu quả tất cả những dạng toán đó không chỉ cần đến sự nỗ lực cố gắng của học sinh mà ngời giáo viên cần phải có kiến thức vững chắc, đào sâu nôi dung kiến thức tìm những

ví dụ các dạng bài tập từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể đến tổng quát để học sinh biết vận dụng và vận dụng sáng tạo khi gặp các dạng bài tơng tự Làm đợc những điều đó không chỉ học sinh mà giáo viên còn đợc nâng cao về kiến thức, t duy thích hợp Với những lý do trên nên trong năm học vừa qua tôi đã đi sâu nghiên cứu vấn đề tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa Coi đó là một kinh nghiệm nhỏ trong quá trình ôn thi học sinh giỏi ở trờng THCS Chất Lợng Cao

II – Những vấn đề chung Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu vấn đề này trong chơng trình THCS chỉ giới hạn ở mức độ học sinh biết vận dụng tính chất của luỹ thừa tìm đợc 1; 2 chữ số tận cùng của một số, một biểu thức Trờng hợp 3; 4 số tận cùng không phổ biến, chỉ sử dụng với một số

trờng hợp đặc biệt Biết vận dụng để chứng minh chia hết và tìm số d trong một phép chia

Đối với giáo viên cần nắm chắc, sâu kiến thức Bên cạnh đó cần tìm tòi, su tầm tài liệu để có một hệ thống tài liệu phù hợp phong phú giúp học sinh có hứng thú trong học tập và vận dụng tốt

III - Đối tợng nghiên cứu

1- Đối tợng nghiên cứu: Học sinh lớp 6 A trờng THCS Chất Lợng Cao, Mai Sơn

2- Cơ sở ngiên cứu trờng THCS Chất Lợng Cao, Mai Sơn

IV – Những vấn đề chung Ph ơng pháp nghiên cứu

- Nêu và giải quyết vấn đề

- Phơng pháp vấn đáp

- Phơng pháp đánh giá và tổng kết kinh ngiệm

V – Những vấn đề chung Lịch sử nghiên cứu

“ Tìm chữ số tận cùng của một tích một luỹ thừa” là một nội dung đợc đề cập đến trong lý thuyết về luỹ thừa nhng chiếm lợng kiến thức không nhiều tuy nhiên vận dụng vào giải các bài tập tơng đối phong phú và đợc xuyên suốt trong chơng trình số học đại số ở THCS vì vậy có nhiều tài liệu đề cập Nghiên cứu vấn

đề này, bản thân tôi là một giáo viên trờng phải bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi vì vậy tôi muốn đi sâu nghiên cứu mảng này một cách cụ thể hơn với đối tợng học sinh của mình, giúp các em có đợc nhận thức sâu rộng hơn, góp phần nâng cao chất lợng và số lợng đối tợng học sinh giỏi hàng năm

B Nội dung

I Cơ sở lí luận

Trong thực tế nhiều khi ngời ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó Chẳng hạn khi so xổ số muốn biết có trúng những giải cuối hay không ngời ta chỉ cần so hai chữ số cuối cùng Trong

toán học khi xét một số chia hết cho 2, 4, 8 hoặc chia hết cho 5, 25, 125 hay không

ta chỉ cần xét 1, 2, 3 chữ số tận cùng của số đó Việc tìm 1, 2, 3 chữ số tận cùng của một số ta chỉ có thể căn cứ:

- Tích các số lẻ với lẻ, lẻ với chẵn, lẻ với số tận cùng bằng 5, tích một số với

số tận cùng bằng 0…Nh

- Với luỹ thừa: các số đặc biệt có tận cùng là 0, 1, 5, 6 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng

- Các số nâng lên luỹ thừa 4n

- Tính chất của các số chính phơng

Trên cơ sỏ lí thuyết đó học sinh có những bớc biến đổi để đa về dạng các luỹ thừa đặc biệt trên, từ đó xác định đợc chữ só tận cùng của một tích, một luỹ thừa một biểu thức

II Cơ sở thực tiễn:

Lí thuyết về luỹ thừa rất rõ ràng, cụ thể tuy nhiên quá trình vận dụng kết hợp các nhận xét trên để biến đổi đa về dạng cụ thể là một vấn đề tơng đối khó, nhất là đối với học sinh lớp 6, nhiều em còn rất lúng túng trong quá trình vận dụng: đa số học sinh bớc đầu rất khó khăn để từ một số cụ thể đã cho sử dụng nhận xét nào, biến đổi theo hớng nào để tìm chữ số tận cùng đặc biệt đối với những số phức tạp nh luỹ thừa tầng hoặc luỹ thừa của những số chứa chữ, với học sinh đây là vấn đề trừu tợng khó định hớng

Đối với giáo viên: Đội ngũ giáo viên trong tổ có 7 đồng chí, 100% trình độ

đại học đều yêu nghề, ý thức trách nhiệm cao trong công việc, chuyên môn nghiệp

vụ vững vàng Tuy nhiên số giáo viên trực tiếp bồi dớng học sinh giỏi cha nhiều trong đó có một số đồng chí mới nhận lớp chuyên nên kinh nghiệm cha nhiều, vì vậy công việc trao đổi học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau phần nào còn hạn chế Sự hỗ trợ cho nhau trong việc tìm tòi tài liệu, bài tập hay cha nhiều

Trên cơ sở thực tế từ giáo viên và học sinh tôi đã có những nghiên cứu điều tra, chuẩn bị từ đầu năm học nh nắm bắt chất lợng chuyên môn, dự kiến các đối t-ợng học sinh vào đội tuyển Su tầm, nghiên cứu tài liệu trao đổi nắm bắt tình hình với các đối tợng học sinh, các giáo viên cùng bộ môn trong tổ để đề tài đợc hoàn thành có hiệu quả nhất

1 Điều tra học sinh đầu năm.

Đa số học sinh chăm ngoan có ý thức học tập đợc gia đình nhà trờng giáo viên tạo điều kiện về tài liệu, thời gian và tinh thần để các em tập trung vào học tập

2 Điều tra mức độ hứng thú học tập của học sinh.

Qua điều tra tôi nhận thấy đa số các em đều yêu thích bộ môn, có ý thức thái độ học tập đúng mực, một số em đạt kết quả cao trong học tập có hứng thú, yêu thích bộ môn, tuy vậy còn một số em hạn chế về nhận thức nên dẫn đến không

có hào hứng trong học tập

3 Những nguyên nhân của tồn tại:

Sự nhận thức và chuyên cần của học sinh không đồng đều, một số ít học sinh do hạn chế về nhận thức nên có tâm lí không thích học bộ môn đặc biệt là với những chuyên đề nâng cao, bởi đây là vấn đề khó đoì hỏi học sinh trớc tiên phải có

ý thức, hào hứng trong học tập từ đó cùng độ t duy nhạy bén sự tìm tòi học hỏi nhiều, nhng với những học sinh trung bình cha làm đợc điều đó Vì vậy vai trò

ng-ời thầy rất quan trọng, thầy ngoài việc truyền thụ, chuyển tải kiến thức còn phải luôn động viên, gần gũi tạo không khí cởi mở biết khích lệ đúng lúc để các em tự tin, yêu thích bộ môn, từ đó nâng cao chất lợng học tập cho các em

4 Những biện pháp tiến hành

I Lí thuyết

1 Định nghĩa: an = a.a.a…Nha (n 0)

n thừa số

a: cơ số, n: số mũ.

Các tính chất: am.an = am + n

am : an = am – n (a  0, mn)

 Nhận xét:

a/ Tích các số lẻ là một số lẻ

- Tích một số có tận cùng là 5 với bất kì số nhiên lẻ nào cũng có tận cùng là 5

- Tích một số chẵn với bất kì số tự nhiên nào cũng là một số chẵn

- Tích một số có chữ số tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào cũng tận cùng

là 0

b/ Các số tự nhiên có tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì nào (khác 0) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó

- Các chữ số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 3, 7, 9 nâng lên luỹ thừa 4n (n khác 0) nào cũng có tận cùng là 1

…Nh34n = …Nh1; …Nh74n = …Nh1; …Nh94n = …Nh1

- Các số tự nhiên có tận cùng bằng những chữ số 2, 4, 8 nâng lên luỹ thừa 4n (n khác 0) đều có tận cùng là 6

…Nh24n = …Nh6; …Nh44n = …Nh6; …Nh84n = 6

- Các số tự nhiên có tận cùng là 4 hoặc 9 nâng lên luỹ thừa lẻ có tận cùng bằng chính nó, nâng lên luỹ thừa chẵn có số tận cùng lần lợt là 6; 1

- Các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng có tận cùng bằng 01, 26, 76

- Các số 320, 815, 74, 512, 992 có tận cùng bằng 01

- Các số 220, 65, 184, 242, 684, 742, có tận cùng bằng 76

- Số 26n (n > 1) có tận cùng bằng 76

- Các số có tận cùng bằng 001, 376, 626 nâng lên luỹ thừa (khác 0)nào cũng

có tận cùng bằng 001, 376, 625

- Số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cúng có tận cùng bằng 0625

c/ Số chính phơng không tận cùng bởi các chữ số 2, 3, 7, 8

- Một số chính phơng có nhữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2

II Bài tập vận dụng.

Bài 1: Tích các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7 Hỏi tích có bao nhiêu thừa

số?

Giải:

Nếu tích có 5 thừa số lẻ liên tiếp trở lên thì ít nhất cùng có một thừa số có chữ số tận cùng là 5 suy ra tích có tận cùng là 5 mâu thuẫn vói đề bài Vậy số thừa số của tích nhỏ hơn 5

Nếu tích có 4 thừa số lẻ liên tiếp thì tích có tận cùng bằng5 hoặc tận cùng bằng 9 mâu thuẫn với đề bài

Nếu tích có 2 thừa số lẻ liên tiếp thì tích có tận cùng bằng 3 hoặc 5 hoặc 9 mâu thuẫn với đề bài

Vây tích đó chỉ có thể có 3 thừa số, ví dụ: (…Nh9).(…Nh1).(…Nh3) = …Nh7

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số: 7430, 4931, 8732, 5833, 23235, 244 ,57

5

6

579

Giải:

* 7430 = 742 7428 = 742.744.7 = 742.(744)7

= A6.B6 = C6

Vậy 7430 có tận cùng là 6

* 4931 = 49.4930 = 493.4928 = 493 (494)7 = A9.B1 C9 .

Vậy 4931 có tận cùng là 9

* 8732 = (874)8 =  A1 8 B1.

Vậy 8732 có tận cùng bằng 1

* 5833 = 58.5832 = 58.(584)8

= 58.A6 B8 . Vậy 5833 có tận cùng bằng 8

* 2325 = 233.2332 = (234)8.233 =  A1 B7 C78 

Vậy 2335 có tận cùng là 7

* 244 có tận cùng là 4 nâng lên luỹ thừa bậc lẻ vẫn có tận cùng là 4, vậy 244 có5

tận cùng là 4

ở những bài tập này ta đã vận dụng các nhận xét về các số tận cùng là 2, 4,

8 nâng lên luỹ thừa 4n có chữ số tận cùng là 6

Số có tận cùng là 3, 7, 9 nâng lên luỹ thừa 4n có tận cùng bằng 1

Bài 3: Cho A = 51n + 47102 (n N) Chứng tỏ A 10

Giải:

Ta có: 51n = A1

47102 = 47100.472 = 4725.4.472

= B9.C1 D9 Vậy 51n + 47102 = A1 + D9 = M010.

Bài 4: Chứng tỏ rằng các tổng, hiệu sau không chia hết cho 10.

a/ A = 98 96 94 – 91 93 95 97

b/ B = 405n + 2405 + m2 (m, n  N, n 0)

Giải:

a/ 98 96 94 là tích các số chẵn  tích chẵn

91 93 95 97 là tích các số lẻ  tích lẻ

Hiệu giữa một số chẵn và một số lẻ là một số lẻ  A 10

b/ 405n

= A5 ; 2405 = 2404.2 = 24.101

2 = B6.2 C2

 405n + 2405

= D7

m2 không có tận cùng bằng 3  B không có tận cùng bằng 0

 B 10

Bài 5: Chứng tỏ rằng:

a/ M = 8102 – 2102 chia hÕt cho 10.

b/ N = 175 + 244 – 1321 chia hÕt cho 10

c/ P = 92n + 1 + 1 chia hÕt cho 10

Gi¶i:

a/ Ta cã 8102 = (84)25 82

= A6.64 B4 .

2102 = (24)25 22 = 1625 22

= C6.4 D4 VËy M = 8102 – 2102

= B4 - D4 = E0 10

b/ 175 = 17 174

= 17.A1 B7

244

= C6

1321 = 13 134.5

= 13 D1 E3

 N = 175 + 244 – 13 21

= B7 C6 E3 

M3 E3 X0 10    .

c/ 92n + 1 + 1 = 9.92n + 1 = 9 81n

+ 1 = A1 9+1 B0 10 

Bµi 6: Chøng minh r»ng:

a/ 74n – 1 5

Gi¶i:

a/ 74n - 1 = (74)n – 1 =  A1 n  1 B1 - 1 = C0 5 

b/ 34n + 1 + 2 = 3  34 n  2 3 A1 + 2 = B3 + 2 = C5 5 n 

c/ 24n + 2 + 1 = (24)n 22

+ 1 = A6.4 + 1 = B4 + 1 = C5 5

Các dạng bài tập trên đều vận dụng các nhận xét về luỹ thừa: tích các số tận cùng của một tích  tích các số tận cùng của một tổng, một hiệu từ đó dựa vào dấu hiệu chia hết để chứng minh bài toán

2 Tìm hai chữ số tận cùng.

Bài 7: Tìm hai chữ số tận cùng của 2100; 71991; 5151; 999999; 6666; 14101 16101

Giải:

* 2100 = (210)10 = 102410 = (10242)5 = A765 B76

 2100 có hai chữ số tận cùng là 76

* 71991 = 71988 73 = (74)497 73 = 2401497 73 = A01497 343 = B01 343 = C43

 71991 có hai chữ số tận cùng là 43

* 5151 = (512)25 5 = A01 51 B01.51 C5125  

 5151 có hai chữ số tận cùng là 51

99 = B99

 Vậy 999999 có hai chữ số tận cùng là 99

* 6666 = (65)133 6 = A76133.6 B76.6 = C56

 6666 có hai chữ số tận cùng là 56

* 14101 16101 = (14 16)101 = 224101 = (2242)50 224

= A76 224 B76 224 = C2450 

 14101 16101 có hai chữ số tận cùng là 24

3 Tìm ba chữ số tận cùng trở lên

Bài 8: Tìm bốn chữ số tận cùng của 51992

Giải:

Ta có 51992 = (54)498 = 0626498 = …Nh0625  51992 có bốn nhữ số tận cùng là 0625

Xét luỹ thừa với cơ số 5 ta có:

54m = …Nh0625 có tận cùng là 0625

54m + 2 có tận cùng là 5625

54m + 3 có tận cùng là 8125

Với những bài toán tìm chữ số tận cùng của một luỹ luỹ thừa học sinh phải biết quan sát cơ số, số mũ trên cơ sở đó biết phân tích số mũ ra dạng nào biết vận dụng từng trờng hợp cụ thể cho từng bài

4 Kết quả cụ thể:

Qua gần một năm học nghiên cứu, tìm tòi và thực nghiệm đề tài “Tìm chữ

số tận cùng của một luỹ thừa” phần nào đẫ có kết quả khả quan các em học sinh

từ chỗ nhìn vào luỹ thừa ban đầu thấy khó định hớng, lúng túng trong vận dụng, nay đã biết phân tích nhìn nhận một cách linh hoạt đặc biệt là với một số em nhận thức tốt đã rất hứng thú tìm tòi, biết vận dụng sáng tạo trong các bài tập vận dụng

Từ đó mức độ hứng thú học ttập bộ môn cũng tăng lên, góp phần vào việc nâng cao chất lợng học tập bộ môn cuối năm học

Kết quả cuối kì I môn toán:

Điều tra mức độ hứng thú học tập môn toán của học sinh:

Tổng số Thích Không thích Bình thờng

Kết quả cuối kì II:

Hứng thú học tập môn toán của học sinh:

III Bài học kinh nghiệm:

Từ kết quả thực tế của sáng kiến kinh nghiệm “Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa” cho thấy việc tìm tòi, nghiên cứu và vân dụng các chuyên đề nâng cao vào cho đối tợng học sinh khá giỏi là ccần thiết và nên đầu t sâu, đặc biệt là với

đội tuyển học sinh giỏi, giúp học sinh có cái nhìn tổng quát, nhạy bén trong các phơng pháp chứng minh chia hết, có ý thức tìm tòi, tham khảo tài liệu, tìm các bài toán hay, các cách giải dặc biệt, học sinh chủ động tìm hớng giải một bài toán,

đồng thời cũng giúp giáo viên tự học, tự bồi dỡng, góp phần nâng cao chuyên môn nghiệp vụ

C Kết luận chung

Việc thực hiên đề tài nâng cao trong bồi dỡng học sinh giỏi là không thể thiếu, nó giúp giáo viên nâng cao nhận thức, giúp học sinh nâng cao mở rộng kiến thức, phát triển t duy cách suy nghĩ tích cực góp phần giúp học sinh nắm bắt đợc kiến thức một cách tích cực Chính vì thế tôi mạnh dạn nghiên cứu vấn đề này mong đợc cùng các đồng nghiệp góp ý xây dựng

I Bài học kinh nghiệm:

Qua thực tế thực hiện đề tài này tôi thấy giúp học sinh vận dụng lí thuyết về luỹ thừa để tìm chữ số tận cùng của một tích, một luỹ thừa học sinh từ chỗ nắm bắt lí thuyết biết vận dụng từ đó có hứng thú trong quá trình làm bài tập,

đặc biệt ở các dạng bài tập chứng minh chia hết, tìm d trong phép chia của một