Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.. Điều này không xảy ra.. Vậy không tìm được số hữu tỉ nào thỏa mãn.
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học 2012 – 2013 Môn: Toán 7
Câu 1 (2 điểm)
a) Tính nhanh:
3 3 0,75 0, 6
7 13
11 11 2,75 2, 2
7 13
− + +
− + +
b) Tìm số hữu tỉ x; biết x− 1,5 + 2,5 − =x 0
Câu 2 (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: 8 7 − 2 18 chia hết cho 14
b) So sánh 291 và 535
Câu 3 (2 điểm)
Tìm hai số hữu tỉ x và y biết x + y = x.y = x: y
Câu 4 (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; 3
4
AB
AC = ; BC = 15cm Tính các
cạnh AB và AC ?
Câu 5 (2 điểm)
Cho tam giác ABC có µB=750; đường cao AH bằng một nửa cạnh BC Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân
Hướng dẫn chấm thi môn: Toán 7
Câu 1: 2đ a) Biến đổi biểu thức thành:
1 1 1 1
3 3 3 3 3.
4 5 7 13 3
4 5 7 13
11.
− + +
÷
− + + − + + ÷
b) vì x− 1,5 ≥ 0; 2,5 − ≥x 0với mọi x
nên x− 1,5 + 2,5 − =x 0 ⇔ −x 1,5 = 0; 2,5 − =x 0đồng thời xảy ra,
hay x=1,5 và x=2,5 Điều này không xảy ra
Vậy không tìm được số hữu tỉ nào thỏa mãn
0,25 0,5 0,25
Trang 2Câu 2: 2đ a) M=87-218 = (23)7-218 = 221-218=217(24-2) = 217.14
b) 291 > 290 = (25)18 = 3218
535 < 536 = (52)18 = 2518
vì 3218 > 2518 nên 291 > 535
0,5 0,5 Câu 3: 2đ Từ x+y = x.y ⇒ x = xy-y ⇒x = y(x-1) ⇒x:y = x-1
⇒ x+y = x:y = x-1⇒y = -1
thay vào x+y = x.y ta cã x-1 = -x ⇒x = 1
2
Vậy tìm được 2 số hữu tỉ thỏa mãn: x = 1
2; y = -1
1,0
1,0 Câu 4: 2đ
Biển đổi để có: 2 2
AB = AC ⇒ AB = AC
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau và định lí Pitago có:
9
AB = AC = AB +AC = BC = =
+
Suy ra AB2 = 9.9 ⇒AB = 9(cm)
AC2 = 16.9 ⇒AC = 12(cm)
0,5
1,0 0,5 Câu 5: 2đ + Dựng điểm D sao cho tam giác ABD đều (D và C nằm trên
cùng nửa mặt phẳng có bờ chứa AB)
+ Chứng minh:
Gọi M là trung điểm của cạnh BC
Dễ dàng tính được BAH· =DBM· = 15 0
AHB BMD c g c BMD AHB
Suy ra tam giác DBC là tam giác cân và có trung tuyến DM đồng thời là đường cao
Từ đó tính được BDC· = 150 ; 0 ·ADC= 150 0 ADC BDC c g c( . )
CA CB
⇒ ∆ = ∆
Suy ra tam giác ABC cân tại C (Điều phải chứng minh)
0,5
0,5
0,5
0,5
*Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
H
M D
C