Tính đơn điệu của hàm số

Phương pháp dùng Min – Max.. Tìm tập xác định, chú ý yêu cầu là K tập xác định... Vậy 2 m cũng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hàm số

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33 - Trang | 1 -

A Lý thuyết

Cho y f x  có tập xác định là K (khoảng, đoạn, nửa khoảng) Nếu y'0 có hữu hạn nghiệm trên K

1) Hàm số đồng biến trên K tương đương với y' 0,  x K, tức là x tăng thì y tăng

2) Hàm số nghịch biến trên K tương đương với y' 0,  x K, tức là khi x tăng thì y giảm

Bài toán: Tìm tham số m để y f x m ,  đơn điệu trên K

I Phương pháp dùng Min – Max

Bước 1 Tìm tập xác định, chú ý yêu cầu là K tập xác định

Bước 2 Tính đạo hàm y' và phát biểu điều kiện (*) của y' để hàm số y f x m ,  đơn điệu trên K Bước 3 Từ điều kiện (*) của y' ta cô lập tham số m Và dựa vào:

x K



x K



Chú ý: phương pháp này chỉ áp dụng khi cô lập được tham số m trong đạo hàm y'

Các ví dụ minh họa cho phương pháp I

Ví dụ 1 (KA-2013) Cho hàm số 3 2

y  x x  mx , tìm m để hàm số nghịch biến trên 0, Hướng dẫn

Tập xác định: x R

Ta có: y'  3x2  6x 3m

Để hàm số nghịch biến trên 0, y'  0, x 0,, tức là:

2 2

2

x 0,

2 , x 0,

  

Xét hàm g x x2  2x trên 0,, ta có g x' 2x 2 g x'   0 x 1

Ta có bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy

  2 

x 0,min x 2x 1

      Kết luận m 1 để hàm số nghịch biến trên 0,

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG

Giáo viên: LÊ ANH TUẤN

0

1

+ ∞

+

0

- ∞

y x y'

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hàm số

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33 - Trang | 2 -

Ví dụ 2 Cho hàm số yx3  3x2 m 1x 4m, tìm m để hàm số nghịch biến trên

a  1;1 b 1;1

Hướng dẫn

Tập xác định: x R

Đạo hàm y'3x26x m 1

a) Để hàm số nghịch biến trên  1;1thì

2 2

2 1;1

x

    

              

        

Xét hàm g x   3x2  6x 1,x  1;1   g x'     6x 6 g x'     0 x 1

Lập bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy  2 

xmin1;1 3x 6x 1 10

         Kết luận m 10 để hàm số nghịch biến trên  1;1 

b) Với 1;1 làm tương tự ta cũng có được kết quả m 10, các em xem chi tiết trong bài giảng

Ví dụ 3 Cho hàm số  x4 2mx2m2, tìm m để hàm số nghịch biến trên  1; 

Hướng dẫn

Tập xác định: x R

Đạo hàm y' 4x34mx

Để hàm số nghịch biến trên  1; thì





3 2

2 1;

x

  

             

     

Kết luận m1 để hàm số nghịch biến trên  1; 

II Phương pháp xét dấu y’ (áp dụng nhanh cho hàm bậc 3)

yAx Bx Cx D A  , có tập xác định là DR

y ax bx c a  , ta đi xét dấu y', có 2

4

  

(1) Nếu  0 thì:

+) a 0 y' 0,  x R

+

10

y' x

y

0

+

0

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hàm số

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33 - Trang | 3 -

+) a 0 y' 0,  x R

(2) Nếu  0 thì:

+) a 0 y' 0,  x R +) a 0 y' 0,  x R

(3) Nếu  0 thì phương trình y'0 có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2, ta có bảng xét dấu

Ví dụ minh họa cho phương pháp II

Ví dụ Cho hàm số 1 3 2  2 

3

y x mx  m  m x , tìm m để hàm số đồng biến trên:

a  1;1 b 1;1 c 1;1

Hướng dẫn

Tập xác định x R

y x  mx m  m

a Để hàm số đồng biến trên  1;1 y' 0,   x  1;1 (*)

Ta có  2

2

m

   

Do a  1 0 y' 0,   x R hàm số đồng biến trên R  hàm số cũng đồng biến trên  1;1 Vậy

2

m thỏa mãn yêu cầu bài toán

2

m

   

Do a  1 0 y' 0,   x R hàm số đồng biến trên R  hàm số cũng đồng biến trên  1;1 Vậy

2

m cũng thỏa mãn yêu cầu bài toán

2

m

    khi đó y'0 có 2 nghiệm x1x2 Khi đó ta có dấu của y'

khác dấu với a

cùng dấu với a

cùng dấu với a

x2

y'

x ∞

x 2

y'

x ∞

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hàm số

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33 - Trang | 4 -

Để hàm số đồng biến trên  1;1 thì đoạn  1;1phải nằm ngoài đoạn x x1; 2 như hình sau:

Điều này xảy ra khi và chỉ khi

 

1 1

*











Áp dụng Vi – et cho phương trình y'0, ta có:

1 2

2

1 2

2





Khi đó:  

2

2

2

*

2 2 2

m

m m

m

m

  

 



        



  



Kết hợp 3 trường hợp với nhau ta có 2

2 2 2

m m

 



  

Các trường hợp b và c, các em xem chi tiết trong bài giảng

Giáo viên : Lê Anh Tuấn Nguồn : Hocmai.vn

-1 1 [ ]

-1 1 [ ]

x2

y'

x ∞